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1、1.1 1.1 正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理 1.1.1 1.1.1 正弦定理正弦定理 第一章第一章 解三角形解三角形高中新课程数学必修高中新课程数学必修第一课时第一课时问题提出问题提出1.1.在直角三角形中，三边在直角三角形中，三边a a，b b，c c，及锐，及锐角角A A，B B之间有怎样的数量关系？之间有怎样的数量关系？A AB BC C a ab bc c3.3.对于直角三角形，我们可利用上述原对于直角三角形，我们可利用上述原理进行有关计算理进行有关计算.对于一般三角形中边和对于一般三角形中边和角的关系，我们需要建立相关理论进行角的关系，我们需要建立相关理论进行沟通，这是一个

2、有待探究的课题沟通，这是一个有待探究的课题.2.2.三角形是最基本的几何图形，许多与三角形是最基本的几何图形，许多与测量有关的实际问题，都要通过解三角测量有关的实际问题，都要通过解三角形来解决形来解决.如船在航行中测量海上两个岛如船在航行中测量海上两个岛屿之间的距离；飞机在飞行中测量一座屿之间的距离；飞机在飞行中测量一座山顶的海拔高度；在地面上测量顶部或山顶的海拔高度；在地面上测量顶部或底部不可到达的建筑物的高度；测量在底部不可到达的建筑物的高度；测量在海上航行的轮船的航速和航向等海上航行的轮船的航速和航向等.知识探究（一）：知识探究（一）：正弦定理的形成正弦定理的形成 思考思考1 1：在在R

3、tABCRtABC中，中，CC9090，BCBCa a，ACACb b，ABABc c，则，则sinAsinA，sinBsinB，sinCsinC分别等于什么？分别等于什么？C CA AB Ba ab bc c思考思考2 2：将上述关系变式，边长将上述关系变式，边长c c 有哪几有哪几种表示形式？由此可得什么结论？种表示形式？由此可得什么结论？C CA AB Ba ab bc c思考思考3 3：可变形为可变形为 ,在锐角在锐角ABCABC中，该中，该等式是否成立？为什么？等式是否成立？为什么？C CA AB Ba ab bD思考思考4 4：若若CC为钝角，为钝角，是否成立？是否成立？若若AA为

4、钝角，为钝角，是否成立？是否成立？若若BB为钝角，为钝角，是否成立？是否成立？C CA AB Ba ab bC CA AB BabDD思考思考5 5：在任意三角形中，同理可得，在任意三角形中，同理可得，,因此有因此有该连等式称为该连等式称为正弦定理正弦定理.如何用文字语言如何用文字语言描述正弦定理？描述正弦定理？在一个三角形中，各边和它所对角的正在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比相等弦之比相等.知识探究（二）：知识探究（二）：正弦定理的向量证明正弦定理的向量证明 思考思考1 1：在在ABCABC中，向量中，向量 ，之间有什么关系？之间有什么关系？C CA AB Bab思考思考2 2：若若

5、AA为锐角，过点为锐角，过点A A作单位向量作单位向量i，使，使i ,则向量则向量i与与 ,的的夹角分别是什么？夹角分别是什么？C CA AB Babi思考思考3 3：由由 可得什么结论？可得什么结论？C CA AB Babi思考思考4 4：若若AA为钝角，上述推理过程有为钝角，上述推理过程有什么变化？所得结论如何？什么变化？所得结论如何？C CA AB Babi思考思考5 5：若证明若证明 ，应如何作，应如何作单位向量单位向量i？C CA AcbB Bi理论迁移理论迁移例例1 1 在在ABCABC中，已知中，已知A=32.0A=32.0，B=81.8B=81.8，a=42.9cma=42.9

6、cm，解三角形，解三角形.C=66.2C=66.2，b80.1cmb80.1cm，c74.1 cm.c74.1 cm.例例2 2 在在ABCABC中，已知中，已知a=20cma=20cm，b=28cmb=28cm，A=40A=40，解三角形，解三角形.例例3 3 在在ABCABC中，已知中，已知a=60cma=60cm，b=50cmb=50cm，A=38A=38，解三角形，解三角形.sinB0.8999sinB0.8999，B64B64，C=76C=76，c30 cmc30 cm；或；或B116B116，C=24C=24，c13 c13 cm.cm.sinB0.5131sinB0.5131，B

7、31B31，C=111C=111，c91 cm c91 cm 小结作业小结作业1.1.三角形的三个内角及其对边叫做三角三角形的三个内角及其对边叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形他元素的过程叫做解三角形.2.2.正弦定理的外在形式是公式，它由三正弦定理的外在形式是公式，它由三个等式组成即个等式组成即 ，每个等式都表示三角形的两个角和它们每个等式都表示三角形的两个角和它们的对边的关系的对边的关系.3.3.利用正弦定理可以解决两类解三角形利用正弦定理可以解决两类解三角形的问题：一类是已知两角和一边解三角的问题：一类是已知两角和一边解三

8、角形；另一类是已知两边和其中一边的对形；另一类是已知两边和其中一边的对角解三角形角解三角形.对于第二类问题，要注意确对于第二类问题，要注意确定解的个数定解的个数.作业：作业：P4 P4 练习练习 ：1,2.1,2.1.1 1.1 正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理1.1.1 1.1.1 正弦定理正弦定理第二课时第二课时问题提出问题提出 1.1.正弦定理的外在形式和数学意义分别正弦定理的外在形式和数学意义分别是什么？是什么？在一个三角形中，各边和它所对角的正在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比相等弦之比相等.2.2.在解三角形中，利用正弦定理可以解在解三角形中，利用正弦定理可以解决哪两类问

9、题？决哪两类问题？已知两角和一边解三角形；已知两角和一边解三角形；已知两边和其中一边的对角解三角形已知两边和其中一边的对角解三角形.3.3.在正弦定理中，在正弦定理中，有什么几何意义有什么几何意义？利用正弦定理可以得到哪些相关结论？利用正弦定理可以得到哪些相关结论？这需要我们作进一步了解和探究，加？这需要我们作进一步了解和探究，加深对正弦定理的理性认识深对正弦定理的理性认识.3.在正弦定理中，3.在正弦定理中，探究（一）：正弦定理的几何意义探究（一）：正弦定理的几何意义思考思考1 1：在直角三角形在直角三角形ABCABC中，中，等于等于什么？什么？C CA AB Ba ab bc c3.在正弦

10、定理中，3.在正弦定理中，思考思考2 2：如图，作如图，作ABCABC的外接圆，你能的外接圆，你能构造一个一条直角边长为构造一个一条直角边长为a a，其对角大小，其对角大小为为A A的直角三角形吗？的直角三角形吗？D DC CA AB BaO O思考思考3 3：设设ABCABC的外接圆半径为的外接圆半径为R R，则，则 等于什么？等于什么？思考思考4 4：如图，若如图，若AA为钝角，上述结论为钝角，上述结论还成立吗？还成立吗？若若AA为直角呢？为直角呢？D DC CA AB BaO O探究（二）：正弦定理的变式拓展探究（二）：正弦定理的变式拓展思考思考1 1：在三角形中有在三角形中有“大边对大

11、角大边对大角”原原理，如何利用正弦定理进行理论解释？理，如何利用正弦定理进行理论解释？思考思考2 2：利用等比定理，正弦定理可作哪利用等比定理，正弦定理可作哪些变形？些变形？思考思考3 3：利用正弦定理如何求三角形的周利用正弦定理如何求三角形的周长？长？思考思考4 4：设设ABCABC的外接圆半径为的外接圆半径为R R，则其，则其面积公式面积公式 可以作哪些变形可以作哪些变形？思考思考5 5：在在ABCABC中，设中，设AA的平分线交的平分线交BCBC边于点边于点D D，则，则 （角平分线定理），（角平分线定理），你能用正弦定理证明这个结论吗？你能用正弦定理证明这个结论吗？C CA AB BD

12、 D理论迁移理论迁移 例例1 1 在钝角在钝角ABCABC中，已知中，已知AB=AB=，AC=1AC=1，B=30B=30，求，求ABCABC的面积的面积.例例2 2 在在ABCABC中，已知中，已知 ，sinBsinB=sinCsinC，且，且ABCABC的面积为的面积为 ，求求c c边的长边的长.例例3 3 在在ABCABC中，已知中，已知acosBacosB=bcosAbcosA，试确定试确定ABCABC的形状的形状.等腰三角形等腰三角形 例例4 4 在在ABCABC中，已知中，已知 ，求角，求角A A的值的值.120120 小结作业小结作业1.1.正弦定理是以三角形为背景的一个基正弦定

13、理是以三角形为背景的一个基本定理，它不仅可以用来求三角形的边本定理，它不仅可以用来求三角形的边角值，而且可以在三角变换中实现边角角值，而且可以在三角变换中实现边角转化，是解决三角形问题的一个重要工转化，是解决三角形问题的一个重要工具具.2.2.正弦定理的应用具有一定的灵活性，正弦定理的应用具有一定的灵活性，在处理三角形的边角关系时，利用在处理三角形的边角关系时，利用a=2RsinAa=2RsinA，b=2RsinBb=2RsinB，c=2RsinCc=2RsinC，可达，可达到化边为角的目的到化边为角的目的.3.3.正弦定理不是万能的，如已知三角形正弦定理不是万能的，如已知三角形的三边长，利用

14、正弦定理就不能求出三的三边长，利用正弦定理就不能求出三个内角，因此我们还需要建立新的理论个内角，因此我们还需要建立新的理论.欲知后事如何，且听下回分解欲知后事如何，且听下回分解.作业：作业：P10P10习题习题1.1 A1.1 A组：组：2.2.B B组：组：2.2.1.1 1.1 正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理1.1.2 1.1.2 余弦定理余弦定理第一课时第一课时问题提出问题提出1.1.正弦定理的外在形式是什么？其数学正弦定理的外在形式是什么？其数学意义如何？意义如何？在一个三角形中，各边和它所对角的正在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比相等弦之比相等.2.2.若已知三角形的两边

15、及其夹角或已知若已知三角形的两边及其夹角或已知三边，能否用正弦定理解三角形？三边，能否用正弦定理解三角形？3.3.对于上述问题，需要建立一个新的数对于上述问题，需要建立一个新的数学理论才能解决，这是我们要研究的课学理论才能解决，这是我们要研究的课题题.探究（一）：余弦定理的推导探究（一）：余弦定理的推导思考思考1 1：根据平面几何中两个三角形全等根据平面几何中两个三角形全等的判定定理，确定一个三角形可以是哪的判定定理，确定一个三角形可以是哪些条件？些条件？边、角、边边、角、边角、边、角角、边、角边、边、边边、边、边思考思考2 2：在在ABCABC中，已知边中，已知边a a，b b和角和角C C

16、，从向量的角度考虑，可以求出什么？从向量的角度考虑，可以求出什么？cC CA AB Bab b思考思考3 3：c c边的长即为边的长即为 ，向量，向量 与与 ，有什么关系？有什么关系？思考思考4 4：如何将如何将 转化为转化为c c与与a a，b b，C C的关系？的关系？思考思考5 5：根据上述推导可得，根据上述推导可得，此式对任意三角，此式对任意三角形都成立吗？形都成立吗？cC CA AB Bab b思考思考6 6：如图所示建立直角坐标系，点如图所示建立直角坐标系，点A A，B B的坐标分别是什么？的坐标分别是什么？根据两点间的距离公式可得什么结论？根据两点间的距离公式可得什么结论？C C

17、A AB Bab bx xy y A(bcosCA(bcosC，bsinCbsinC)B(aB(a，0)0)思考思考7 7：通过类比，通过类比，a a2 2，b b2 2分别等于什么分别等于什么？思考思考8 8：上述三个等式称为上述三个等式称为余弦定理余弦定理.如如何用文字语言描述余弦定理？何用文字语言描述余弦定理？三角形中任何一边的平方，等于其他三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方和，减去这两边与其夹角的两边的平方和，减去这两边与其夹角的余弦的积的两倍余弦的积的两倍.探究（二）：余弦定理的变式探究（二）：余弦定理的变式思考思考1 1：在在ABCABC中，若已知边中，若已知边a a，b

18、b和角和角C C，如何求边，如何求边c c和角和角A A，B B？cC CA AB Bab b思考思考2 2：已知三角形的三边已知三角形的三边a a，b b，c c，求，求三内角三内角A A，B B，C C，其计算公式如何？，其计算公式如何？思考思考3 3：上述三个公式是余弦定理的推论，上述三个公式是余弦定理的推论，如何通过三边的大小关系判断如何通过三边的大小关系判断AA是锐角、是锐角、直角还是钝角？直角还是钝角？思考思考4 4：若已知边若已知边a a，b b和角和角A A，能直接用，能直接用余弦定理求边余弦定理求边c c吗？吗？cC CA AB Bab b思考思考5 5：结合正弦定理，结合正

19、弦定理，可作什么变形？可作什么变形？理论迁移理论迁移 例例1 1 在在ABCABC中，已知中，已知b=60cmb=60cm，c=34cmc=34cm，A=41A=41，解三角形，解三角形.a a2 21676.821676.82，a41cma41cm，sinC0.544sinC0.544，C33C33，B106B106.例例2 2 在在ABCABC中，已知中，已知a=134.6cma=134.6cm，b=87.8cmb=87.8cm，c=161.7cmc=161.7cm，解三角形，解三角形.cosA0.5543cosA0.5543，A56A562020，cosB0.8398cosB0.8398

20、，B32B325353，C90C9047.47.例例3 3 在在ABCABC中，已知中，已知a=a=，b=b=，B=30B=30，求边长，求边长c c的值的值.4 例例4 4 已知已知ABCABC的周长为的周长为2020，A=30A=30，a=7a=7，求这个三角形的面积，求这个三角形的面积.小结作业小结作业1.1.余弦定理及其推论，把用余弦定理及其推论，把用“边、角、边、角、边边”和和“边、边、边边、边、边”判定三角形全等判定三角形全等的原理，从数量化的角度进行了刻画，的原理，从数量化的角度进行了刻画，使其变成了可以计算的公式使其变成了可以计算的公式.2.2.余弦定理的主要作用是已知两边一角

21、余弦定理的主要作用是已知两边一角求边，或已知三边求角，所得结论是唯求边，或已知三边求角，所得结论是唯一的一的.同时，利用余弦定理也可以实现边同时，利用余弦定理也可以实现边角转化角转化.3.3.余弦定理及其推论共有六个基本公式，余弦定理及其推论共有六个基本公式，应用时要注意适当选取，有时可结合正应用时要注意适当选取，有时可结合正弦定理求解弦定理求解.作业：作业：P8P8练习：练习：1 1，2.2.1.1 1.1 正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理1.1.2 1.1.2 余弦定理余弦定理第二课时第二课时知识整理知识整理1.1.余弦定理的外在形式和数学意义分别余弦定理的外在形式和数学意义分别是什么

22、？是什么？三角形中任何一边的平方，等于其他三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方和，减去这两边与其夹角的两边的平方和，减去这两边与其夹角的余弦的积的两倍余弦的积的两倍.2.2.在三角形的六个基本元素中，已知哪在三角形的六个基本元素中，已知哪三个元素可以解三角形？三个元素可以解三角形？3.3.针对上述类型，分别用哪个定理求解针对上述类型，分别用哪个定理求解为宜？为宜？已知一边两角：正弦定理；已知一边两角：正弦定理；已知两边及夹角：余弦定理；已知两边及夹角：余弦定理；已知两边及对角：正弦定理；已知两边及对角：正弦定理；已知三边：余弦定理已知三边：余弦定理.一边两角，两边一角，三边一边两角，两边

23、一角，三边.应用举例应用举例 例例1 1 在在ABCABC中，已知中，已知 (sinAsinAsinC)(sinAsinC)(sinAsinCsinC)sinB(sinBsinB(sinBsinCsinC)，求角，求角A A的值的值.120120 例例2 2 在在ABCABC中，已知中，已知a ac c2b2b，B B3030，面积为，面积为 ，求，求b b的值的值.例例3 3 在在ABCABC中，已知中，已知C C3030，求，求 的值的值.例例4 4 在在ABCABC中，求证：中，求证：例例5 5 在在ABCABC中，求证：中，求证：例例6 6 在在ABCABC中，求证：中，求证：小结作业小结作业1.1.以三角形为背景求值或证明三角等式，以三角形为背景求值或证明三角等式，是三角变换中的两个基本问题，活用正、是三角变换中的两个基本问题，活用正、余弦定理，从整体进行变形和运算，是余弦定理，从整体进行变形和运算，是解题的基本思想解题的基本思想.2.2.利用正、余弦定理化边为角，或者化利用正、余弦定理化边为角，或者化角为边，是处理三角形中三角变换问题角为边，是处理三角形中三角变换问题的基本策略，是实现三角运算与代数运的基本策略，是实现三角运算与代数运算相互转化的主要手段算相互转化的主要手段.作业：作业：P10P10习题习题1.11.1 A A组：组：3.3.