1-1函数 数列的极限.ppt

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1、第一章分析基础分析基础 函数函数 极限极限 连续连续 研究对象 研究方法 研究桥梁函数与极限第一节第一节映射与函数一、集合一、集合二、映射二、映射三、函数三、函数区间(有限和无限）一、一、集合集合其中,a 称为邻域中心,称为邻域半径.点的 邻域邻域去心 邻域邻域左左 邻域邻域:右右 邻域邻域:二、二、映射映射定义域自变量因变量三、函数三、函数1.函数的概念函数的概念定义定义.设数集则称映射为定义在D 上的函数,记为函数图形函数图形:(对应规则)(值域)(定义域)例如,反正弦主值 定义域定义域 对应规律对应规律的表示方法:解析法、图象法、列表法使表达式及实际问题都有意义的自变量集合.定义域值域又

2、如,绝对值函数定义域值 域例例4.已知函数求 及解解:函数无定义并写出定义域及值域 .定义域 值 域 2.2.函数的几种特性函数的几种特性设函数且有区间(1)(1)有界性有界性使称 使称 说明说明:还可定义有上界、有下界、无界 为有界函数.在 I 上有界.使若对任意正数 M,均存在 则称 f(x)无界无界.称 为有上界有上界称 为有下界有下界当(2)(2)单调性单调性当时,称 为 I 上的称 为 I 上的单调增函数;单调减函数.(3)(3)奇偶性奇偶性且有若则称 f(x)为偶函数;若则称 f(x)为奇函数.说明说明:若在 x=0 有定义,为奇函数奇函数时,则当必有例如,偶函数双曲余弦 又如,奇

3、函数双曲正弦 记再如,奇函数双曲正切 记(4)(4)周期性周期性且则称为周期函数,若称 l 为周期(一般指最小正周期).周期为 周期为注注:周期函数不一定存在最小正周期.例如,常量函数狄里克雷函数x 为有理数x 为无理数3.3.反函数与复合函数反函数与复合函数(1)反函数的概念及性质若函数为单射,则存在逆映射习惯上,的反函数记成称此映射为 f 的反函数.1)yf(x)单调递增(减)，其反函数且也单调递增(减).性质:2)函数与其反函数的图形关于直线对称.例如,对数函数互为反函数,它们都单调递增,其图形关于直线对称.指数函数(2)复合函数 则设有函数链称为由,确定的复合函数,u 称为中间变量.注

4、意:构成复合函数的条件 不可少.例如例如,函数链:但函数链不能构成复合函数.可定义复合函数两个以上函数也可构成复合函数.例如,可定义复合函数:1.1.2.2.与与能否复合？能否复合？是由与与复合而得的。复合而得的。3.3.？4.4.初等函数初等函数(1)基本初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数4.4.初等函数初等函数(2)初等函数由常数及基本初等函数经过有限次否则称为非初等函数.并可用一个式子表示的函数,四则运算和复合步骤所构成,称为初等函数.4.4.初等函数初等函数例如,可表为故为初等函数.又如,双曲函数与反双曲函数也是初等函数.非初等函数举例:符号函数当 x 0当 x=

5、0当 x N 时,总有一一、数列极限的定义、数列极限的定义$正正整数N，定义定义1:自变量取正整数的函数称为数列,记作或称为通项(一般项).观察数列观察数列收敛观察数列观察数列趋势不定发散问题问题:当当 无限增大时无限增大时,是否无限接近于某一是否无限接近于某一确定的数值确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?问题问题:“无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语言刻划它如何用数学语言刻划它.通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:当 n N 时,总有定义定义2：若数列及常数a 有下列关系:或则称该数列的极限为 a,记作此时也称数列收敛,否则称数列发散.当 n N 时,总有

6、当 n N 时,总有即定义定义:几何解释:当 n N 时,总有注：注：数列极限存在与否与前有限项无关当 n N 时,总有例例1证证所以所以,当 n N 时,总有例例2.已知证明证证:欲使只要即取则当时,就有故故也可取也可由N 与 有关,但不唯一.不一定取最小的 N.说明说明:取例例3.设证明等比数列证证:欲使只要即亦即因此,取,则当 n N 时,就有故的极限为 0.唯一性唯一性有界性有界性保号性保号性数列与子数列数列与子数列四则运算和复合运算法则（第五节）四则运算和复合运算法则（第五节）极限存在准则极限存在准则(第六节）第六节）二、收敛数列的性质二、收敛数列的性质二、收敛数列的性质二、收敛数列

7、的性质1 1、收敛数列的极限唯一收敛数列的极限唯一.如何证明极限的唯一性呢？如何证明极限的唯一性呢？常用反证法常用反证法证证:用反证法.及且取因故存在 N1,从而同理,因故存在 N2,使当 n N2 时,有收敛数列的极限唯一收敛数列的极限唯一.使当 n N1 时,假设从而矛盾.因此收敛数列的极限必唯一.则当 n N 时,故假设不真!满足的不等式使当n N时,有例例4.证明：数列发散.证证:用反证法.假设数列收敛,则有唯一极限 a 存在.取则存在 N,例例4.证明数列是发散的.但因交替取值 1 与1,而此二数不可能同时落在长度为 1 的开区间内,因此该数列发散.2、极限的有界性定理极限的有界性定

8、理说明说明:此性质反过来不一定成立.例如,数列虽有界但不收敛.收敛数列一定有界收敛数列一定有界.证证:设取则当时,从而有取 则有由此证明收敛数列必有界.有a.a.a.a.b.b.b.b.c.c.c.c.3、极限的保号性定理极限的保号性定理000lim$=nnnxNnNax时，有当bxNnNbaxnnn$=时，有当0limbabxaxnnn=且lim若且时,有证证:对 a 0,取推论推论:若数列从某项起(用反证法证明)收敛数列的保号性收敛数列的保号性.a.a.b.b.c.c.4、数列与子数列之间的极限、数列与子数列之间的极限*收敛数列的任一子数列收敛于同一极限收敛数列的任一子数列收敛于同一极限.

9、证证:设数列是数列的任一子数列.若则当 时,有现取正整数 K,使于是当时,有从而有由此证明*发散!则原数列一定发散.由此性质可知,若数列有两个子数列收敛于不同的极限,例如，三、极限存在准则三、极限存在准则（第六节）夹逼准则;单调有界准则.1.夹逼准则夹逼准则(准则I)(P50)证证:由条件(2),当时,当时,令则当时,有由条件(1)即故 证证:利用夹逼准则.由例例5.证明且命题得证。2.单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限(准则2)(P52)例例6.设证明数列极限存在.(P52P54)证证:利用二项式公式,有大大 大大 正正比较可知又根据准则 2 可知数列有极限.记此极限为 e,即e 为无

10、理数,其值为1.如何判断极限不存在如何判断极限不存在?方法方法1.找一个趋于找一个趋于的子数列的子数列;方法方法2.找两个收敛于不同极限的子数列找两个收敛于不同极限的子数列.问题问题问题问题2.已知：求求时时,说明理由.设由递推式两边取极限得不对不对!此处下述作法是否正确下述作法是否正确?1.数列极限的“N”定义及应用2.收敛数列的性质:唯一性;有界性;保号性;任一子数列收敛于同一极限小结小结3.极限存在准则:夹逼准则;单调有界准则作业与练习作业与练习P30 *3(2),(3),*4 ,*6P56 4(1),(3)4(3)提示:可用数学归纳法证 备选题备选题 设且求,故极限存在，设,且求解：解：设则由递推公式有数列单调递减有下界，故利用极限存在准则备选题备选题