高中数学全程复习方略2.2.2.1 双曲线的简单几何性质(共49张PPT).ppt

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1、第1课时 双曲线的简单几何性质1.1.通过双曲线的方程和几何图形通过双曲线的方程和几何图形,了解双曲线的对称性、范围、了解双曲线的对称性、范围、顶点、离心率等简单几何性质顶点、离心率等简单几何性质.2.2.了解双曲线的渐近性了解双曲线的渐近性,并能用双曲线的简单几何性质解决一并能用双曲线的简单几何性质解决一些简单的问题些简单的问题.1.1.本节的重点是对双曲线几何性质的理解和简单应用本节的重点是对双曲线几何性质的理解和简单应用.2.2.本节的难点是对双曲线渐近线的理解和运用本节的难点是对双曲线渐近线的理解和运用.1.1.双曲线的几何性质双曲线的几何性质标准方程标准方程性性质质图形图形标准方程标

2、准方程性性质质 焦点焦点_焦距焦距_范围范围_或或_，y_y_或或_，x_x_对称对称性性对称轴：对称轴：_；对称中心：；对称中心：_顶点顶点_F F1 1(0(0，-c),F-c),F2 2(0(0，c)c)F F1 1(-c(-c，0),F0),F2 2(c,0)(c,0)|F|F1 1F F2 2|=2c|=2c x-ax-axaxay-ay-ayayaR RR R坐标轴坐标轴原点原点A A1 1(-a,0)(-a,0)，A A2 2(a,0)(a,0)A A1 1(0,-a)(0,-a)，A A2 2(0,a)(0,a)标准方程标准方程性性质质 轴轴实轴：线段实轴：线段_，长：，长：_

3、；虚轴：线段；虚轴：线段_，长：，长：_；半实轴长：；半实轴长：_，半虚轴长：，半虚轴长：_离心离心率率e=_ e=_ _ _渐近渐近线线_ _ _ _ A A1 1A A2 22a2aB B1 1B B2 22b2ba ab b(1,+)(1,+)2.2.等轴双曲线是指等轴双曲线是指_的双曲线的双曲线.实轴和虚轴等长实轴和虚轴等长1.1.双曲线的焦点在实轴上还是在虚轴上？双曲线的焦点在实轴上还是在虚轴上？提示：提示：双曲线的焦点必定在双曲线的实轴上双曲线的焦点必定在双曲线的实轴上.2.2.等轴双曲线的离心率是多少？等轴双曲线的离心率是多少？提示：提示：等轴双曲线中等轴双曲线中a=ba=b，其

4、离心率，其离心率3.3.已知双曲线已知双曲线 和和 它们的渐近线相同吗？它们的渐近线相同吗？提示：提示：它们有相同的渐近线方程它们有相同的渐近线方程4.4.双曲线双曲线 的离心率是的离心率是_._.【解析解析】由题知由题知a=2,ba=2,b2 2=2.=2.cc2 2=a=a2 2+b+b2 2=4+2=6=4+2=6，答案：答案：对双曲线的简单几何性质的四点认识对双曲线的简单几何性质的四点认识(1)(1)双曲线的焦点决定双曲线的位置；双曲线的焦点决定双曲线的位置；(2)(2)双曲线的范围决定了双曲线的开放性和无限延展性，由双双曲线的范围决定了双曲线的开放性和无限延展性，由双曲线的方程曲线的

5、方程 得得x x2 2aa2 2,x xa,a,即即x-ax-a或或xaxa；(3)(3)双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小，离心双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小，离心率越大，双曲线的开口越大，反之亦然；率越大，双曲线的开口越大，反之亦然；(4)(4)对称性：由双曲线的方程对称性：由双曲线的方程 若若P(x,y)P(x,y)是是双曲线上任意一点双曲线上任意一点,则则P P1 1(-x,y),P(-x,y),P2 2(x,-y)(x,-y)均在双曲线上均在双曲线上,故故P P与与P P1 1,P,P2 2分别关于分别关于y y轴、轴、x x轴对称，因此双曲线分别关于轴对称，

6、因此双曲线分别关于y y轴、轴、x x轴轴对称对称.只不过双曲线的顶点只有两个只不过双曲线的顶点只有两个,而椭圆有四个而椭圆有四个.利用标准方程研究几何性质利用标准方程研究几何性质【技法点拨技法点拨】用双曲线标准方程研究几何性质的步骤用双曲线标准方程研究几何性质的步骤【典例训练典例训练】1.(20121.(2012福建高考福建高考)已知双曲线已知双曲线 的右焦点为（的右焦点为（3 3，0 0），则该双曲线的离心率等于），则该双曲线的离心率等于()()（A A）（B B）（C C）（D D）2.2.双曲线双曲线 的左、右焦点分别是的左、右焦点分别是F F1 1,F,F2 2,过过F F1 1作倾

7、斜角为作倾斜角为3030的直线交双曲线右支于的直线交双曲线右支于M M点，若点，若MFMF2 2垂直于垂直于x x轴，轴，则双曲线的离心率为则双曲线的离心率为()()（A A）（B B）（C C）（D D）3.3.求双曲线求双曲线16x16x2 29y9y2 2144144的实轴长、虚轴长、焦点坐标、的实轴长、虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标离心率、顶点坐标.【解析解析】1.1.选选C.C.由题意，知由题意，知a a2 2+5=9+5=9，解得解得2.2.选选B.B.如图，在如图，在RtMFRtMF1 1F F2 2中，中，MFMF1 1F F2 2=30=30,F,F1 1F F2 2=2

8、c,=2c,故选故选B.B.3.3.把方程把方程16x16x2 29y9y2 2144144化为标准方程得化为标准方程得由此可知，实轴长由此可知，实轴长2a2a8 8，虚轴长虚轴长焦点坐标为焦点坐标为(0(0，5)5)，(0,5)(0,5)；离心率离心率顶点坐标为顶点坐标为(0(0，4)4)，(0,4).(0,4).【想一想想一想】双曲线与椭圆的几何性质有哪些不同点？双曲线与椭圆的几何性质有哪些不同点？提示：提示：椭圆有椭圆有4 4个顶点，双曲线只有两个顶点；椭圆有长轴、个顶点，双曲线只有两个顶点；椭圆有长轴、短轴，双曲线有实轴、虚轴；椭圆的离心率短轴，双曲线有实轴、虚轴；椭圆的离心率ee（0

9、 0，1 1），而），而双曲线的离心率双曲线的离心率e(1,+).e(1,+).利用几何性质求标准方程利用几何性质求标准方程【技法点拨技法点拨】求双曲线标准方程的常用方法及一般步骤求双曲线标准方程的常用方法及一般步骤(1)(1)常用方法：一是设法确定基本量常用方法：一是设法确定基本量a,b,ca,b,c，从而求出双曲线方，从而求出双曲线方程；二是采用待定系数法首先依据焦点的位置设出标准方程程；二是采用待定系数法首先依据焦点的位置设出标准方程的形式，再由题目条件确定参数的值的形式，再由题目条件确定参数的值(2)(2)根据已知条件求双曲线的标准方程的思路是根据已知条件求双曲线的标准方程的思路是“选

10、标准，定选标准，定参数参数”,一般步骤是一般步骤是:【典例训练典例训练】1.1.（20112011山东高考山东高考)已知双曲线已知双曲线 和椭和椭圆圆 有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为两倍，则双曲线的方程为_._.2.2.求适合下列条件的双曲线的标准方程：求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)(1)实轴长为实轴长为8 8，离心率为，离心率为（2 2）已知双曲线的中心在原点，焦点）已知双曲线的中心在原点，焦点F F1 1，F F2 2在坐标轴上，实轴在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点长和虚轴长相等，且过点【解析解

11、析】1.1.由题意知双曲线的焦点为由题意知双曲线的焦点为 即即又因为双曲线的离心率为又因为双曲线的离心率为 所以所以a=2,a=2,故故b b2 2=3,=3,双曲线的方程双曲线的方程为为答案：答案：2.(1)2.(1)设双曲线的标准方程为设双曲线的标准方程为 或或2a=8.2a=8.由题意知由题意知 且且c c2 2a a2 2b b2 2，a=4,c=5,b=3a=4,c=5,b=3，标准方程为标准方程为 或或(2)(2)由由2a=2b2a=2b得得a=b,a=b,所以可设双曲线方程为所以可设双曲线方程为x x2 2y y2 2(0).(0).双曲线过点双曲线过点 16161010，即，即

12、6.6.双曲线方程为双曲线方程为x x2 2y y2 26.6.双曲线的标准方程为双曲线的标准方程为【思考思考】（1 1）2 2题中（题中（1 1）能确定双曲线的焦点位置吗？）能确定双曲线的焦点位置吗？（2 2）根据）根据2 2（2 2）题总结一下等轴双曲线标准方程的设法）题总结一下等轴双曲线标准方程的设法.提示：提示：（1 1）不能确定，所以要分两种情况写出标准方程；）不能确定，所以要分两种情况写出标准方程；（2 2）因为等轴双曲线中的）因为等轴双曲线中的“a a”和和“b b”相等，所以等轴双曲相等，所以等轴双曲线的方程可设为线的方程可设为x x2 2-y-y2 2=(0)=(0)的形式的

13、形式.与渐近线有关的问题与渐近线有关的问题【技法点拨技法点拨】1.1.双曲线渐近线方程的两种求法双曲线渐近线方程的两种求法（1 1）图示法：画出以实轴长、虚轴长为邻边的矩形，写出其）图示法：画出以实轴长、虚轴长为邻边的矩形，写出其对角线方程，特别要注意对角线斜率的确定；对角线方程，特别要注意对角线斜率的确定；（2 2）取零法：将双曲线标准方程等号右边的）取零法：将双曲线标准方程等号右边的1 1改为改为0 0，化简即，化简即可得双曲线的渐近线方程，这也是常用的方法可得双曲线的渐近线方程，这也是常用的方法2.2.根据渐近线方程求双曲线方程根据渐近线方程求双曲线方程(1)(1)若双曲线的渐近线方程为

14、若双曲线的渐近线方程为 则双曲线方程可表示则双曲线方程可表示为为(2)(2)与双曲线与双曲线 共渐近线的双曲线方程可表共渐近线的双曲线方程可表示为示为 与双曲线与双曲线共渐近线的双曲线方程可表示为共渐近线的双曲线方程可表示为【典例训练典例训练】1.(20121.(2012广州高二检测广州高二检测)双曲线双曲线 的一条渐的一条渐近线方程为近线方程为 则该双曲线的离心率的值为则该双曲线的离心率的值为()()（A A）(B)(C)(D)2(B)(C)(D)22.2.已知双曲线中心在原点，对称轴为坐标轴，且过点已知双曲线中心在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(3P(3，1)1)，一条渐近线与直线，一条渐

15、近线与直线3x3xy y1010平行，求双曲线的标准方平行，求双曲线的标准方程程.【解析解析】1.1.选选C C由已知得由已知得 所以，所以，故故即即 所以所以2.2.由已知，双曲线中心在原点，坐标轴为对称轴，由于其中一由已知，双曲线中心在原点，坐标轴为对称轴，由于其中一条渐近线与直线条渐近线与直线l：3x3xy y1010平行，平行，所以，双曲线的一条渐近线方程为所以，双曲线的一条渐近线方程为3x3xy y0 0，即，即y y3x.3x.可设双曲线方程为可设双曲线方程为9x9x2 2y y2 2(0)(0)由于双曲线过点由于双曲线过点P(3P(3，1)1)，所以，所以9 93 32 2(1)

16、1)2 2，即，即80.80.所求双曲线的标准方程为所求双曲线的标准方程为【想一想想一想】所有双曲线的渐近线方程都是所有双曲线的渐近线方程都是 吗？吗？提示：提示：焦点在焦点在x x轴上的双曲线的渐近线方程是轴上的双曲线的渐近线方程是 而焦点而焦点在在y y轴上的双曲线的渐近线方程是轴上的双曲线的渐近线方程是【规范解答规范解答】利用焦点三角形求双曲线的离心率利用焦点三角形求双曲线的离心率【典例典例】（1212分）点分）点P P是双曲线是双曲线C C1 1：和圆和圆C C2 2：x x2 2+y+y2 2=a=a2 2+b+b2 2的一个交点，且有的一个交点，且有2PF2PF1 1F F2 2=

17、PF=PF2 2F F1 1，其中，其中F F1 1，F F2 2是是双曲线双曲线C C1 1的左右两个焦点，求双曲线的左右两个焦点，求双曲线C C1 1的离心率的离心率.【解题指导解题指导】【规范解答规范解答】圆的半径圆的半径 2 2分分圆过双曲线圆过双曲线C C1 1的焦点，即的焦点，即F F1 1F F2 2为圆的直径为圆的直径.FF1 1PFPF2 2=90=90.4 4分分2PF2PF1 1F F2 2=PF=PF2 2F F1 1,PFPF1 1F F2 2=30=30,PF,PF2 2F F1 1=60=60.6 6分分在在RtFRtF1 1PFPF2 2中，中，F F1 1F

18、F2 2=2c,=2c,故故 8 8分分又点又点P P在双曲线上，且在双曲线右支上在双曲线上，且在双曲线右支上.10 10分分 1212分分【阅卷人点拨阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解题启示总结如下：（注：此处的题启示总结如下：（注：此处的见规范解答过程）见规范解答过程）失失分分警警示示 求解过程中若对题目中条件分析不透彻求解过程中若对题目中条件分析不透彻,分析题意不分析题意不细致细致,就会得不到就会得不到处的处的F F1 1PFPF2 2=90=90的关系，影响的关系，影响整个解题过程，只能得到开头的整个解题过程，只能得到开头的2

19、2分分.假如只考虑到假如只考虑到P P点所在的焦点三角形而盲目地运用正点所在的焦点三角形而盲目地运用正余弦定理或代入余弦定理或代入P P点的坐标运算，忽略双曲线的定点的坐标运算，忽略双曲线的定义，就得不到义，就得不到处处 的关系，的关系，解答中出现这种情况只能得到解答中出现这种情况只能得到6 67 7分分.解解题题启启示示(1)(1)解决解析几何问题要善于利用数形结合分析问题，通解决解析几何问题要善于利用数形结合分析问题，通过对图形的分析可以直观地得到一些利于解决问题的结过对图形的分析可以直观地得到一些利于解决问题的结论论.(2)(2)求双曲线的离心率时求双曲线的离心率时,一般先列出一般先列出

20、a,b,ca,b,c的关系的关系,再利再利用用b b2 2=c=c2 2-a-a2 2消去消去b,b,将将a a与与c c的关系式变形后得到关于的关系式变形后得到关于a a，c c的的方程求解方程求解.【规范训练规范训练】（1212分）设双曲线分）设双曲线 的半焦距的半焦距为为c c，直线，直线l过过A(a,0)A(a,0)、B(0B(0，b)b)两点，且原点到直线两点，且原点到直线l的距离为的距离为 求双曲线的离心率求双曲线的离心率【解题设问解题设问】本题中已知本题中已知a ab b0,0,那么那么a a、b b的大小关系对离心的大小关系对离心率范围有影响吗？率范围有影响吗？_.有有【规范答

21、题规范答题】由直线由直线l过（过（a,0a,0），（），（0,b0,b）两点，得直线）两点，得直线l的方的方程为程为 即即bx+ay-ab=0bx+ay-ab=02 2分分原点原点O O到直线到直线l的距离为的距离为 4 4分分将将 代入并整理得：代入并整理得：则则16t16t2 2-16t+3=0-16t+3=0，得，得 或或 8 8分分即即 1010分分双曲线的离心率双曲线的离心率 1212分分1.1.双曲线双曲线x x2 2+ky+ky2 2=1=1的离心率为的离心率为2 2，则实数，则实数k k的值为的值为()()(A)-3 (B)(C)3 (D)(A)-3 (B)(C)3 (D)【解

22、析解析】选选B.B.双曲线方程可化为双曲线方程可化为 则则a a2 2=1,=1,又离心率又离心率2.2.双曲线双曲线 的一个焦点到一条渐近线的距离等于的一个焦点到一条渐近线的距离等于()()(A)4 (B)3 (C)2 (D)(A)4 (B)3 (C)2 (D)【解析解析】选选A.A.由双曲线方程可知双曲线渐近线方程为由双曲线方程可知双曲线渐近线方程为y=y=即即4x4x3y=0.3y=0.而焦点为而焦点为(5,0)5,0)，故所求的距离为故所求的距离为3.3.已知双曲线已知双曲线 的实轴的一个端点为的实轴的一个端点为A A1 1，虚轴的，虚轴的一个端点为一个端点为B B1 1，且，且|A|

23、A1 1B B1 1|5 5，则双曲线的方程是，则双曲线的方程是()()(A)(B)(A)(B)(C)(D)(C)(D)【解析解析】选选C.C.由题意知由题意知a a4.4.又又|A|A1 1B B1 1|5 5，c c5 5，双曲线方程为双曲线方程为4.4.焦点为（焦点为（3 3，0 0），且与双曲线），且与双曲线 有相同的渐近线的有相同的渐近线的双曲线方程的顶点坐标是双曲线方程的顶点坐标是_._.【解析解析】因为焦点为（因为焦点为（3 3，0 0），所以实轴在），所以实轴在x x轴上，轴上，c=3,c=3,又与又与双曲线双曲线 有相同的渐近线，设所求双曲线为有相同的渐近线，设所求双曲线为y

24、 y2 2=k(k0),=k(k0),利用利用c=3,c=3,得得k=3,k=3,所以所求双曲线方程为所以所求双曲线方程为故其顶点坐标为故其顶点坐标为答案答案:5.5.求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程：方程：(1)(1)双曲线双曲线C C的右焦点为的右焦点为(2,0)(2,0)，右顶点为，右顶点为(2)(2)双曲线过点双曲线过点 离心率离心率【解析解析】(1)(1)设双曲线方程为设双曲线方程为由已知得由已知得 再由再由a a2 2b b2 2c c2 2，得，得b b2 21.1.故双曲线故双曲线C C的方程为的方程为(2)(2)设设a a2 29k(k0)9k(k0)，则则c c2 210k10k，b b2 2c c2 2a a2 2k.k.于是，设所求双曲线方程为于是，设所求双曲线方程为把把 代入代入，得，得k k161161与与k0k0矛盾，无解；矛盾，无解；把把 代入代入，得，得k k9 9，故所求双曲线方程为故所求双曲线方程为