132函数的极值与导数 (3).ppt

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1、1.3.2函数的极函数的极值与导数值与导数高二数学高二数学 选修选修2-2 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用atho最高点最高点一、复习导入一、复习导入-导入新课导入新课h(t)=-4.9t2+6.5t+10一、复习导入一、复习导入-导入新课导入新课单调递增单调递增h(t)0单调递减单调递减h(t)0h(a)02.跳水运动员在最高处附近的情况：跳水运动员在最高处附近的情况：(1)当当t=a时运动员距水面高度最大，时运动员距水面高度最大，h(t)在此点的导数是多少呢？在此点的导数是多少呢？(2)当当ta时时h(t)的单调性是怎样的呢？的单调性是怎样的呢？将最高点附近放大将最高点附近放大t=

2、ataatho最高点最高点导数的符号有什么变化规律？导数的符号有什么变化规律？在t=a附近，f(x)先增后减，先增后减，h(x)先正后负，先正后负，h(x)连续变化，于是有连续变化，于是有h(a)=0f(a)最大。最大。对于一般函数是否也有同样的性质吗？对于一般函数是否也有同样的性质吗？一、复习导入一、复习导入-导入新课导入新课3.如图，如图，y=f(x)在在a、b点的函数值点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？与这些点附近的函数值有什么关系？导数值呢？导数符号呢？导数值呢？导数符号呢？探究探究xyoaby-=f(x)xyoaby-=f(x)000极小值点极小值点极大点极大点f(a)=0f

3、(b)=0二、讲授新课二、讲授新课-了解概念了解概念xyoaby=f(x)xbf(x)+0-f(x)单调单调递增递增极大值极大值单调单调递减递减 什么是什么是极小值点、极小值极小值点、极小值、极大值点、极大值极大值点、极大值、极值点、极值？、极值点、极值？f(a)f(b)小结小结xaf(x)-0+f(x)单调单调递减递减极小值极小值单调单调递增递增极大值点和极小值点极大值点和极小值点统称为极值点统称为极值点极大值和极小值极大值和极小值统称为极值统称为极值abxyO定义定义 一般地一般地,设函设函数数 f(x)在点在点x0附附近有定义近有定义,如果对如果对x0附近的所有的点附近的所有的点,都有都

4、有我们就说我们就说 f(x0)是是 f(x)的一个的一个极大值极大值,点点x0叫做函数叫做函数 y=f(x)的的极大值点极大值点.反之反之,若若 ,则称则称 f(x0)是是 f(x)的一个的一个极小值极小值,点点x0叫做函数叫做函数 y=f(x)的的极小值点极小值点.极小值点、极大值点统称为极小值点、极大值点统称为极值点极值点,极大值和极小值极大值和极小值统称为统称为极值极值.yabx1x2x3x4Ox 观察上述图象观察上述图象,试指出该函数的极值点与极值试指出该函数的极值点与极值,并说出哪些是极大值点并说出哪些是极大值点,哪些是极小值点哪些是极小值点.思考思考(1)导数为导数为0的点一定是的

5、点一定是 函数的极值点吗？函数的极值点吗？例如：例如：f(x)=x3f(x)=3x20f(0)=302=0 xx0f(x)+0+f(x)oxyY=x3+若若f(x0)是极值，则是极值，则f(x0)=0。反之，反之，f(x0)=0，f(x0)不一定是极值不一定是极值y=f(x)在一点的导数为在一点的导数为0是函数是函数y=f(x)在在这点取得极值的这点取得极值的 必要必要而不充分而不充分条件。条件。思考思考(2).极大值一定比极小值大吗？极大值一定比极小值大吗？极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念结论：不一定结论：不一定极极大大值值极极小小值值极极小小值值1理解极理解极值值概念概念时时需

6、注意的几点需注意的几点(1)函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧附近的点而言的(2)极值点是函数定义域内的点，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点(3)若f(x)在a，b内有极值，那么f(x)在a，b内绝不是单调函数，即在定义域区间上的单调函数没有极值总结总结(4)极大值与极小值没有必然的大小关系一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值可能大于另一点的极大值(如图(1)(5)若函数f(x)在a，b上有极值，它的极值点的分布是有规律的(如图(2)所示)，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点2导导数数为为0的点不一定

7、是极的点不一定是极值值点点因为因为 所以所以例例1 求函数求函数 的极值的极值.解解:令令 解得解得 或或当当 ,即即 ,或或 ;当当 ,即即 .当当 x 变化时变化时,f(x)的变化情况如下表的变化情况如下表:x(,2)2(2,2)2(2,+)00f(x)+单调递增单调递增单调递减单调递减单调递增单调递增所以所以,当当 x=2 时时,f(x)有极大值有极大值 28/3;当当 x=2 时时,f(x)有极小值有极小值 4/3.xX1+0-0+所以，当所以，当x=-1是，函数的极大值是是，函数的极大值是-2，当，当x=1时，函数的时，函数的极小值是极小值是2导函数的正负是交替出现的吗？不是不是极大

8、极大值值极小极小值值求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤：求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤：（1）确定函数的定义域）确定函数的定义域（2）求方程）求方程f(x)=0的根的根（3）用方程）用方程f(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格若干个开区间，并列成表格（4）由）由f(x)在方程在方程f(x)=0的根左右的符号，来判断的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况在这个根处取极值的情况 若若f(x)左正右左正右负负，则则f(x)为为极大极大值值；若若 f(x)左左负负右正，右正，则则f(x)为为极小极小值值+-x0-+x0求导

9、求导求极点求极点列表列表求极值求极值练习练习求下列函数的极值求下列函数的极值:解解:令令 解得解得 列表列表:x0f(x)+单调递增单调递增单调递减单调递减 所以所以,当当 时时,f(x)有极小有极小值值练习练习求下列函数的极值求下列函数的极值:解解:解得解得 列表列表:x(,3)3(3,3)3(3,+)00f(x)+单调递增单调递增单调递减单调递减单调递增单调递增所以所以,当当 x=3 时时,f(x)有极大值有极大值 54;当当 x=3 时时,f(x)有极小值有极小值 54.函函数数的的性性质质单单调调性性单调性的判别法单调性的判别法单调区间的求法单调区间的求法函函数数极极值值函数极值的定义函数极值的定义函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得极值的点称为使函数取得极值的点称为极值极值点点.函数极值的求法函数极值的求法必要条件必要条件求极值的步骤求极值的步骤:1.求导，求导，2.求极点，求极点，3.列表，列表，4.求极值求极值f(x)0单调弟增单调弟增f(x)0单调递减单调递减1.求导，求导，2.求临界点求临界点3.列表，列表，4.单调性单调性小小结结