杨辉三角和二项式系数的性质.ppt

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1、 二项式系数的性质二项式系数的性质X复习复习1.什么叫二项式定理？通项公式？什么叫二项式定理？通项公式？2.什么叫二项式系数？项的系数？它什么叫二项式系数？项的系数？它们之间有什么不同？们之间有什么不同？二项式系数的性质二项式系数的性质(a+b)1 1 1(a+b)2 1 2 1(a+b)3 1 3 3 1(a+b)4 1 4 6 4 1(a+b)5 1 5 10 10 5 1(a+b)6 1 6 15 20 15 6 1 递推法递推法 这样的二项式系数表，早在我国南宋数学家杨辉1261 年所著的详解九章算法一书里就已经出现了，在这本书里，记载着类似下面的表：一 一 一 一 二 一 一 三 三

2、 一 一 四 六 四 一 一 五 十 十 五 一 一 六 十五 二十 十五 六 一 这个表称为杨辉三角杨辉三角。在详解九章算法一书里，还说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和，杨辉指出这个方法出于释锁算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（Blaise Pascal,1623年1662年）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。定义域定义域0,1,2,n 61420O63r f(r)

3、令令当当n=6时时,其图象是其图象是7个个孤立点孤立点 1.对称性对称性 在二项展开式中，与首末两端在二项展开式中，与首末两端“等距离等距离”的两项的二项式系数相的两项的二项式系数相等。等。2.增减性与最大值增减性与最大值 3.各二项式系数和各二项式系数和当当 时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性知它的时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性知它的后半部是逐渐减小的，且在中间取得最大值。后半部是逐渐减小的，且在中间取得最大值。当当n是偶数时，中间的一项是偶数时，中间的一项 取得最大时取得最大时 ；当当n是奇数时，中间的两项是奇数时，中间的两项 ，相等，且同时取得相等，且同时取得最大值。最大值。例例

4、:证明证明:在在(a+b)n展开式中展开式中,奇数项奇数项 的二项式系数的和等于偶的二项式系数的和等于偶 数项的二项式系数的和数项的二项式系数的和.例一、选择填空例一、选择填空：1.(1 x)13 的展开式中系数最小的项是的展开式中系数最小的项是 （）(A)第六项第六项 (B)第七项第七项 （C）第八项第八项 (D)第九项第九项2.一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一个灯泡，只要有一个灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不个灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为亮的可能性的种数为 （）(A)20

5、(B)219 （C）220 (D)220 1CD4或或5-2-10941093例二、已知例二、已知 的展开式中的展开式中只有只有第第10项系数项系数最大，求第五项。最大，求第五项。解：依题意，解：依题意，为偶数，且为偶数，且变式变式：若将：若将“只有第只有第10项项”改为改为“第第10项项”呢？呢？解解：（1）中间项有两项：中间项有两项：（2）T3，T7，T12，T13 的系数分别为：的系数分别为：例三、已知二项式例三、已知二项式(a+b)15（1）求二项展开式中的中间项；求二项展开式中的中间项；（2）比较）比较T3，T7，T12，T13各项系数的大小，并说明理由。各项系数的大小，并说明理由。

6、例四、已知例四、已知a,bN，m,n Z，且且2m+n=0，如果二项如果二项式式(ax m+bx n)12 的展开式中系数最大的项恰好是常数项，的展开式中系数最大的项恰好是常数项，求求 a:b 的取值范围。的取值范围。解：解：令令m(12 r)+nr=0，将，将 n=2m 代入，解得代入，解得 r =4故故T5 为常数项，且系数最大。为常数项，且系数最大。作业作业见课本小结小结（1）二项式系数的三个性质。（2）数学思想：函数思想。a 单调性；b 图象；c 最值。（3）数学方法：赋值法、递推法研究题：研究题：求二项式(x+2)7 展开式中系数最大的项，试归纳出求形如(ax+b)n 展开式中系数最大项的方法或步骤。解：设最大项为解：设最大项为 ，则：，则：即即即即则则展开式中最大项为展开式中最大项为