131简单曲线的极坐标方程.ppt

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1、1.3简单曲线的极坐标方程简单曲线的极坐标方程20 20 三月三月 2023 2023曲线的极坐标方程曲线的极坐标方程定义：定义：如果曲线上的点与方程如果曲线上的点与方程f(f(,)=0)=0有如下关系有如下关系()曲线上任一点的坐标曲线上任一点的坐标(所有坐标中至所有坐标中至 少有一个少有一个)符合方程符合方程f(f(,)=0)=0；()方程方程f(f(,)=0)=0的所有解为坐标的点都的所有解为坐标的点都在曲线上。在曲线上。则曲线的方程是则曲线的方程是f(f(,)=0)=0。如图，半径为如图，半径为a a的圆的圆心坐标为的圆的圆心坐标为(a,0)(a0)(a,0)(a0)，你能用一个等式表

2、，你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标示圆上任意一点的极坐标(,)满足的条件？满足的条件？xC(a,0)O归纳归纳:求曲线的极坐标方程步骤求曲线的极坐标方程步骤1、根据题意画出草图；、根据题意画出草图；2、设点、设点 是曲线上任意一点；是曲线上任意一点；3、连接、连接MO；4、根据几何条件建立关于、根据几何条件建立关于 的方的方 程，并化简；程，并化简；5、检验并确认所得的方程即为所求、检验并确认所得的方程即为所求(可可以省略以省略)。例例1、已知圆已知圆O的半径为的半径为r，建立怎，建立怎样的坐标系，可以使圆的极坐标样的坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单？方程更简单？题组练习题组练习1 1

3、求下列圆的极坐标方程求下列圆的极坐标方程()中心在极点，半径为中心在极点，半径为2 2；()中心在中心在(a a,0),0)，半径为，半径为a a；()中心在中心在(a,a,/2)2)，半径为，半径为a a；()中心在中心在(0,0,)，半径为，半径为r r。2 2acos 2asin 2+0 2-2 0 cos(-)=r2解解:设设P(,)为圆周上任意一点为圆周上任意一点,如下图所示如下图所示,在在OCP中中,CP=r,OC=1,OP=.根据余弦定理根据余弦定理,得得CP2=OC2+OP2-2OCOPcos(-1),即即r2=21+2-21cos(-1).也就是也就是2-21cos(-1)+

4、(21-r2)=0.这就是圆在极坐标系中的一般方程这就是圆在极坐标系中的一般方程.极坐标方程分别是极坐标方程分别是coscos和和sinsin的两个圆的圆心距是多少的两个圆的圆心距是多少 练习练习2 2以极坐标系中的点以极坐标系中的点(1,1)为圆心，为圆心，1为为半径的圆的方程是半径的圆的方程是 C练习练习3 3曲线曲线 关于极轴对关于极轴对称的曲线是：称的曲线是：C练习练习4 4小结：（）曲线的极坐标方程概念（）怎样求曲线的极坐标方程（3）圆的极坐标方程1、负极径的定义、负极径的定义说明：一般情况下，极径都是正值；在某说明：一般情况下，极径都是正值；在某些必要情况下，极径也可以取负值（？）

5、些必要情况下，极径也可以取负值（？）对于点对于点M（，）负极径时的规定：负极径时的规定：1作射线作射线OP，使，使 XOP=2在在OP的反向延长的反向延长线上取一点线上取一点M，使，使 OM=OXP M二二.直线的极坐标方程直线的极坐标方程OXP=/4M在极坐标系中画出点在极坐标系中画出点M（3，/4）的位置的位置1作射线作射线OP，使，使 XOP=/4 2在在OP的反向延长的反向延长线上取一点线上取一点M，使，使 OM=3练习练习负极径小结：负极径小结：极径变为负极径变为负，极角增加极角增加 。练习：写出点练习：写出点 的一个负极径的极坐标的一个负极径的极坐标（6，）答：（答：（6，+）特别

6、强调：一般情况下（若不作特别说特别强调：一般情况下（若不作特别说明时），认为明时），认为 0。因为负极径只在。因为负极径只在极少数情况用。极少数情况用。例题例题2：求过极点，倾角为：求过极点，倾角为 的射线的射线的极坐标方程。的极坐标方程。oMx分析：分析：如图，所求的射线上如图，所求的射线上任一点的极角都是任一点的极角都是 ，其，其极径可以取任意的非负数。故所求极径可以取任意的非负数。故所求直线的极坐标方程为直线的极坐标方程为2.直线的极坐标方程直线的极坐标方程1、求过极点，倾角为、求过极点，倾角为 的射线的极的射线的极坐标方程。坐标方程。易得易得思考：思考：2、求过极点，倾角为、求过极点，

7、倾角为 的直线的极的直线的极坐标方程。坐标方程。和前面的直角坐标系里直线方程的和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起来，极坐标系里的直线表示形式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不方便，要用两条射线组合表示起来很不方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？而成。原因在哪？0 为了弥补这个不足，可以考虑允许为了弥补这个不足，可以考虑允许极径可以取全体实数。则上面的直线的极径可以取全体实数。则上面的直线的极坐标方程可以表示为极坐标方程可以表示为求直线的极坐标方程步骤求直线的极坐标方程步骤 1.根据题意画出草图；根据题意画出草图；2.设点设点M(,)是直线上任意一点是直线上任意一点;3.连接连接

8、MO；4.根据几何条件建立关于根据几何条件建立关于,的方程的方程,并化简；并化简；5.检验并确认所得的方程即为所求检验并确认所得的方程即为所求.例题例题3、求过点求过点A(a,0)(a0)，且垂直，且垂直于极轴的直线于极轴的直线L的极坐标方程。的极坐标方程。解：如图，设点解：如图，设点为直线为直线L上除点上除点A外的任外的任意一点，连接意一点，连接OMoxAM在在 中有中有 即即可以验证，点可以验证，点A的坐标也满足上式。的坐标也满足上式。直线的极坐标方程直线的极坐标方程射线方程为射线方程为=(0),=(0),如右图如右图.直线直线l l过极点时过极点时,其方程为其方程为=,(R),=,(R)

9、,如下图如下图.直线直线l l与极轴平行时与极轴平行时,其方程为其方程为sin=a,sin=a,如下图如下图.直线直线l l垂直极轴时垂直极轴时,其方程为其方程为cos=a,cos=a,如下图如下图.例题例题4设点设点P的极坐标为的极坐标为 ，直线，直线 过点过点P且与极轴所成的角为且与极轴所成的角为 ,求直线求直线 的极坐标方程。的极坐标方程。oxMP解：如图，设点解：如图，设点点点P外的任意一点，连接外的任意一点，连接OM为直线上除为直线上除则则 由点由点P的极坐标知的极坐标知 设直线设直线L与极轴交于点与极轴交于点A。则。则在在由正弦定理得由正弦定理得显然点显然点P的坐标的坐标也是它的解。也是它的解。小结：直线的几种极坐标方程小结：直线的几种极坐标方程1.过极点过极点2.过某个定点，且垂直于极轴过某个定点，且垂直于极轴3.过某个定点，且与极轴成一定的角度过某个定点，且与极轴成一定的角度练习：练习：（1）(2)设点设点P的极坐标为的极坐标为A ，直线，直线 过过点点P且与极轴所成的角为且与极轴所成的角为 ,求直线求直线 的的极坐标方程。极坐标方程。解：如图，设点解：如图，设点为直线为直线 上异于的点上异于的点连接连接OM，oMxA在在 中有中有 即即显然显然A点也满点也满足上方程。足上方程。*练习练习*