史宁中：义务教育阶段数学基本思想理解与把握.ppt

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1、义务教育阶段数学基本思想理解与把握东北师范大学史宁中2015.4报告目录报告目录n n一、数学的基本思想n n二、义务教育数学中的抽象n n三、义务教育数学中的推理n n四、义务教育数学中的模型一、数学的基本思想一、数学的基本思想1.1.1.1.课程目标：由双基到四基（课程目标：由双基到四基（课程目标：由双基到四基（课程目标：由双基到四基（实现教育理念的转变实现教育理念的转变实现教育理念的转变实现教育理念的转变）过去的教育理念：以知识为本过去的教育理念：以知识为本过去的教育理念：以知识为本过去的教育理念：以知识为本 教学大纲教学大纲教学大纲教学大纲 关心问题是关心问题是：应当教那些内容；应当教

2、到什么程度应当教那些内容；应当教到什么程度应当教那些内容；应当教到什么程度应当教那些内容；应当教到什么程度 考核内容是考核内容是：规定的内容是否教了；学生的掌握是否达到要求规定的内容是否教了；学生的掌握是否达到要求规定的内容是否教了；学生的掌握是否达到要求规定的内容是否教了；学生的掌握是否达到要求 教学目标是：教学目标是：基础知识（概念记忆与命题理解）扎实（基础知识（概念记忆与命题理解）扎实（基础知识（概念记忆与命题理解）扎实（基础知识（概念记忆与命题理解）扎实（记忆记忆记忆记忆）基本技能（证明技能与运算技能）熟练（基本技能（证明技能与运算技能）熟练（基本技能（证明技能与运算技能）熟练（基本技

3、能（证明技能与运算技能）熟练（训练训练训练训练）教学形式是教学形式是：课堂、教材、教师（凯洛夫的三中心论）课堂、教材、教师（凯洛夫的三中心论）课堂、教材、教师（凯洛夫的三中心论）课堂、教材、教师（凯洛夫的三中心论）现代教育理念：以人为本现代教育理念：以人为本现代教育理念：以人为本现代教育理念：以人为本 工作目标：育人为本（纲要）、立德树人（十八大）工作目标：育人为本（纲要）、立德树人（十八大）工作目标：育人为本（纲要）、立德树人（十八大）工作目标：育人为本（纲要）、立德树人（十八大）以人为本：以学生的发展为本，站在学生立场思考问题。以人为本：以学生的发展为本，站在学生立场思考问题。人的成功依赖

4、：知识技能、把握机遇、人的成功依赖：知识技能、把握机遇、思维方法思维方法思维方法思维方法数学教育数学教育数学教育数学教育：不仅要让学生记住一些数学的知识、掌握一些数学的不仅要让学生记住一些数学的知识、掌握一些数学的不仅要让学生记住一些数学的知识、掌握一些数学的不仅要让学生记住一些数学的知识、掌握一些数学的技能，还要培养学生的数学素养。技能，还要培养学生的数学素养。技能，还要培养学生的数学素养。技能，还要培养学生的数学素养。一堂好课：一堂好课：一堂好课：一堂好课：把握数学内容的本质，创设合理的教学情境，启发学把握数学内容的本质，创设合理的教学情境，启发学把握数学内容的本质，创设合理的教学情境，启

5、发学把握数学内容的本质，创设合理的教学情境，启发学生思考，让学生在掌握知识技能的生思考，让学生在掌握知识技能的生思考，让学生在掌握知识技能的生思考，让学生在掌握知识技能的同时同时同时同时，理解数学内容的本质，理解数学内容的本质，理解数学内容的本质，理解数学内容的本质，感悟数学的基本思想，积累思维的经验。感悟数学的基本思想，积累思维的经验。感悟数学的基本思想，积累思维的经验。感悟数学的基本思想，积累思维的经验。终极目标：终极目标：终极目标：终极目标：会会会会用数学的眼睛观察现实世界，会用数学的思维分析用数学的眼睛观察现实世界，会用数学的思维分析用数学的眼睛观察现实世界，会用数学的思维分析用数学的

6、眼睛观察现实世界，会用数学的思维分析现实世界，会用数学的语言表达现实世界。现实世界，会用数学的语言表达现实世界。现实世界，会用数学的语言表达现实世界。现实世界，会用数学的语言表达现实世界。如何实现？如何实现？如何实现？如何实现？义务教育数学课程总目标义务教育数学课程总目标 四基四基四基四基：基础知识、基本技能：基础知识、基本技能 +基本思想、基本活动经验基本思想、基本活动经验基本思想、基本活动经验基本思想、基本活动经验 四能四能四能四能：发现问题、提出问题发现问题、提出问题发现问题、提出问题发现问题、提出问题 +分析问题、解决问题分析问题、解决问题 科学科学科学科学：敢于质疑、善于思考、实事求

7、是、一丝不苟：敢于质疑、善于思考、实事求是、一丝不苟基本活动经验基本活动经验基本活动经验基本活动经验：思维的经验，实践的经验（过程性：思维的经验，实践的经验（过程性目标的目标目标的目标目标的目标目标的目标）会思考问题会思考问题会思考问题会思考问题、会做事情会做事情会做事情会做事情能力的培养，依赖的不是说教和理解能力的培养，依赖的不是说教和理解，依赖的是学生参与其中的活动，依赖的是学生在这个过程中自，依赖的是学生参与其中的活动，依赖的是学生在这个过程中自己的思考和感悟，这种能力己的思考和感悟，这种能力是经验的积累是经验的积累是经验的积累是经验的积累。2.2.2.2.数学基本核心素养（核心词、核心

8、概念）数学基本核心素养（核心词、核心概念）数学基本核心素养（核心词、核心概念）数学基本核心素养（核心词、核心概念）如何理解数学：如何理解数学：如何理解数学：如何理解数学：数学的研究源于对现实世界的抽象，通过基于抽象数学的研究源于对现实世界的抽象，通过基于抽象数学的研究源于对现实世界的抽象，通过基于抽象数学的研究源于对现实世界的抽象，通过基于抽象结构的符号运算、形式推理、一般结论，理解和表达现实世界中结构的符号运算、形式推理、一般结论，理解和表达现实世界中结构的符号运算、形式推理、一般结论，理解和表达现实世界中结构的符号运算、形式推理、一般结论，理解和表达现实世界中事物的本质、关系与规律。数学不

9、仅是计算和推理的工具，数学事物的本质、关系与规律。数学不仅是计算和推理的工具，数学事物的本质、关系与规律。数学不仅是计算和推理的工具，数学事物的本质、关系与规律。数学不仅是计算和推理的工具，数学还是表达与交流的语言，数学承载着思想和文化。还是表达与交流的语言，数学承载着思想和文化。还是表达与交流的语言，数学承载着思想和文化。还是表达与交流的语言，数学承载着思想和文化。教学内容教学内容教学内容教学内容 核心素养核心素养核心素养核心素养 数学思想：数学思想：数学思想：数学思想：质量监测四个原则质量监测四个原则质量监测四个原则质量监测四个原则义务教育阶段（义务教育阶段（义务教育阶段（义务教育阶段（8

10、 8 8 8个）个）个）个）核心词、核心概念核心词、核心概念核心词、核心概念核心词、核心概念 数感数感数感数感、符号意识符号意识符号意识符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、空间观念、几何直观、数据分析观念、空间观念、几何直观、数据分析观念、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想运算能力、推理能力、模型思想运算能力、推理能力、模型思想运算能力、推理能力、模型思想高中教育阶段（高中教育阶段（高中教育阶段（高中教育阶段（6 6 6 6个）个）个）个）数学数学数学数学抽象抽象抽象抽象、逻辑推理、逻辑推理、逻辑推理、逻辑推理、数学数学数学数学建模、建模、建模、建模、运算运

11、算运算运算能力、能力、能力、能力、直观想象、数据分析直观想象、数据分析直观想象、数据分析直观想象、数据分析3.3.3.3.什么是数学的基本思想什么是数学的基本思想什么是数学的基本思想什么是数学的基本思想 图形结合、递归、换元、等量替换？图形结合、递归、换元、等量替换？图形结合、递归、换元、等量替换？图形结合、递归、换元、等量替换？确定确定数学的基本思想的原则：数学的基本思想的原则：数学的基本思想的原则：数学的基本思想的原则：数学的产生与发展必须依赖的思想数学的产生与发展必须依赖的思想数学的产生与发展必须依赖的思想数学的产生与发展必须依赖的思想 学习过数学与没有学习数学的思维差异学习过数学与没有

12、学习数学的思维差异学习过数学与没有学习数学的思维差异学习过数学与没有学习数学的思维差异 抽象、抽象、抽象、抽象、推理、模型推理、模型推理、模型推理、模型 义务教育阶段数学教学的责任：义务教育阶段数学教学的责任：义务教育阶段数学教学的责任：义务教育阶段数学教学的责任：感悟抽象、懂得推理感悟抽象、懂得推理感悟抽象、懂得推理感悟抽象、懂得推理 通过抽象：现实通过抽象：现实 数学数学 把研究对象、以及对象之间的关系形成概念把研究对象、以及对象之间的关系形成概念把研究对象、以及对象之间的关系形成概念把研究对象、以及对象之间的关系形成概念 从现实世界到数学内部，数学具有一般性从现实世界到数学内部，数学具有

13、一般性从现实世界到数学内部，数学具有一般性从现实世界到数学内部，数学具有一般性通过推理：数学通过推理：数学 数学数学 从假设前提出发，通过推理得到数学的结果从假设前提出发，通过推理得到数学的结果从假设前提出发，通过推理得到数学的结果从假设前提出发，通过推理得到数学的结果 数学内部的发展，数学具有逻辑性数学内部的发展，数学具有逻辑性数学内部的发展，数学具有逻辑性数学内部的发展，数学具有逻辑性通过模型：数学通过模型：数学 现实现实 解决现实世界中的与数量和图形有关的问题解决现实世界中的与数量和图形有关的问题解决现实世界中的与数量和图形有关的问题解决现实世界中的与数量和图形有关的问题 从数学内部到现

14、实世界，数学具有应用性从数学内部到现实世界，数学具有应用性从数学内部到现实世界，数学具有应用性从数学内部到现实世界，数学具有应用性 得到数学的基本特征：得到数学的基本特征：一般性（抽象）、严谨性（逻辑）、应用的广泛性（模型）一般性（抽象）、严谨性（逻辑）、应用的广泛性（模型）数学思想：数学思想：数学思想：数学思想：不是知识，不是靠讲解让学生理解不是知识，不是靠讲解让学生理解 是创设情境让学生感悟是创设情境让学生感悟教学要点：感悟什么？（教师对数学内容的把握）教学要点：感悟什么？（教师对数学内容的把握）如何感悟？（情境创设、教师引导）如何感悟？（情境创设、教师引导）参见参见参见参见著作：著作：著

15、作：著作：基本概念与运算法则基本概念与运算法则基本概念与运算法则基本概念与运算法则 -小学数学教学中的核心问题，小学数学教学中的核心问题，小学数学教学中的核心问题，小学数学教学中的核心问题，高教社，高教社，高教社，高教社，20132013年年年年通过抽象得到概念定义有两种方法：通过抽象得到概念定义有两种方法：对应的方法对应的方法、内涵的方法内涵的方法。建议建议建议建议：开始用对应的方法（感悟），以后用内涵方法（理解）开始用对应的方法（感悟），以后用内涵方法（理解）开始用对应的方法（感悟），以后用内涵方法（理解）开始用对应的方法（感悟），以后用内涵方法（理解）数是什么？数的本质是什么？表示数的关

16、键是什么？数是什么？数的本质是什么？表示数的关键是什么？数数数数是对数量的抽象，是对数量的抽象，是对数量的抽象，是对数量的抽象，本质本质本质本质是大小关系：从数量的多少到数的大小。是大小关系：从数量的多少到数的大小。是大小关系：从数量的多少到数的大小。是大小关系：从数量的多少到数的大小。二、义务教育数学中的抽象二、义务教育数学中的抽象开始用对应的方法：开始用对应的方法：开始用对应的方法：开始用对应的方法：三个苹果、三只鸡三个苹果、三只鸡三个苹果、三只鸡三个苹果、三只鸡 3 3 3 3（去掉物理属性去掉物理属性去掉物理属性去掉物理属性）对应方法对应方法对应方法对应方法 负数负数负数负数与自然数：

17、数量相等、意义相反。与自然数：数量相等、意义相反。与自然数：数量相等、意义相反。与自然数：数量相等、意义相反。以后用内涵的方法：以后用内涵的方法：以后用内涵的方法：以后用内涵的方法：自然数是一个一个多起来的（自然数是一个一个多起来的（自然数是一个一个多起来的（自然数是一个一个多起来的（算数公理体系算数公理体系算数公理体系算数公理体系、后继数后继数后继数后继数）1=0+11=0+11=0+11=0+1，2=1+12=1+12=1+12=1+1，3=2+13=2+13=2+13=2+1，4=3+14=3+14=3+14=3+1，如何认识如何认识如何认识如何认识 10000?10000?10000?

18、10000?10 10 10 10个个个个1000100010001000？10101010个千？个千？个千？个千？比比比比 9999 9999 9999 9999 多多多多 1 1 1 1（读法可以不同，表达必须一致）（读法可以不同，表达必须一致）（读法可以不同，表达必须一致）（读法可以不同，表达必须一致）数的符号表达：把握本质、表达简洁、具有一般性数的符号表达：把握本质、表达简洁、具有一般性数的符号表达：把握本质、表达简洁、具有一般性数的符号表达：把握本质、表达简洁、具有一般性读数的关键：十个符号读数的关键：十个符号读数的关键：十个符号读数的关键：十个符号 +数位数位数位数位如何读如何读如

19、何读如何读 2002200220022002：符号：符号：符号：符号 0 0 0 0 很重要很重要很重要很重要 1 1 1 1 10101010 1 1 1 1 9+9+9+9+0 0 0 0、10101010 数位与数不同数位与数不同数位与数不同数位与数不同 数位：从左到右、从小到大数位：从左到右、从小到大数位：从左到右、从小到大数位：从左到右、从小到大 个个个个(ones)(ones)(ones)(ones)、十、十、十、十(tens)(tens)(tens)(tens)，“十十十十”是十个是十个是十个是十个“个个个个”“万万万万”是十个是十个是十个是十个“千千千千”需要知道十进制需要知道

20、十进制需要知道十进制需要知道十进制、不需要知道计数单位不需要知道计数单位不需要知道计数单位不需要知道计数单位 数：数：数：数：10=9+110=9+110=9+110=9+1，10000=9999+1 10000=9999+1 10000=9999+1 10000=9999+1 0 0 0 0 对于加法很重要：相反数；减法对于加法很重要：相反数；减法对于加法很重要：相反数；减法对于加法很重要：相反数；减法：自然数集合自然数集合自然数集合自然数集合 整数集合整数集合整数集合整数集合1 1 1 1 对于乘法很重要：倒数；对于乘法很重要：倒数；对于乘法很重要：倒数；对于乘法很重要：倒数；除法除法除法

21、除法：整数集合整数集合整数集合整数集合 有理数集合有理数集合有理数集合有理数集合数的运算数的运算 与数的抽象一样，有两种方法定义加法：对应、内涵。与数的抽象一样，有两种方法定义加法：对应、内涵。与数的抽象一样，有两种方法定义加法：对应、内涵。与数的抽象一样，有两种方法定义加法：对应、内涵。内涵内涵内涵内涵：3+1=4 3+1=4 3+1=4 3+1=4？4=3+1 4=3+1 4=3+1 4=3+1 3+1=43+1=43+1=43+1=4 对应：对应：对应：对应：哪边多哪边多哪边多哪边多 哪边多？哪边多？哪边多？哪边多？3+1=43+1=43+1=43+1=4 理解等号的意义：等号两边讲两个

22、故事，两个故事量相等。理解等号的意义：等号两边讲两个故事，两个故事量相等。方程的定义？方程与函数的关系？方程的定义？方程与函数的关系？如何定义乘法？为什么负负得正？如何定义乘法？为什么负负得正？如何定义乘法？为什么负负得正？如何定义乘法？为什么负负得正？乘法是加法的乘法是加法的乘法是加法的乘法是加法的简便运算简便运算简便运算简便运算：2+2+2=2 2+2+2=2 2+2+2=2 2+2+2=2 3=6 3=6 3=6 3=6 (-2)(-2)(-2)(-2)3=(-2)+(-2)+(-2)=-6 3=(-2)+(-2)+(-2)=-6 3=(-2)+(-2)+(-2)=-6 3=(-2)+(

23、-2)+(-2)=-6 2 2 2 2 (-3)=-6 (-3)=-6 (-3)=-6 (-3)=-6？在在在在自然数集合自然数集合自然数集合自然数集合上，乘法是加法的上，乘法是加法的上，乘法是加法的上，乘法是加法的简便运算简便运算简便运算简便运算。在在在在整数集合整数集合整数集合整数集合上？上？上？上？乘法的本质。两个性质：乘法的本质。两个性质：乘法的本质。两个性质：乘法的本质。两个性质：0 0 0 0 a=0 a=0 a=0 a=0；1 1 1 1 a=a a=a a=a a=a 两个两个两个两个法则：法则：法则：法则：a a a a b=b b=b b=b b=b a a a a;(a+

24、b)(a+b)(a+b)(a+b)c=a c=a c=a c=a c+b c+b c+b c+b c c c c连同性质和法则，把乘法由连同性质和法则，把乘法由连同性质和法则，把乘法由连同性质和法则，把乘法由自然数集合自然数集合自然数集合自然数集合扩张到扩张到扩张到扩张到整数集合整数集合整数集合整数集合。1 1 1 1 1=1 1=1 1=1 1=1，(-1)(-1)(-1)(-1)1=-1 1=-1 1=-1 1=-1 1 1 1 1 (-1)=-1,(-1)(-1)=-1,(-1)(-1)=-1,(-1)(-1)=-1,(-1)(-1)=1(-1)=1(-1)=1(-1)=1点、线、面的抽

25、象点、线、面的抽象点、线、面的抽象点、线、面的抽象0 0 0 0 维是点、维是点、维是点、维是点、1 1 1 1 维是线、维是线、维是线、维是线、2 2 2 2 维是面、维是面、维是面、维是面、3 3 3 3 维是体。维是体。维是体。维是体。日常生活看到的几何图形都是三维的，点线面是抽象的结果。日常生活看到的几何图形都是三维的，点线面是抽象的结果。日常生活看到的几何图形都是三维的，点线面是抽象的结果。日常生活看到的几何图形都是三维的，点线面是抽象的结果。角的抽象角的抽象角的抽象角的抽象 角是由有公共端点的两条射线所组成的图形。角是由有公共端点的两条射线所组成的图形。角是由有公共端点的两条射线所

26、组成的图形。角是由有公共端点的两条射线所组成的图形。称下面的图形为角。角由两条线段所夹部分组成，这两条称下面的图形为角。角由两条线段所夹部分组成，这两条称下面的图形为角。角由两条线段所夹部分组成，这两条称下面的图形为角。角由两条线段所夹部分组成，这两条线段的一个端点重合。称这两条线段为角的边，角的大小与边线段的一个端点重合。称这两条线段为角的边，角的大小与边线段的一个端点重合。称这两条线段为角的边，角的大小与边线段的一个端点重合。称这两条线段为角的边，角的大小与边长无关。（小学：画同样大小的角）（初中：如何判断直角）长无关。（小学：画同样大小的角）（初中：如何判断直角）长无关。（小学：画同样大

27、小的角）（初中：如何判断直角）长无关。（小学：画同样大小的角）（初中：如何判断直角）几何作图（画角平分线）的教育价值：培养想象力。几何作图（画角平分线）的教育价值：培养想象力。几何作图（画角平分线）的教育价值：培养想象力。几何作图（画角平分线）的教育价值：培养想象力。抽象小结抽象小结抽象小结抽象小结抽象出数学研究对象、以及研究对象的关系和运算法则：抽象出数学研究对象、以及研究对象的关系和运算法则：抽象出数学研究对象、以及研究对象的关系和运算法则：抽象出数学研究对象、以及研究对象的关系和运算法则：把外部世界数量和数量关系把外部世界数量和数量关系把外部世界数量和数量关系把外部世界数量和数量关系、图

28、形与图形关系抽象到数学内部图形与图形关系抽象到数学内部图形与图形关系抽象到数学内部图形与图形关系抽象到数学内部。概念概念概念概念：自然数、负数；点、线、面、体、角：自然数、负数；点、线、面、体、角：自然数、负数；点、线、面、体、角：自然数、负数；点、线、面、体、角 关系关系关系关系：数的大小关系；两点决定一条直线、三点决定一个平面数的大小关系；两点决定一条直线、三点决定一个平面数的大小关系；两点决定一条直线、三点决定一个平面数的大小关系；两点决定一条直线、三点决定一个平面 运算运算运算运算：加法：加法：加法：加法 、减法、乘法、除法；距离、面积、体积、减法、乘法、除法；距离、面积、体积、减法、

29、乘法、除法；距离、面积、体积、减法、乘法、除法；距离、面积、体积小学数学主要研究三个关系：小学数学主要研究三个关系：小学数学主要研究三个关系：小学数学主要研究三个关系：数量关系、图形关系、随机关系数量关系、图形关系、随机关系数量关系、图形关系、随机关系数量关系、图形关系、随机关系抽象的东西不存在：现实中没有抽象的东西不存在：现实中没有抽象的东西不存在：现实中没有抽象的东西不存在：现实中没有 2 2 2 2，只有具体的两匹马、两头牛，只有具体的两匹马、两头牛，只有具体的两匹马、两头牛，只有具体的两匹马、两头牛抽象的东西是理念的存在抽象的东西是理念的存在抽象的东西是理念的存在抽象的东西是理念的存在

30、 郑板桥：郑板桥：郑板桥：郑板桥：我画的不是我眼中之竹，而是我心中之竹。我画的不是我眼中之竹，而是我心中之竹。我画的不是我眼中之竹，而是我心中之竹。我画的不是我眼中之竹，而是我心中之竹。三、义务教育数学中的推理三、义务教育数学中的推理推理：推理：推理：推理：数学内部的发展依赖的是逻辑推理数学内部的发展依赖的是逻辑推理数学的结论都是命题数学的结论都是命题 数学命题：数学命题：可供可供正确或者错误正确或者错误判断的陈述判断的陈述 可以判断可以判断。下面陈述不是数学命题。下面陈述不是数学命题 这个三角形是美的这个三角形是美的 仅供判断仅供判断。下面两个陈述都是数学命题。下面两个陈述都是数学命题 三角

31、形内角和三角形内角和180180度度 三角形内角和三角形内角和120120度度直接推理：对命题直接判断直接推理：对命题直接判断直接推理：对命题直接判断直接推理：对命题直接判断一般推理：一个命题判断到另一个命题判断的思维过程一般推理：一个命题判断到另一个命题判断的思维过程一般推理：一个命题判断到另一个命题判断的思维过程一般推理：一个命题判断到另一个命题判断的思维过程数学命题主要有两种形式数学命题主要有两种形式数学命题主要有两种形式数学命题主要有两种形式 性质命题：性质命题：性质命题：性质命题：A A A A 是是是是 B B B B。充分条件：。充分条件：。充分条件：。充分条件：A A A A

32、B B B B 必要条件：必要条件：必要条件：必要条件：B B B B A A A A 充分不必要充分不必要充分不必要充分不必要：两个偶数的和是偶数。两个偶数的和是偶数。两个偶数的和是偶数。两个偶数的和是偶数。必要不充分必要不充分必要不充分必要不充分：数可以比较大小。数可以比较大小。数可以比较大小。数可以比较大小。充分且必要充分且必要充分且必要充分且必要：直角三角形是一条边长的平方等于其他两条边直角三角形是一条边长的平方等于其他两条边 长平方之和的三角形。长平方之和的三角形。数学定义必须充分必要数学定义必须充分必要数学定义必须充分必要数学定义必须充分必要：称含有未知数的等式为方程。：称含有未知

33、数的等式为方程。：称含有未知数的等式为方程。：称含有未知数的等式为方程。？什么是数学的推理？什么是有逻辑的推理？什么是数学的推理？什么是有逻辑的推理？什么是数学的推理？什么是有逻辑的推理？什么是数学的推理？什么是有逻辑的推理？苹果是酸的，酸的是一种味道，所以苹果是一种味道。苹果是酸的，酸的是一种味道，所以苹果是一种味道。苹果是酸的，酸的是一种味道，所以苹果是一种味道。苹果是酸的，酸的是一种味道，所以苹果是一种味道。？三角形内角和是三角形内角和是三角形内角和是三角形内角和是180180180180度，度，度，度，180180180180度是平角，所以三角形是平角。度是平角，所以三角形是平角。度是

34、平角，所以三角形是平角。度是平角，所以三角形是平角。？逻辑推理：具有传递性的推理。逻辑推理：具有传递性的推理。逻辑推理：具有传递性的推理。逻辑推理：具有传递性的推理。在数学上有两种形式在数学上有两种形式在数学上有两种形式在数学上有两种形式演绎推理演绎推理演绎推理演绎推理：从大范围内成立的命题推断小范围内命题也成立。：从大范围内成立的命题推断小范围内命题也成立。：从大范围内成立的命题推断小范围内命题也成立。：从大范围内成立的命题推断小范围内命题也成立。凡人都有死，苏格拉底是人，所以苏格拉底有死。凡人都有死，苏格拉底是人，所以苏格拉底有死。凡人都有死，苏格拉底是人，所以苏格拉底有死。凡人都有死，苏

35、格拉底是人，所以苏格拉底有死。结果是结果是结果是结果是必然成立必然成立必然成立必然成立的，用于的，用于的，用于的，用于验证知识验证知识验证知识验证知识。是数学教学中推理的。是数学教学中推理的。是数学教学中推理的。是数学教学中推理的重点重点重点重点。归纳类比归纳类比归纳类比归纳类比：从小范围内成立的命题推断更大范围类似命题成立。：从小范围内成立的命题推断更大范围类似命题成立。：从小范围内成立的命题推断更大范围类似命题成立。：从小范围内成立的命题推断更大范围类似命题成立。苏格拉底是人、苏格拉底有死，柏拉图是人、柏拉图苏格拉底是人、苏格拉底有死，柏拉图是人、柏拉图苏格拉底是人、苏格拉底有死，柏拉图是

36、人、柏拉图苏格拉底是人、苏格拉底有死，柏拉图是人、柏拉图 有死，所以凡人都有死。有死，所以凡人都有死。有死，所以凡人都有死。有死，所以凡人都有死。结果是结果是结果是结果是或然成立或然成立或然成立或然成立的，用于的，用于的，用于的，用于发现知识发现知识发现知识发现知识。是数学教学中推理的。是数学教学中推理的。是数学教学中推理的。是数学教学中推理的弱点弱点弱点弱点。苏格拉底不到苏格拉底不到苏格拉底不到苏格拉底不到80808080岁死去，柏拉图不到岁死去，柏拉图不到岁死去，柏拉图不到岁死去，柏拉图不到80808080岁死去，所以岁死去，所以岁死去，所以岁死去，所以 凡人不到凡人不到凡人不到凡人不到8

37、0808080岁死去。岁死去。岁死去。岁死去。演绎推理演绎推理演绎推理演绎推理演绎推理需要前提：公理或者假设。基本前提演绎推理需要前提：公理或者假设。基本前提演绎推理需要前提：公理或者假设。基本前提演绎推理需要前提：公理或者假设。基本前提 同一律：同一律：同一律：同一律：a=aa=aa=aa=a，（，（，（，（a a a a 属于属于属于属于 A A A A 或者或者或者或者 a a a a不属于不属于不属于不属于 A A A A ）。）。）。）。矛盾律：矛盾律：矛盾律：矛盾律：a a a a P P P P 和和和和 a a a a P P P Pc c c c 不能同时成立。不能同时成立。

38、不能同时成立。不能同时成立。排中律排中律排中律排中律：a a a a P P P P 和和和和 a a a a P P P Pc c c c 必有一个成立。必有一个成立。必有一个成立。必有一个成立。命题命题命题命题 素数有无数多个。（反证法）素数有无数多个。（反证法）素数有无数多个。（反证法）素数有无数多个。（反证法）证明证明证明证明 假设素数有限个（假设素数有限个（归谬假设归谬假设）。）。比如只有比如只有n n个素数，表示为：个素数，表示为：p p1 1,p,pn n。令令 p=pp=p1 1.p.pn n+1+1。因为因为p p不能被不能被 p p1 1,p,pn n中任何一个素数整除，所

39、以中任何一个素数整除，所以 p p 是与是与 上述上述n n个素数不同的素数，与只有个素数不同的素数，与只有n n个素数不符（个素数不符（矛盾律矛盾律）。）。假设错误。因此，有无数多个素数（假设错误。因此，有无数多个素数（排中律排中律）。）。“数与代数数与代数数与代数数与代数”演绎推理的前提（基本事实）演绎推理的前提（基本事实）演绎推理的前提（基本事实）演绎推理的前提（基本事实）命题命题命题命题1 1 1 1 等式（不等式）关系具有传递性。等式（不等式）关系具有传递性。等式（不等式）关系具有传递性。等式（不等式）关系具有传递性。a=b(a a=b(a a=b(a a=b(a b b b b），

40、），），），b=c(b b=c(b b=c(b b=c(b c c c c）a=c(a a=c(a a=c(a a=c(a c c c c）命题命题命题命题2 2 2 2 等式（不等式）两边加减相同量，等式（不等式）不变。等式（不等式）两边加减相同量，等式（不等式）不变。等式（不等式）两边加减相同量，等式（不等式）不变。等式（不等式）两边加减相同量，等式（不等式）不变。a=b(a a=b(a a=b(a a=b(a b b b b）a+c=b+c(a+c a+c=b+c(a+c a+c=b+c(a+c a+c=b+c(a+c b+c b+c b+c b+c）a-c=b-c(a-c a-c=b-

41、c(a-c a-c=b-c(a-c a-c=b-c(a-c b-c b-c b-c b-c）演绎推理演绎推理演绎推理演绎推理有理数加法的定义？有理数加法的定义？有理数加法的定义？有理数加法的定义？加上一个正数比原来的数大加上一个正数比原来的数大加上一个正数比原来的数大加上一个正数比原来的数大。符号表示符号表示符号表示符号表示：对于任意的数：对于任意的数：对于任意的数：对于任意的数 a a a a 和正数和正数和正数和正数 b b b b，有，有，有，有 a+b a+b a+b a+b a a a a。因为因为因为因为 b b b b 为正数，所以为正数，所以为正数，所以为正数，所以 b b b

42、 b 0 0 0 0 在上面不等式两边分别加上在上面不等式两边分别加上在上面不等式两边分别加上在上面不等式两边分别加上 a a a a，由命题，由命题，由命题，由命题 2 2 2 2 得到得到得到得到 a+b a+b a+b a+b a a a a 结论成立。结论成立。结论成立。结论成立。类似方法可以证明对称命题：类似方法可以证明对称命题：类似方法可以证明对称命题：类似方法可以证明对称命题：加上一个负数比原来的数小加上一个负数比原来的数小加上一个负数比原来的数小加上一个负数比原来的数小。演绎推理演绎推理演绎推理演绎推理 减去一个正数等于加上这个正数的相反数减去一个正数等于加上这个正数的相反数减

43、去一个正数等于加上这个正数的相反数减去一个正数等于加上这个正数的相反数 减去一个正数比原来的数小减去一个正数比原来的数小减去一个正数比原来的数小减去一个正数比原来的数小用数学符号表示这个命题：用数学符号表示这个命题：用数学符号表示这个命题：用数学符号表示这个命题：b b b b 0 0 0 0，则，则，则，则 a-b=a+(-b)a-b=a+(-b)a-b=a+(-b)a-b=a+(-b)证明证明证明证明：因为因为因为因为“减法是加法逆运算减法是加法逆运算减法是加法逆运算减法是加法逆运算”：a-b=x a=b+xa-b=x a=b+xa-b=x a=b+xa-b=x a=b+x 由命题由命题由

44、命题由命题2 2 2 2，等式的两边分别加上，等式的两边分别加上，等式的两边分别加上，等式的两边分别加上（-b-b-b-b）等式不变：等式不变：等式不变：等式不变：a+(-b)=b+(-b)+xa+(-b)=b+(-b)+xa+(-b)=b+(-b)+xa+(-b)=b+(-b)+x。根据相反数的定义：根据相反数的定义：根据相反数的定义：根据相反数的定义：a+(-b)=xa+(-b)=xa+(-b)=xa+(-b)=x。由命题。由命题。由命题。由命题 1 1 1 1：a-b=x=a+(-b)a-b=x=a+(-b)a-b=x=a+(-b)a-b=x=a+(-b)演绎推理演绎推理演绎推理演绎推理

45、减去一个负数等于加上这个负数的相反数减去一个负数等于加上这个负数的相反数减去一个负数等于加上这个负数的相反数减去一个负数等于加上这个负数的相反数减去一个负数等于加上一个正数减去一个负数等于加上一个正数减去一个负数等于加上一个正数减去一个负数等于加上一个正数减去一个负数比原来的数大减去一个负数比原来的数大减去一个负数比原来的数大减去一个负数比原来的数大用数学符号表示这个命题用数学符号表示这个命题 a-(-b)=a+ba-(-b)=a+b证明证明：令令 x=a+bx=a+b。等式两边加。等式两边加 b b 的相反数的相反数（-b-b），由命题，由命题2 2 x+(-b)=a+b+(-b)=ax+(

46、-b)=a+b+(-b)=a 上面等式的两边同时减去上面等式的两边同时减去(-b)(-b)，再由命题，再由命题2 2：x+(-b)x+(-b)(-b)=a (-b)=a (-b)(-b)因为同数相减为因为同数相减为 0 0：x=a x=a (-b)(-b)。由命题。由命题1 1：a-(-b)=a+ba-(-b)=a+b 图形的运动（变换）：参照物图形的运动（变换）：参照物平移：参照物是一条射线平移：参照物是一条射线旋转：参照物是一条射线旋转：参照物是一条射线轴对称：参照物是一条直线轴对称：参照物是一条直线不变量是本质：两点间距离不变量是本质：两点间距离演绎推理演绎推理演绎推理演绎推理演绎推理只

47、能用来验证知识，不能用来发现知识。演绎推理只能用来验证知识，不能用来发现知识。演绎推理只能用来验证知识，不能用来发现知识。演绎推理只能用来验证知识，不能用来发现知识。论证问题的形式是：论证问题的形式是：论证问题的形式是：论证问题的形式是：已知已知已知已知 A A A A 求证求证求证求证 B B B B其中其中其中其中 A A 和和和和 B B 都是确定性命题，没有新的知识。都是确定性命题，没有新的知识。都是确定性命题，没有新的知识。都是确定性命题，没有新的知识。发现知识需要下面两种推理：发现知识需要下面两种推理：发现知识需要下面两种推理：发现知识需要下面两种推理：从条件预测结果的推理，从条件

48、预测结果的推理，从条件预测结果的推理，从条件预测结果的推理，从结果探究成因的推理从结果探究成因的推理从结果探究成因的推理从结果探究成因的推理需要归纳推理：需要归纳推理：需要归纳推理：需要归纳推理：从经验过的东西推断未曾经验的东西从经验过的东西推断未曾经验的东西从经验过的东西推断未曾经验的东西从经验过的东西推断未曾经验的东西 从小范围成立的命题推断更大的范围类似命题从小范围成立的命题推断更大的范围类似命题从小范围成立的命题推断更大的范围类似命题从小范围成立的命题推断更大的范围类似命题归纳推理归纳推理归纳推理归纳推理归纳推理需要的前提：经验或者想象归纳推理需要的前提：经验或者想象归纳推理需要的前提

49、：经验或者想象归纳推理需要的前提：经验或者想象经验：经验：经验：经验：从个别到一般，从具体到符号从个别到一般，从具体到符号从个别到一般，从具体到符号从个别到一般，从具体到符号 加法交加法交加法交加法交换换律律律律3+5=83+5=83+5=83+5=8，5+3=8 3+5=5+35+3=8 3+5=5+35+3=8 3+5=5+35+3=8 3+5=5+3 6+9=15 6+9=15 6+9=15 6+9=15，9+6=15 6+9=9+69+6=15 6+9=9+69+6=15 6+9=9+69+6=15 6+9=9+6 3+(-2)=1 3+(-2)=1 3+(-2)=1 3+(-2)=1

50、，(-2)+3=1 3+(-2)=(-2)+3(-2)+3=1 3+(-2)=(-2)+3(-2)+3=1 3+(-2)=(-2)+3(-2)+3=1 3+(-2)=(-2)+3 a+b=b+a a+b=b+a a+b=b+a a+b=b+a结论的正确与否需要演绎推理的证明结论的正确与否需要演绎推理的证明结论的正确与否需要演绎推理的证明结论的正确与否需要演绎推理的证明归纳推理归纳推理归纳推理归纳推理探究成因探究成因探究成因探究成因混合运算：混合运算：混合运算：混合运算：先括号、先乘除后加减先括号、先乘除后加减先括号、先乘除后加减先括号、先乘除后加减。为什么？为什么？为什么？为什么？(3+2)(