第二节 偏导数 (P13).ppt

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1、第二节机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、偏导数概念及其计算偏导数概念及其计算二二、高阶偏导数、高阶偏导数 偏 导 数 第八章 一、一、偏导数定义及其计算法偏导数定义及其计算法引例引例:研究弦在点研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度处的振动速度与加速度,就是就是中的中的 x 固定于固定于求求一阶导数与二阶导数一阶导数与二阶导数.x0 处处,关于关于 t 的的机动 目录 上页 下页 返回 结束 将振幅将振幅 在研究一元函数时在研究一元函数时,已经看到变化率的重要性已经看到变化率的重要性.但与一元函数比较但与一元函数比较,多元函数的情况要复杂得多多元函数的情况要复杂得多.在在这节我们讨论

2、二元函数关于一个自变量的情况这节我们讨论二元函数关于一个自变量的情况.一般地一般地,设函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 因此因此,当沿着平行轴方向变化时轴方向变化时,在变在变,x不变不变,实际上是实际上是的一元函数沿平行于沿平行于 轴方向变化率就是把轴方向变化率就是把 看作常数看作常数,函数关于自变量函数关于自变量一阶导数一阶导数.定义定义1.在点在点存在存在,的偏导数，记为的偏导数，记为的某邻域内的某邻域内则称此极限为函数则称此极限为函数极限极限设函数设函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意注意:同样可定义对同样可定义对 y 的偏导数的偏导数若函数若函数 z=f(x,y)在域在域

3、 D 内每一点内每一点(x,y)处处对对 x则该偏导数称为偏导函数则该偏导数称为偏导函数,也简称为也简称为偏导数偏导数,记为记为机动 目录 上页 下页 返回 结束 或或 y 偏导数存在偏导数存在,例如例如,三元函数三元函数 u=f(x,y,z)在点在点(x,y,z)处对处对 x 的的偏导数的概念可以推广到二元以上的函数偏导数的概念可以推广到二元以上的函数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数定义为偏导数定义为(请自己写出请自己写出)二元函数偏导数的几何意义二元函数偏导数的几何意义:是曲线是曲线在点在点 M0 处的切线处的切线对对 x 轴的斜率轴的斜率.在点在点M0 处的切线处的切线斜率斜

4、率.是曲线是曲线机动 目录 上页 下页 返回 结束 对对 y 轴的轴的函数在某点函数在某点各偏导数都存在各偏导数都存在,显然显然例如例如,注意：注意：但在该点但在该点不一定连续不一定连续.上节例 目录 上页 下页 返回 结束 在上节已证在上节已证 f(x,y)在点在点(0,0)并不连续并不连续!例例1.求求解法解法1:解法解法2:在点在点(1,2)处的偏导数处的偏导数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.设设证证:例例3.求求的偏导数的偏导数.(P14 例例4)解解:求证求证机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数记号是一个偏导数记号是一个例例4.已知理想气体的状态方程已知理想气体的

5、状态方程求证求证:证证:说明说明:(R 为为常数常数),不能看作不能看作分子与分母的商分子与分母的商!此例表明此例表明,机动 目录 上页 下页 返回 结束 整体记号整体记号,二、高阶偏导数二、高阶偏导数设设 z=f(x,y)在域在域 D 内存在连续的偏导数内存在连续的偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数，若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是则称它们是z=f(x,y)的的二阶偏导数二阶偏导数.按求导顺序不同按求导顺序不同,有下列四个二阶偏有下列四个二阶偏导导机动 目录 上页 下页 返回 结束 数数:类似可以定义更高阶的偏导数类似可以定义更高阶的偏导数.例如例如，z=f(x,y)关于关于 x 的三阶

6、偏导数的三阶偏导数为为z=f(x,y)关于关于 x 的的 n 1 阶偏导数阶偏导数,再关于再关于 y 的一的一阶阶机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数为偏导数为例例5.求函数求函数解解:注意注意:此处此处但这一结论但这一结论并不总成立并不总成立.机动 目录 上页 下页 返回 结束 的二阶偏导数及的二阶偏导数及 例如例如,二者不等机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6.证明函数证明函数满足拉普拉斯满足拉普拉斯证：证：利用利用对称性对称性,有有方程方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 则则证明 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理.例如例如,对三元函数对三元函数 u=f(x,y,z)

7、,说明说明:本定理对本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立元函数的高阶混合导数也成立.函数在其定义区域内是连续的函数在其定义区域内是连续的,故求故求初等函数的高阶导初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序数可以选择方便的求导顺序.因为初等函数的偏导数仍为初等函数因为初等函数的偏导数仍为初等函数,当三阶混合偏导数当三阶混合偏导数在点在点(x,y,z)连续时连续时,有有而初等而初等(证明略证明略)内容小结内容小结1.偏导数的概念及有关结论 定义;记号;几何意义 函数在一点偏导数存在函数在此点连续 混合偏导数连续与求导顺序无关2.偏导数的计算方法 求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义 求高阶偏导数的方法逐次求导法(与求导顺序无关时,应选择方便的求导顺序)机动 目录 上页 下页 返回 结束 杂题杂题 设方程确定 u 是 x,y 的函数,连续,且求解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习解答提示:P73 题 5P73 题 5,6即 xy0 时,机动 目录 上页 下页 返回 结束 P73 题6(1)(2)机动 目录 上页 下页 返回 结束