17_4_泰勒公式与极值问题.ppt

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1、4 泰勒公式与泰勒公式与极值问题极值问题一、高阶导数二、中值定理与泰勒公式三、极值问题一、高阶偏导数 如果它如果它们们关于关于 x 与与 y 的偏的偏导导数也数也 存在存在,说说明明具有具有二阶偏导数二阶偏导数二元函数的二阶偏导数有如下四种形式二元函数的二阶偏导数有如下四种形式:混合混合偏导偏导数数类类似地可以定似地可以定义义更高更高阶阶的偏的偏导导数数,的三阶偏导数共有八种情形的三阶偏导数共有八种情形:混合混合偏导偏导数数例如例如解解 由于由于 例例1 因此有因此有所以所以例例2 解解 练习练习 P141 1（1）注注 在上面两个例子中都有在上面两个例子中都有 但是这个结论并不对任何函数都成

2、立，例如函数但是这个结论并不对任何函数都成立，例如函数它的一阶偏导数为它的一阶偏导数为 由此看到由此看到,这两个混合偏导数与求导顺序有关这两个混合偏导数与求导顺序有关.的混合偏导数的混合偏导数:在什么条件下混合偏导数与求导顺序无关呢在什么条件下混合偏导数与求导顺序无关呢?为为 形式形式.由于由于 因此有因此有类似地有类似地有 这两个累次极限相等这两个累次极限相等.下述定理给出了使下述定理给出了使(1)与与(2)相等的一个充分条件相等的一个充分条件 证证(3)连续，则连续，则 略！合偏导数都与求导顺序无关合偏导数都与求导顺序无关注注2 这这个定理个定理对对 n 元函数的混合偏元函数的混合偏导导数

3、也成立数也成立.例例 如三元函数如三元函数的如下六个三阶混合偏导数的如下六个三阶混合偏导数 若在某一点都连续，则它们在这一点都相等若在某一点都连续，则它们在这一点都相等 今后在牵涉求导顺序问题时今后在牵涉求导顺序问题时,除特别指出外除特别指出外,一般一般 都假设相应阶数的混合偏导数连续都假设相应阶数的混合偏导数连续 复合函数的高阶偏导数复合函数的高阶偏导数例例3 解解 有有自变量的复合函数所以自变量的复合函数所以 令 练习练习 P141 1（5）二、中值定理和泰勒公式 一元函数一元函数回顾：回顾：1.中中值值定理定理连续连续；可可导导2.泰勒定理泰勒定理n阶连续导阶连续导数；数；n+1阶导阶导

4、数数则称则称 D 为凸区域为凸区域.恒有恒有凸区域凸区域即即,若若 D 为凸区域，为凸区域，和和一切一切两点两点若区域若区域 D 上任意两点的上任意两点的连线连线都含于都含于 D,则对任意则对任意凸凸 非凸非凸 上连续上连续,在在 D 的所有内点都可微的所有内点都可微,则对则对 D 内任意两内任意两 定理定理17.8(中值定理中值定理)设设在凸开域在凸开域的一元连续函数的一元连续函数,且在且在(0,1)内可微内可微.根据一元函数根据一元函数 其中其中 中值定理，中值定理，使得，使得 (10)(9),(10)两式即得所要证明的两式即得所要证明的(8)式式 注注 若若 D 为严格为严格凸闭域，即凸

5、闭域，即 ，都有，都有式成立式成立(为什么为什么?)(8)式成立式成立.,那就不能保那就不能保证证(8)倘若倘若称为二元函数称为二元函数(在凸域上在凸域上)的中值公式的中值公式.中值公式中值公式(Th17.3)：差别：差别：或或定理定理17.9(泰勒定理泰勒定理)若若 在点在点 内任一点内任一点 内有直到内有直到 阶的连续偏导数阶的连续偏导数,则对则对其中其中(11)式称为式称为 的的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式,并称上述并称上述 而首项而首项 也可看作也可看作 的情形的情形.件，于是有件，于是有由假设，由假设，上满足一元函数泰勒公式的条上满足一元函数泰勒公式的条应用复合求导法则应用复合求导法则

6、,可求得可求得 的各阶导数如下的各阶导数如下:(12)证证 类似于定理类似于定理17.8 的证明，先引入辅助函数的证明，先引入辅助函数 公式公式(11)将将(13),(14)两式代入两式代入(12)式式,就得到所求之泰勒就得到所求之泰勒 此时的此时的 n 阶泰勒公式便可写作阶泰勒公式便可写作 则仅需则仅需内存在内存在 n 阶的连续偏导数即可阶的连续偏导数即可,时的特殊情形时的特殊情形.由于由于因此有因此有解解将它们代入泰勒公式将它们代入泰勒公式(15)，即有，即有 与与例的结果例的结果(1.32)相比较，这是更接近于真相比较，这是更接近于真 分近似相当于现在的一阶泰勒公式分近似相当于现在的一阶

7、泰勒公式练习练习 P141 7（1）作作业业 P141 1（2）（）（3）（）（6）；）；7（2）三、极值问题 多元函数的极值问题是多元函数微分学的重要应多元函数的极值问题是多元函数微分学的重要应 用用,这里仍以二元函数为例进行讨论这里仍以二元函数为例进行讨论.有定义有定义.若若 极大值点、极小值点统称极大值点、极小值点统称极值点极值点 的的极大极大(或极小或极小)值点值点.极大值、极小值统称极大值、极小值统称极值极值;极极 注意注意 这里讨论的极值点只限于定义域的内点这里讨论的极值点只限于定义域的内点 例例(3)(2)(1)同极同极值值.同理同理,也取相同极也取相同极值值.于是得到二元函数取

8、极值的必要条件如下于是得到二元函数取极值的必要条件如下:注注 由定义可见由定义可见,若若 在点在点取极值取极值,则当固则当固 定理定理17.10 (极极值值的必要条件的必要条件)若函数若函数 在点在点 存在偏导数存在偏导数,且在且在取得极值取得极值,则有则有的的稳定点稳定点.上述定理指出上述定理指出:偏偏导导数存在数存在时时,极极值值点必是点必是稳稳定点定点.但要注意但要注意:稳稳定点并不都是极定点并不都是极值值点点与一元函数的情形相同与一元函数的情形相同,多元函数在偏导数不存在多元函数在偏导数不存在 原点没有偏导数原点没有偏导数,但但 于是有于是有 证证 由由在在的二阶泰勒公式，并注意到条件

9、的二阶泰勒公式，并注意到条件二次型二次型 连续函数连续函数(仍为一正定二次型仍为一正定二次型)首先证明首先证明:当当 正定时，正定时，在点在点 取得极小取得极小 值这是因为，此时对任何值这是因为，此时对任何恒使恒使极大值极大值由于由于因此因此在此有界在此有界 闭域上存在最小值闭域上存在最小值，于是有，于是有即即在点在点取得极小值取得极小值亦取亦取 则沿着过则沿着过 的任何直线的任何直线 最后证明最后证明:当当 为为不定矩阵时不定矩阵时,在点在点 不不 极小极小值值,则则将将导导致致 必必须须是正半定的是正半定的.也就是也就是 定的或负半定的，但这与假设相矛盾定的或负半定的，但这与假设相矛盾这表

10、明这表明 必须是负半定的必须是负半定的.同理同理,倘若倘若 取取 是否取得极值是否取得极值 取得极小值取得极小值;取得极大值取得极大值;系，定理系，定理17.11又可写成如下比较实用的形式又可写成如下比较实用的形式根据对称矩阵的定号性与其主子行列式之间的关根据对称矩阵的定号性与其主子行列式之间的关若若如定理如定理17.11 所设，则有如下结论所设，则有如下结论:解解 由方程组由方程组 例例5 因因，故原点不是，故原点不是 的的 极极值值点点.又因又因 处处处处可微，所以可微，所以没有极没有极值值点点.例例6 讨论讨论 是否存在极值是否存在极值得极值得极值?解解 容易验证原点是容易验证原点是 的

11、稳定点的稳定点,且且 故由定理故由定理17.11 无法判定无法判定 在原点是否取得极值在原点是否取得极值图图 17-7 但由于在原点的任意小但由于在原点的任意小邻邻域内域内,当当 时时 以函数以函数 f 不可能在原点取得极值不可能在原点取得极值(参见图参见图17-7)由极值定义知道由极值定义知道,极值只是函数的一个极值只是函数的一个局部性概念局部性概念.想求出函数在有界闭域上的最大值和最小值想求出函数在有界闭域上的最大值和最小值,方法方法 与一元函数问题一样，需先求出函数在该区域上的与一元函数问题一样，需先求出函数在该区域上的 所有稳定点、无偏导数点处的值所有稳定点、无偏导数点处的值,以及在区

12、域边界以及在区域边界 上相应的这类函数值上相应的这类函数值,然后比较这些值然后比较这些值,其中最大其中最大(小小)者者,即为问题所求的最大即为问题所求的最大(小小)值值 例例8 证证明明:圆圆的所有外切三角形中的所有外切三角形中,以正三角形的以正三角形的 面积为最小面积为最小证证任一外切三角形为任一外切三角形为 ABC,所以所以三切三切点处的半径相夹的中心角分别为点处的半径相夹的中心角分别为 ，其中，其中 其中其中 设圆的半径为设圆的半径为 a.在定义域内在定义域内,上述方程组仅有惟一解上述方程组仅有惟一解:的二阶偏导数的二阶偏导数:令令 此稳定点处取得极小值此稳定点处取得极小值 因为面积函数

13、因为面积函数 S 在定义域中处处存在偏导数，在定义域中处处存在偏导数，中以正三角形的面积为最小中以正三角形的面积为最小例例9 (最小二乘法最小二乘法问题问题)设设通通过观过观察或察或实验实验得到一得到一 上，即大体上可用直线上，即大体上可用直线 方程来反映变量方程来反映变量 x 与与 y 之间的对应关系之间的对应关系(参见参见 图图17-10).现要确定一现要确定一 直线直线,使得与这使得与这 n 个点个点 的偏差平方之和为最小的偏差平方之和为最小(最小二乘方最小二乘方)图图 17-10 解解 设所求直线方程为设所求直线方程为 为此令为此令 把这组关于把这组关于 a,b 的线性方程加以整理并求解，得的线性方程加以整理并求解，得并由实际意义可知这极小值即为最小值并由实际意义可知这极小值即为最小值.作作业业 P141 8（2）；）；11