高三数学（理科）押题精练：专题【17】《导数及其应用》.ppt

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1、专题17 导数及其应用导数及其应用导数及其应用主 干 知 识 梳 理热 点 分 类 突 破真 题 与 押 题1.导导数数的的意意义义和和运运算算是是导导数数应应用用的的基基础础，是是高高考考的一个热点的一个热点.2.利利用用函函数数的的单单调调性性和和最最值值确确定定函函数数的的解解析析式式或或参数的值，突出考查导数的工具性作用参数的值，突出考查导数的工具性作用.考情解读3主干知识梳理1.导数的几何意义导数的几何意义函函数数yf(x)在在点点xx0处处的的导导数数值值就就是是曲曲线线yf(x)在在点点(x0，f(x0)处处的的切切线线的的斜斜率率，其其切切线线方方程程是是yf(x0)f(x0)

2、(xx0).2.导数与函数单调性的关系导数与函数单调性的关系(1)f(x)0是是f(x)为为增增函函数数的的充充分分不不必必要要条条件件，如如函函数数f(x)x3在在(，)上单调递增，但上单调递增，但f(x)0.(2)f(x)0是是f(x)为为增增函函数数的的必必要要不不充充分分条条件件，当当函函数数在在某某个个区区间间内内恒恒有有f(x)0时时，则则f(x)为为常常函函数数，函函数数不具有单调性不具有单调性.3.函数的极值与最值函数的极值与最值(1)函函数数的的极极值值是是局局部部范范围围内内讨讨论论的的问问题题，函函数数的的最最值值是对整个定义域而言的，是在整个范围内讨论的问题是对整个定义

3、域而言的，是在整个范围内讨论的问题.(2)函函数数在在其其定定义义区区间间的的最最大大值值、最最小小值值最最多多有有一一个个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有而函数的极值可能不止一个，也可能没有.(3)闭闭区区间间上上连连续续的的函函数数一一定定有有最最值值，开开区区间间内内的的函函数数不不一一定定有有最最值值，若若有有唯唯一一的的极极值值，则则此此极极值值一一定定是是函函数的最值数的最值.4.定积分的三个公式与一个定理定积分的三个公式与一个定理(1)定积分的性质：定积分的性质：(2)微积分基本定理：微积分基本定理：一一般般地地，如如果果f(x)是是区区间间a，b上上的的连连续续函函数数，

4、并并且且F(x)f(x)，那么，那么 f(x)dxF(b)F(a).热点一 导数的运算和几何意义热点二 利用导数研究函数的性质热点三 导数与方程、不等式热点分类突破热点四 定积分例1(1)(2014广广东东)曲曲线线ye5x2在在点点(0,3)处处的的切线方程为切线方程为_.热点一 导数的运算和几何意义思维启迪 先先根根据据导导数数的的几几何何意意义义求求出出切切线线的的斜斜率率，写写出出点点斜斜式式方方程，再化为一般式方程程，再化为一般式方程.解析因为因为ye5x(5x)5e5x，所以所以y|x05，故切线方程为故切线方程为y35(x0)，即即5xy30.答案5xy30(2)在在平平面面直直

5、角角坐坐标标系系xOy中中，设设A是是曲曲线线C1：yax31(a0)与与曲曲线线C2：x2y2 的的一一个个公公共共点点，若若C1在在A处处的的切切线线与与C2在在A处处的的切切线线互互相相垂垂直直，则则实实数数a的值是的值是_.思维启迪A点坐标是解题的关键点，列方程求出点坐标是解题的关键点，列方程求出.解析设设A(x0，y0)，则则C1在在A处处的的切切线线的的斜斜率率为为f(x0)3ax，C2在在A处的切线的斜率为处的切线的斜率为又又C1在在A处的切线与处的切线与C2在在A处的切线互相垂直，处的切线互相垂直，答案4(1)求求曲曲线线的的切切线线要要注注意意“过过点点P的的切切线线”与与“

6、在在点点P处处的的切切线线”的的差差异异，过过点点P的的切切线线中中，点点P不不一一定定是是切切点点，点点P也也不不一一定定在在已已知知曲曲线线上上，而而在在点点P处的切线，必以点处的切线，必以点P为切点为切点.思维升华(2)利利用用导导数数的的几几何何意意义义解解题题,主主要要是是利利用用导导数数、切切点点坐坐标标、切切线线斜斜率率之之间间的的关关系系来来进进行行转转化化.以以平平行行、垂垂直直直直线线斜斜率率间间的的关关系系为为载载体体求求参参数数的的值值,则则要要求求掌掌握握平平行行、垂垂直直与与斜斜率率之之间间的的关关系系，进进而而和导数联系起来求解和导数联系起来求解.思维升华变式训练

7、1(2)若若曲曲线线f(x)xsin x1在在x 处处的的切切线线与与直直线线ax2y10互相垂直，则实数互相垂直，则实数a等于等于_.解析f(x)sin xxcos x，f()1，即即函函数数f(x)xsin x1在在点点x 处处的的切切线线的的斜斜率率是是1，直线直线ax2y10的斜率是的斜率是 ，所以所以()11，解得，解得a2.2例2已已知知函函数数f(x)(xa)ex，其其中中e是是自自然然对对数数的的底数，底数，aR.(1)求函数求函数f(x)的单调区间；的单调区间；热点二 利用导数研究函数的性质思维启迪 直接求直接求f(x)，利用，利用f(x)的符号确定单调区间；的符号确定单调区

8、间；解因为因为f(x)(xa)ex，xR，所以所以f(x)(xa1)ex.令令f(x)0，得，得xa1.当当x变化时，变化时，f(x)和和f(x)的变化情况如下：的变化情况如下：x(，a1)a1(a1，)f(x)0f(x)故故f(x)的单调减区间为的单调减区间为(，a1)；单调增区间为单调增区间为(a1，).(2)当当x0,4时，求函数时，求函数f(x)的最小值的最小值.思维启迪 讨讨论论区区间间0,4和和所所得得单单调调区区间间的的关关系系，一一般般情情况况下下，f(x)的最值可能在极值点或给定区间的端点处取到的最值可能在极值点或给定区间的端点处取到.解由由(1)得得，f(x)的的单单调调减

9、减区区间间为为(，a1)；单调增区间为；单调增区间为(a1，).所以当所以当a10，即即a1时，时，f(x)在在0,4上单调递增，上单调递增，故故f(x)在在0,4上的最小值为上的最小值为f(x)minf(0)a；当当0a14，即，即5a0或或f(x)0.若若已已知知函函数数的的单单调调性性，则则转转化化为为不不等等式式f(x)0或或f(x)0在单调区间上恒成立问题来求解在单调区间上恒成立问题来求解.思维升华(4)若若求求极极值值，则则先先求求方方程程f(x)0的的根根，再再检检查查f(x)在方程根的左右函数值的符号在方程根的左右函数值的符号.若若已已知知极极值值大大小小或或存存在在情情况况，

10、则则转转化化为为已已知知方方程程f(x)0根的大小或存在情况来求解根的大小或存在情况来求解.(5)求求函函数数f(x)在在闭闭区区间间a，b的的最最值值时时，在在得得到到极极值值的的基基础础上上，结结合合区区间间端端点点的的函函数数值值f(a)，f(b)与与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值的各极值进行比较得到函数的最值.思维升华变式训练2 已知函数已知函数f(x)ln x ，aR.(1)若若函函数数f(x)在在2，)上上是是增增函函数数，求求实实数数a的的取值范围；取值范围；f(x)在在2，)上是增函数，上是增函数，即即a 在在2，)上恒成立上恒成立.令令g(x)，则，则ag(x)min

11、，x2，)，g(x)在在2，)上是增函数，上是增函数，g(x)ming(2)1.a1.所以实数所以实数a的取值范围为的取值范围为(，1.(2)若函数若函数f(x)在在1，e上的最小值为上的最小值为3，求实数，求实数a的值的值.解由由(1)得得f(x)，x1，e.若若2a0，即，即f(x)0在在1，e上恒成立，上恒成立，此时此时f(x)在在1，e上是增函数上是增函数.所以所以f(x)minf(1)2a3，解得，解得a (舍去舍去).若若12ae，令，令f(x)0，得，得x2a.当当1x2a时，时，f(x)0，所以所以f(x)在在(1,2a)上是减函数，上是减函数，当当2ax0，所以所以f(x)在

12、在(2a，e)上是增函数上是增函数.所以所以f(x)minf(2a)ln(2a)13，解得解得a (舍去舍去).若若2ae，则，则x2a0，即，即f(x)0)，设设F(x)f(x)g(x).(1)求函数求函数F(x)的单调区间；的单调区间；思维启迪 利用利用F(x)确定单调区间；确定单调区间；a0，由，由F(x)0 x(a，)，F(x)在在(a，)上是增函数上是增函数.由由F(x)0 x(0，a)，F(x)在在(0，a)上是减函数上是减函数.F(x)的单调递减区间为的单调递减区间为(0，a)，单调递增区间为单调递增区间为(a，).(2)若若以以函函数数yF(x)(x(0,3)图图象象上上任任意

13、意一一点点P(x0，y0)为为切切点点的的切切线线的的斜斜率率k 恒恒成成立立，求求实实数数a的的最最小值；小值；思维启迪kF(x0)，F(x0)分离分离a，利用函数思想求，利用函数思想求a的最小值；的最小值；解由由F(x)(00.又由又由G(2)G(2)ln 52 0，则则f(x)在在(0，)上上是是增函数增函数.当当a0时，若时，若0 x0，故故f(x)在在(0，上是增函数；上是增函数；若若x ，则，则f(x)0，故故f(x)在在 ，)上是减函数上是减函数.综上，当综上，当a0时，时，f(x)在在(0，)上是增函数；上是增函数；当当aa2成立，求实数成立，求实数m的取值范围的取值范围.解由

14、题意，知对任意由题意，知对任意a(4，2)及及x1,3，恒有恒有maf(x)a2成立，成立，等价于等价于maa2f(x)max.由由(1)，知当，知当a(4，2)时，时，f(x)在在1,3上是减函数，上是减函数，所以所以f(x)maxf(1)2a，所以所以maa22a，即，即ma2.因为因为a(4，2)，所以，所以2a21，则，则a的值为的值为()A.6 B.4 C.3 D.2由题意，可得由题意，可得a2ln a13ln 2，解得，解得a2.D(2)如图，阴影部分的面积是如图，阴影部分的面积是()答案由题图，可知阴影部分面积为由题图，可知阴影部分面积为C1.函数单调性的应用函数单调性的应用(1

15、)若若可可导导函函数数f(x)在在(a，b)上上单单调调递递增增，则则f(x)0在区间在区间(a，b)上恒成立；上恒成立；(2)若若可可导导函函数数f(x)在在(a，b)上上单单调调递递减减，则则f(x)0在区间在区间(a，b)上恒成立；上恒成立；(3)可可导导函函数数f(x)在在区区间间(a，b)上上为为增增函函数数是是f(x)0的必要不充分条件的必要不充分条件.本讲规律总结2.可导函数极值的理解可导函数极值的理解(1)函函数数在在定定义义域域上上的的极极大大值值与与极极小小值值的的大大小小关关系系不不确确定，也有可能极小值大于极大值；定，也有可能极小值大于极大值；(2)对对于于可可导导函函

16、数数f(x)，“f(x)在在xx0处处的的导导数数f(x)0”是是“f(x)在在xx0处取得极值处取得极值”的必要不充分条件；的必要不充分条件；(3)注注意意导导函函数数的的图图象象与与原原函函数数图图象象的的关关系系，导导函函数数由由正正变变负负的的零零点点是是原原函函数数的的极极大大值值点点，导导函函数数由由负负变变正正的的零点是原函数的极小值点零点是原函数的极小值点.3.利用导数解决优化问题的步骤利用导数解决优化问题的步骤(1)审审题题设设未未知知数数；(2)结结合合题题意意列列出出函函数数关关系系式式；(3)确确定定函函数数的的定定义义域域；(4)在在定定义义域域内内求求极极值值、最最

17、值值；(5)下下结论结论.4.定积分在几何中的应用定积分在几何中的应用被被积积函函数数为为yf(x)，由由曲曲线线yf(x)与与直直线线xa，xb(a0)，若若f(x)在在1,1上的最小值记为上的最小值记为g(a).(1)求求g(a)；解因为因为a0，1x1，所以，所以当当0a1时，时，若若x1，a，则，则f(x)x33x3a，f(x)3x230，故故f(x)在在(a,1)上是增函数上是增函数.所以所以g(a)f(a)a3.真题感悟21当当a1时，有时，有xa，则，则f(x)x33x3a，f(x)3x230，故故f(x)在在(1,1)上是减函数，上是减函数，所以所以g(a)f(1)23a.真题

18、感悟21(2)证明：当证明：当x1,1时，恒有时，恒有f(x)g(a)4.证明令令h(x)f(x)g(a).当当0a1时，时，g(a)a3.若若xa,1，则，则h(x)x33x3aa3，h(x)3x23，所以所以h(x)在在(a,1)上是增函数，上是增函数，所以，所以，h(x)在在a,1上的最大值是上的最大值是h(1)43aa3，真题感悟21且且0a0，知知t(a)在在(0,1)上是增函数上是增函数.所以，所以，t(a)t(1)4，即，即h(1)0，因因此此函函数数f(x)在在0,1上单调递增，上单调递增，所以所以x0,1时，时，f(x)minf(0)1.押题精练12根据题意可知存在根据题意可

19、知存在x1,2，使得，使得g(x)x22ax41，令令h(x)，则则要要使使ah(x)在在x1,2能能成成立立，只只需使需使ah(x)min，押题精练12押题精练122.已知函数已知函数f(x)ln x，x1,3.(1)求求f(x)的最大值与最小值；的最大值与最小值；令令f(x)0得得x2，x1,3，当当1x2时，时，f(x)0；押题精练12当当2x0；f(x)在在(1,2)上是单调减函数，上是单调减函数，在在(2,3)上是单调增函数，上是单调增函数，f(x)在在x2处取得极小值处取得极小值f(2)ln 2；押题精练12f(1)f(3)，押题精练12(2)若若f(x)4at对对任任意意的的x1,3，t0,2恒恒成成立立，求实数求实数a的取值范围；的取值范围；解由由(1)知当知当x1,3时，时，f(x)，故对任意故对任意x1,3，f(x)对任意对任意t0,2恒成立，恒成立，即即at 恒成立，记恒成立，记g(t)at，t0,2.押题精练12