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1、青岛科技大学数理学院应用物理专业课之应用物理专业课之理理 论论 力力 学学1青岛科技大学数理学院 第第 一一 章章质质 点点 力力 学学2青岛科技大学数理学院 1.1 1.1 运动的描述方法运动的描述方法一一 参照系与坐标系参照系与坐标系参照系：为描述物体的运动而选择的标准物参照系：为描述物体的运动而选择的标准物.如果我们研究某一物体的运动，而可以忽略物体大如果我们研究某一物体的运动，而可以忽略物体大小和形状对其运动的影响，若不涉及物体的转动和小和形状对其运动的影响，若不涉及物体的转动和形变，我们就可以把物体当作是一个具有质量的点形变，我们就可以把物体当作是一个具有质量的点（即质点）来处理（即

2、质点）来处理.质点是经过科学抽象而形成的理想化的物理模型质点是经过科学抽象而形成的理想化的物理模型.目的是为了突出研究对象的主要性质目的是为了突出研究对象的主要性质,暂不考虑暂不考虑一些次要的因素一些次要的因素.质点质点3青岛科技大学数理学院 1.1.自由质点空间位置的确定自由质点空间位置的确定直角坐标系直角坐标系平面极坐标系平面极坐标系4青岛科技大学数理学院 2.2.运动学方程与轨道运动学方程与轨道分量式分量式从中消去参数从中消去参数 得轨迹方程得轨迹方程 运动学方程不涉及物体运动状态变化的原因（力）运动学方程不涉及物体运动状态变化的原因（力）.5青岛科技大学数理学院 3.3.位移位移 速度

3、速度 加速度加速度 位移位移给定时间内，联结质点的初位给定时间内，联结质点的初位置置 和末位置和末位置 ，并从，并从 指指向向 的有向线段的有向线段.记为记为 物理意义物理意义A)确切反映物体在空间位置的变化确切反映物体在空间位置的变化,与路径无关，与路径无关，只决定于质点的始末位置只决定于质点的始末位置.B）反映反映了运动的矢量性和叠加性了运动的矢量性和叠加性.6青岛科技大学数理学院 速度速度位矢随时间的变化率，记为位矢随时间的变化率，记为方向：方向：点切线方向点切线方向.加速度加速度速度随时间的变化率，记为速度随时间的变化率，记为 或或7青岛科技大学数理学院 1.2 1.2 速度、加速度的

4、分量表示式速度、加速度的分量表示式一一 直角坐标系直角坐标系速率速率1.1.速度在直角坐标系中的表示速度在直角坐标系中的表示8青岛科技大学数理学院 例例1 1 设椭圆规尺设椭圆规尺 的端点的端点 和和 沿直线导槽沿直线导槽 及及 滑动，而滑动，而 以匀速度以匀速度 运动运动.求椭圆规尺上求椭圆规尺上 点的轨道方程、速度及加速度点的轨道方程、速度及加速度.设设 ，.2.2.加速度在直角坐标系中的表示加速度在直角坐标系中的表示9青岛科技大学数理学院 解解 点点 的坐标为的坐标为消去消去 ，得点，得点 的轨道方程的轨道方程速度分量速度分量（椭圆）（椭圆）因因 点坐标为点坐标为10青岛科技大学数理学院

5、 故，速度分量亦可写为故，速度分量亦可写为即即加速度分量加速度分量11青岛科技大学数理学院 二二 极坐标系极坐标系单位矢量随时间的变化率单位矢量随时间的变化率1.1.速度在极坐标系中的表示速度在极坐标系中的表示12青岛科技大学数理学院 分量式分量式径向速度径向速度横向速度横向速度2.2.加速度在极坐标系中的表示加速度在极坐标系中的表示13青岛科技大学数理学院 径向加速度径向加速度横向加速度横向加速度分量式分量式柱坐标系柱坐标系平面极坐标系平面极坐标系 坐标坐标速度、加速度的表示式为相应速度、加速度的表示式为相应的平面极坐标中的形式加上的平面极坐标中的形式加上 轴分量即可轴分量即可.14青岛科技

6、大学数理学院 例例2 2 某质点运动方程为某质点运动方程为式中式中 和和 都是常数，试求其速度与加速度都是常数，试求其速度与加速度.解解 15青岛科技大学数理学院 3.3.切向加速度与法向加速度切向加速度与法向加速度切向加速度切向加速度法向加速度法向加速度自然坐标系：以轨道切线和法线为坐标的坐标系自然坐标系：以轨道切线和法线为坐标的坐标系.16青岛科技大学数理学院 解解 例例3 3 一质点沿圆滚线一质点沿圆滚线 的弧线运动的弧线运动.如如 为一常数，则其加速度亦为一常数，试证明之为一常数，则其加速度亦为一常数，试证明之.式中式中 为圆滚线某点为圆滚线某点 上的切线与水平线（上的切线与水平线（轴

7、）所轴）所成的角度，为成的角度，为 点与曲线最低点之间的曲线弧长点与曲线最低点之间的曲线弧长.17青岛科技大学数理学院 例例4 4 设质点设质点 沿螺旋线沿螺旋线运动，试求速度、加速度及轨道的曲率半径运动，试求速度、加速度及轨道的曲率半径.解解 18青岛科技大学数理学院 1.3 1.3 平动参照系平动参照系一一 绝对速度绝对速度 相对速度相对速度 牵连速度牵连速度系系“运动运动”系系系系“静止静止”系系在某瞬时相对在某瞬时相对 系系 系运动的速度系运动的速度两坐两坐标系标系坐标坐标变换变换关系关系19青岛科技大学数理学院 矢矢量量式式绝绝对对速速度度牵牵连连速速度度相相对对速速度度 例例1 1

8、 某人以每小时某人以每小时4 4千米的速度向东方前进时，感千米的速度向东方前进时，感觉风从正北吹来；如将速率增加一倍，则感觉风从东觉风从正北吹来；如将速率增加一倍，则感觉风从东北方向吹来北方向吹来.试求风速及风向试求风速及风向.20青岛科技大学数理学院 人以人以 的速率前进时的速率前进时 解解 取坐标系取坐标系 固着在地面上，固着在地面上，系固着在人身上，系固着在人身上，并令并令 轴指向东方，轴指向东方，轴指向北方轴指向北方.则则人以人以 的速率前进时的速率前进时21青岛科技大学数理学院 例例2 2 小船小船 被水流冲走后，用一绳将它拉回岸边被水流冲走后，用一绳将它拉回岸边 点点.假定水流速度

9、假定水流速度 沿河宽不变，而拉绳子的速度则沿河宽不变，而拉绳子的速度则为为 .如小船可以看成一个质点，求小船的轨迹如小船可以看成一个质点，求小船的轨迹.解解 因小船沿径向的绝对因小船沿径向的绝对速度为速度为 ，其方向与位置，其方向与位置矢量矢量 的方向相反，而水的方向相反，而水的牵连速度垂直于的牵连速度垂直于 方向方向（增加的方向）的分量增加的方向）的分量为为 ，所以，所以22青岛科技大学数理学院 积分，得积分，得设初始条件为设初始条件为则则小船的轨迹方程为小船的轨迹方程为23青岛科技大学数理学院 二二 绝对加速度绝对加速度 相对加速度相对加速度 牵连加速度牵连加速度矢矢量量式式绝绝对对加加速

10、速度度牵牵连连加加速速度度相相对对加加速速度度24青岛科技大学数理学院 1.4 1.4 质点运动定律质点运动定律一一 牛顿运动定律牛顿运动定律第一定律：任何物体（质点）如果没有受到其他第一定律：任何物体（质点）如果没有受到其他物体的作用，都将保持静止或匀速直线运动状态物体的作用，都将保持静止或匀速直线运动状态.第二定律：当一物体（质点）受到外力作用时，第二定律：当一物体（质点）受到外力作用时，该物体的加速度和外力成正比，和物体本身的质该物体的加速度和外力成正比，和物体本身的质量成反比，加速度的方向和外力方向一致量成反比，加速度的方向和外力方向一致.第三定律：两个物体之间的作用力第三定律：两个物

11、体之间的作用力 和反作用和反作用力力 沿同一直线沿同一直线,大小相等大小相等,方向相反方向相反,分别分别作用作用 在两个物体上在两个物体上.25青岛科技大学数理学院 二二 相对性原理相对性原理惯性参照系：牛顿定律能成立的参照系叫做惯性（参惯性参照系：牛顿定律能成立的参照系叫做惯性（参照）系照）系.反之，叫做非惯性反之，叫做非惯性（参照）（参照）系系.判断一个参照系是否为惯性系只能依靠观察和实验判断一个参照系是否为惯性系只能依靠观察和实验.相对于惯性系作匀速直线运动的一切参照系都是惯相对于惯性系作匀速直线运动的一切参照系都是惯性系性系.对于不同惯性系，牛顿力学的规律都具有相同的形对于不同惯性系，

12、牛顿力学的规律都具有相同的形式，在一惯性系内部所作的任何力学实验，都不能确式，在一惯性系内部所作的任何力学实验，都不能确定该惯性系相对于其他惯性系是否在运动定该惯性系相对于其他惯性系是否在运动.这就是力这就是力学相对性原理或伽利略相对性原理学相对性原理或伽利略相对性原理.爱因斯坦相对性原理：一切惯性系对所有的物理过爱因斯坦相对性原理：一切惯性系对所有的物理过程（包括电磁的、光学的）都是等价的程（包括电磁的、光学的）都是等价的.26青岛科技大学数理学院 1.5 质点运动微分方程质点运动微分方程一一 运动微分方程的建立运动微分方程的建立质点运动的微分方程形式质点运动的微分方程形式自由质点：不受任何

13、约束而运动的质点自由质点：不受任何约束而运动的质点.自由质点质点运动微分方程自由质点质点运动微分方程1 1）直角坐标系）直角坐标系27青岛科技大学数理学院 2 2）平面极坐标系）平面极坐标系约束约束 约束方程约束方程 约束力约束力 主动力主动力 2 2）约束方程：约束物所满足的方程）约束方程：约束物所满足的方程.1 1）约束：预先给定的、由约束物给出的对力学系统）约束：预先给定的、由约束物给出的对力学系统运动的限制运动的限制.3 3）约束力：约束物与质点之间相互作用的力（或称）约束力：约束物与质点之间相互作用的力（或称为约束反力，约束反作用力）为约束反力，约束反作用力）.4 4）主动力：质点所

14、受的除约束力之外的其他力（非）主动力：质点所受的除约束力之外的其他力（非约束力）约束力）.28青岛科技大学数理学院 非自由质点：受到约束的质点非自由质点：受到约束的质点.物体（质点）受到约束则自由度减少物体（质点）受到约束则自由度减少.非自由质点非自由质点自由质点自由质点去掉约束去掉约束非自由质点运动微分方程非自由质点运动微分方程密切平面密切平面法线平面法线平面解线约束问题常用内禀方程解线约束问题常用内禀方程优点：运动规律和约束力可优点：运动规律和约束力可以分开解算以分开解算.非约束力非约束力约束力约束力29青岛科技大学数理学院 二二 运动微分方程的解运动微分方程的解I.I.自由电子在沿自由电

15、子在沿 轴的振荡电场中的运动轴的振荡电场中的运动 力只是力只是时间时间 的函数的函数均为常数均为常数.电子运动微分方程为电子运动微分方程为设初始条件为设初始条件为，则，则30青岛科技大学数理学院 再积分，并设初始条件为再积分，并设初始条件为，则，则若起始时，电子在若起始时，电子在 处是静止的，则处是静止的，则非振荡项非振荡项振荡项振荡项31青岛科技大学数理学院 II.II.在具有阻力的介质中运动的抛体在具有阻力的介质中运动的抛体 力只是速度力只是速度的函数的函数抛体的运动微分方程为抛体的运动微分方程为因因 ，而，而 ，故，故若上式的解为若上式的解为 ，则，则32青岛科技大学数理学院 由此可以看

16、出，只要由此可以看出，只要 已知，就可以求出运动已知，就可以求出运动规律，并确定轨道规律，并确定轨道.速度较小的时候，可以近似地认为阻力速度较小的时候，可以近似地认为阻力 只与速只与速率率 的一次方成正比，即的一次方成正比，即33青岛科技大学数理学院 此时，可以改用直角坐标进行计算此时，可以改用直角坐标进行计算.设抛体在设抛体在 平面内运动，则其运动微分方程为平面内运动，则其运动微分方程为式中式中 为阻力系数，为阻力系数，由介质的性质和物体由介质的性质和物体的形状决定的形状决定设初始条件为设初始条件为 ，积分得，积分得设初始条件为设初始条件为 ，再积分可得，再积分可得34青岛科技大学数理学院

17、消去消去 ，得轨道方程为，得轨道方程为若阻力很小或者距离很短，即若阻力很小或者距离很短，即则将上式展为级数，可得则将上式展为级数，可得轨道在轨道在 处变成竖直直线处变成竖直直线.35青岛科技大学数理学院 III.III.三维谐振动三维谐振动 力只是坐标的函数力只是坐标的函数谐振动的运动微分方程为谐振动的运动微分方程为为为 劲劲 度度 系系 数数角角 频频 率率式中式中 和和 都是常数，且都是常数，且 ，可由初，可由初始条件确定始条件确定.36青岛科技大学数理学院 积分后得积分后得或或同理可得同理可得振幅振幅初相初相若角频率若角频率 是可通约的，即是可通约的，即是某一组整数是某一组整数37青岛科

18、技大学数理学院 则质点在空间的路径将是闭合的，而运动则是周则质点在空间的路径将是闭合的，而运动则是周期性的期性的.若若 之间并无公共因子，则运动周期为之间并无公共因子，则运动周期为在一周期中，坐标在一周期中，坐标 作作 次振荡，坐标次振荡，坐标 作作 次次振荡，而坐标振荡，而坐标 作作 次振荡次振荡.在一周期完了时，质在一周期完了时，质点回复到起始的位置和速度点回复到起始的位置和速度38青岛科技大学数理学院 解力学问题的步骤解力学问题的步骤I.理解题意理解题意VI.解方程解方程II.作草图作草图V.写出质点的运动微分方程写出质点的运动微分方程III.适当选取坐标系并规定质点的坐标适当选取坐标系

19、并规定质点的坐标IV.标出已知及未知的力，已知及未知的加速度标出已知及未知的力，已知及未知的加速度VII.讨论讨论39青岛科技大学数理学院 例例1 1 质量为质量为 的质点，在有阻力的空气中无初速度的质点，在有阻力的空气中无初速度地自离地面为地自离地面为 的地方竖直下落的地方竖直下落.如阻力与速度成正如阻力与速度成正比，试研究其运动比，试研究其运动.解解 质点的运动微分方程质点的运动微分方程设阻力设阻力令令则则 40青岛科技大学数理学院 例例2 2 在例在例1 1中，若阻力与速度平方成正比，试研究中，若阻力与速度平方成正比，试研究质点的运动质点的运动.解解 质点的运动微分方程质点的运动微分方程

20、设阻力设阻力令令则则 41青岛科技大学数理学院 例例33小环的质量为小环的质量为 ，套在一条光滑的钢索上，钢，套在一条光滑的钢索上，钢索的方程式为索的方程式为 .试求小环自试求小环自 处自由处自由滑至抛物线顶点时的速度及小环在此时所受到的约束滑至抛物线顶点时的速度及小环在此时所受到的约束反作用力反作用力.解解 小环受竖直向下的重力小环受竖直向下的重力 及约束及约束反作用力反作用力 ，的方向应沿抛物的方向应沿抛物线的法线方向线的法线方向.小环在任意位置小环在任意位置 处的运动微分处的运动微分方程为方程为即即42青岛科技大学数理学院 积分积分由此可得由此可得（小环滑至顶点时的速度）（小环滑至顶点时

21、的速度）顶点处顶点处小环在顶点处受到的约束反作用力为小环在顶点处受到的约束反作用力为43青岛科技大学数理学院 1.6 1.6 非惯性系动力学（一）非惯性系动力学（一）一一 在加速平动参照系中的运动在加速平动参照系中的运动质点在惯性系中的运动定律质点在惯性系中的运动定律在相对于惯性系作加速运动的参照系在相对于惯性系作加速运动的参照系 中的运动中的运动定律定律牛顿定律不再成立，由此可以得出结论：相对于牛顿定律不再成立，由此可以得出结论：相对于惯性系作加速运动的参照系惯性系作加速运动的参照系 是是非惯性系非惯性系.牛顿定律仍然成立，牛顿定律仍然成立，相当于一种力（非相相当于一种力（非相互作用力），这

22、种力叫做惯性力互作用力），这种力叫做惯性力.44青岛科技大学数理学院 二二 惯性力惯性力惯性力特点惯性力特点1 1）非相互作用力，没有施力物体，它只是反映）非相互作用力，没有施力物体，它只是反映参照系为非惯性系参照系为非惯性系.2 2）不存在惯性力的反作用力）不存在惯性力的反作用力.例例 火车在平直轨道上以匀加速火车在平直轨道上以匀加速 向前行驶，在车中用线悬挂着一小向前行驶，在车中用线悬挂着一小球，悬线与竖直线成球，悬线与竖直线成 角而静止，角而静止，求求 角角.解解（1 1）地面坐标系）地面坐标系45青岛科技大学数理学院（2 2）火车坐标系）火车坐标系在非惯性系中，只要加上适当的惯性力，就

23、仍在非惯性系中，只要加上适当的惯性力，就仍然能用牛顿定律来解决动力学问题然能用牛顿定律来解决动力学问题.46青岛科技大学数理学院 1.7 1.7 功功 与与 能能B*A力对质点所作的功为力在质点位移方向的分量与位移力对质点所作的功为力在质点位移方向的分量与位移大小的乘积大小的乘积.（功是标量，过程量）（功是标量，过程量）一一 功功47青岛科技大学数理学院 合力的功合力的功 =分力的功的代数和分力的功的代数和.48青岛科技大学数理学院 功的大小与参照系有关功的大小与参照系有关 平均功率平均功率 瞬时功率瞬时功率 功率的单位功率的单位（瓦特）（瓦特）功的量纲和单位功的量纲和单位49青岛科技大学数理

24、学院 二二 能能能（量）：衡量物体做功能力或本领大小的物理量能（量）：衡量物体做功能力或本领大小的物理量.机械能机械能动能动能 ：由于物体有一定的速度而具有：由于物体有一定的速度而具有的能量的能量.势能势能 ：由于物体间相对位置发生变化：由于物体间相对位置发生变化而具有的能量而具有的能量.功是能量变化的量度功是能量变化的量度.三三 保守力保守力 非保守力非保守力 耗散力耗散力力场力场：假如力仅为坐标：假如力仅为坐标 的单值的、有限的单值的、有限的和可微的函数，则在空间区域每一点上，都将的和可微的函数，则在空间区域每一点上，都将有一定的力作用着，此力和该点的坐标有关，这有一定的力作用着，此力和该

25、点的坐标有关，这个空间区域叫做力场个空间区域叫做力场.50青岛科技大学数理学院 在某些特殊情况下，必定存在一个单值、有限和可微在某些特殊情况下，必定存在一个单值、有限和可微的函数的函数 ，使得，使得此时此时为一恰当微分，则为一恰当微分，则 的值，将的值，将只由两端点的位置决定只由两端点的位置决定.51青岛科技大学数理学院 力所做的功由两端点的位置决定，即与中间路径无关力所做的功由两端点的位置决定，即与中间路径无关.保守力保守力：如果力所做的功与中间路：如果力所做的功与中间路径无关，或者沿任何闭合路径运行径无关，或者沿任何闭合路径运行一周时，力所做的功为零，这种力一周时，力所做的功为零，这种力就

26、叫做保守力就叫做保守力.若若则则如：万有引力、重力、弹性力、静电力等如：万有引力、重力、弹性力、静电力等.52青岛科技大学数理学院 非保守力非保守力：如果力所做的功与中间路径有关，或者沿：如果力所做的功与中间路径有关，或者沿任何闭合路径运行一周时，力所做的功不为零，这种任何闭合路径运行一周时，力所做的功不为零，这种力就叫做非保守力，也叫涡旋力力就叫做非保守力，也叫涡旋力.如：涡旋电场的涡旋电磁力等如：涡旋电场的涡旋电磁力等.耗散力耗散力：做功与中间路径有关，但总是做负功而消耗：做功与中间路径有关，但总是做负功而消耗能量的力能量的力.如：摩擦力、粘滞力等如：摩擦力、粘滞力等.四四 势势 能能保守

27、力对质点所做的功可以写成恰当微分的形式，即保守力对质点所做的功可以写成恰当微分的形式，即在保守力场中，作用力和某标量函数在保守力场中，作用力和某标量函数 之间之间必存在如下的关系必存在如下的关系53青岛科技大学数理学院 标量函数标量函数 叫做质点在叫做质点在 处的势能处的势能.势能具有相对性，势能大小与势能零点的选取有关势能具有相对性，势能大小与势能零点的选取有关.势能是属于系统的势能是属于系统的.势能计算势能计算令令 保守力的功保守力的功 势能是状态函数势能是状态函数54青岛科技大学数理学院 判断力是否为保守力的方法判断力是否为保守力的方法保守力保守力非保守力非保守力55青岛科技大学数理学院

28、 例例1 1 设作用在质点上的力是设作用在质点上的力是求此质点沿螺旋线求此质点沿螺旋线运行自运行自 至至 时，力对质点所做的功时，力对质点所做的功.解解 作用力是保守力，所以做功只和两端点的位置有关作用力是保守力，所以做功只和两端点的位置有关.56青岛科技大学数理学院 两端点位置两端点位置当当 时，时，当当 时，时，57青岛科技大学数理学院 解解 例例2 2 设作用在质点上的力是设作用在质点上的力是求此质点沿螺旋线求此质点沿螺旋线运行自运行自 至至 时，力对质点所做的功时，力对质点所做的功.此时此时代入代入可得可得58青岛科技大学数理学院 1.8 1.8 质点动力学的基本定理与基本守恒律质点动

29、力学的基本定理与基本守恒律一一 动量定理与动量守恒律动量定理与动量守恒律动量动量时时动量定理动量定理时时冲量冲量动量守恒律动量守恒律59青岛科技大学数理学院 二二 力矩力矩 动量矩（角动量）动量矩（角动量）力矩：力矩：大小：大小：方向：方向：由右螺旋法则判定由右螺旋法则判定.n相对固定点相对固定点n相对固定轴相对固定轴是力是力矩在三坐标轴的分量矩在三坐标轴的分量.60青岛科技大学数理学院 动量矩（角动量）：动量矩（角动量）：n相对原点相对原点n相对相对 轴轴61青岛科技大学数理学院 三三 角动量定理角动量定理 角动量守恒律角动量守恒律角动量定理角动量定理分量式分量式62青岛科技大学数理学院 冲

30、量矩冲量矩角动量守恒律角动量守恒律恒矢量恒矢量分量式分量式 例例11 质点所受的力，如果恒通过某一个定点，质点所受的力，如果恒通过某一个定点，则质点必在一平面上运动，试证明之则质点必在一平面上运动，试证明之.63青岛科技大学数理学院 解解 力所通过的那个定点叫做力心力所通过的那个定点叫做力心.如果取这个定点为如果取这个定点为坐标原点，则质点的位矢坐标原点，则质点的位矢 与与 共线，因而共线，因而 所以所以 为一恒矢量为一恒矢量.用用 乘（乘（1 1），），乘（乘（2 2），），乘（乘（3 3），并相加得），并相加得由此可知，质点只能在上式所确定的平面内运动由此可知，质点只能在上式所确定的平面内运动.64青岛科技大学数理学院 四四 动能定理动能定理 机械能守恒律机械能守恒律动能定理动能定理力做正功力做正功力不做功力不做功力做负功力做负功65青岛科技大学数理学院 若作用在质点上的力为保守力若作用在质点上的力为保守力，则，则机械能守恒定律机械能守恒定律机械能守恒定律：机械能守恒定律：当质点所受的力都是保守力时，当质点所受的力都是保守力时，质点的动能和势能可以相互消长，但总机械能的数质点的动能和势能可以相互消长，但总机械能的数值恒保持不变值恒保持不变.66