欧几里得《原本》与公理化方法.ppt

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1、浙江临海市回浦中学浙江临海市回浦中学 谢佳佳谢佳佳人教人教A版高中数学必修版高中数学必修2 第二章第二章 阅读与思考阅读与思考欧几里得原本与公理化方法欧几里得原本与公理化方法 一、引入2.向量“空间”实数是有序的，可以比较大小；实数集对加、减、乘、除（除数不为零）四则运算具有封闭性；加法运算满足交换律、结合律，乘法运算满足交换律、分配律、结合律；在现实生活中有广泛运用.1.实数“域”.创建新体系的一种方法公理化方法 向量的加、减、数乘运算是封闭的；向量的加法满足交换律、结合律；数量积运算满足交换律、分配律.向量是沟通几何和代数的桥梁，并且有丰富的物理背景，有广泛的运用价值，是一个优良的“空间”

2、.公理公理2（推论）推论）过两条平行直线，有且只有一个平面过两条平行直线，有且只有一个平面.平面与平面平行性质定理平面与平面平行性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行的交线平行.第一次给出公理化的数学第一次给出公理化的数学体系体系欧几里得原本欧几里得原本 数学公理化方法，就是从尽可能少的原始概念数学公理化方法，就是从尽可能少的原始概念（基本概念）（基本概念）基本概念基本概念如中学数学中的点，直线，平面等如中学数学中的点，直线，平面等.二二.公理化方法公理化方法 公理公理是对基本概念间的相互关系和基本性质所作是对基本概念间

3、的相互关系和基本性质所作的一种阐述和规定的一种阐述和规定.相容性：不能自相矛盾.独立性：任一条公理不能从别的公理推出来.和尽可能少的一组不加证明的原始命题和尽可能少的一组不加证明的原始命题（公理，公设）（公理，公设）出发，出发，应用严格的逻辑推理，推导出其应用严格的逻辑推理，推导出其余的命题，使某一数学分支成为演绎系统的一种方法余的命题，使某一数学分支成为演绎系统的一种方法.三三.原本简介原本简介 由于人类生活和生产的需要，产生了几何学由于人类生活和生产的需要，产生了几何学.古希腊数学积累了大量的、具体的成果古希腊数学积累了大量的、具体的成果.但这但这些知识缺乏系统性些知识缺乏系统性,大多数是

4、片断的、零散的大多数是片断的、零散的.1.历史起源历史起源 欧几里得将公元前欧几里得将公元前7世纪以来希腊几何学家世纪以来希腊几何学家积累起来的丰富成果整理、收集起来，并加以积累起来的丰富成果整理、收集起来，并加以系统化系统化.他从少数已他从少数已被经验反复验证被经验反复验证的公理出发，运用逻辑推理以及的公理出发，运用逻辑推理以及数学运算方法演绎出一系列定理数学运算方法演绎出一系列定理与推论，与推论，写成了十三卷在数学史写成了十三卷在数学史上的数学巨作原本，使几何上的数学巨作原本，使几何学成为一门独立、演绎的科学学成为一门独立、演绎的科学.2.原本诞生原本诞生 几何原本在人类数学史中几何原本在

5、人类数学史中第一次给出了公理第一次给出了公理化的数学体系，成为理性思维的象征化的数学体系，成为理性思维的象征.对整个数学发对整个数学发展产生了深远的影响展产生了深远的影响.3.原本的意义原本的意义 公理化方法作为一种理论形式公理化方法作为一种理论形式为人们普遍接受为人们普遍接受.人们普遍建立了人们普遍建立了这样的认识，所有的数学理论，这样的认识，所有的数学理论，都必须按照数学的定义，公理与都必须按照数学的定义，公理与三段论的逻辑论证来组织三段论的逻辑论证来组织.四四.原本原本内容简介内容简介 1.整体概述整体概述 卷卷内容内容定义定义公理公理公设公设命题命题1直线形直线形2355482几何代数

6、法几何代数法2143圆圆11374多边形多边形7165比例论比例论18256相似形相似形4337数论数论22398数论数论0279数论数论03610不可公度量不可公度量1611511立体图形立体图形283912求积术求积术01813正多面体正多面体018合计131554652.内容框架（第内容框架（第I卷）卷）设设AB为已知的线段为已知的线段.要求：以线段要求：以线段AB为边建立一个等边三角形为边建立一个等边三角形.以以A A为圆心、为圆心、ABAB为半径作圆为半径作圆BCD(BCD(公设公设1.3);1.3);再以再以B B为圆心，以为圆心，以BABA为半径作圆为半径作圆ACE(ACE(公设

7、公设1.3)1.3)；两圆相交与；两圆相交与C C点，连接点，连接CACA、CB.CB.圆：由一条线包围着的平面图形，圆：由一条线包围着的平面图形，其内有一点与这条直线上任何一点其内有一点与这条直线上任何一点所连成的线段都相等所连成的线段都相等.因为因为A点是圆点是圆CDB的圆心，故的圆心，故AC等于等于AB（定义定义I.15）.又点又点B是圆是圆CAE的圆心，故的圆心，故BC等于等于BA（定义定义I.15），），因为等于同量的量彼此相等（公理因为等于同量的量彼此相等（公理I.1）；）；所以所以CA等于等于CB.所以三条线段所以三条线段CA、AB、BC相等相等.所以三角形所以三角形ABC是建立

8、在线段是建立在线段AB上的等边三角形上的等边三角形.证毕证毕 命题命题I.1 I.1 已知一条线段可作一个等边三角形已知一条线段可作一个等边三角形 以定点为圆心及定长的线段为半径可作圆以定点为圆心及定长的线段为半径可作圆.在点在点A上取上取AD等于等于c，又以又以A为圆心、以为圆心、以AD为半径建圆为半径建圆DEF（公设公设I.3）.因为点因为点A是圆是圆DEF的圆心，所以的圆心，所以AE=AD（定义定义I.15）.又又c也等于也等于AD，所以线段所以线段AE和和c都等于都等于AD，所以所以AE也等于也等于c(公理公理I.1).所以从较长所以从较长AB上作出了上作出了AE等于短线段等于短线段c

9、.证毕证毕 命题命题I.3 给定两条不等线段，可以在较长的线段切取一给定两条不等线段，可以在较长的线段切取一条线段等于较短的线段条线段等于较短的线段.设设AB和和c是给定的两条不等线段是给定的两条不等线段.AB较长较长.A Bc 命题命题I.11 过直线上的一点，可以作该直线的垂线过直线上的一点，可以作该直线的垂线.设设AB已知直线，已知直线，C为直线上的点为直线上的点.要求从要求从C点作一条直线垂直于点作一条直线垂直于AB.在在AC上任取一点上任取一点D,CB上任取一点上任取一点E，并让，并让CD等于等于CE(命题命题I.3).在在DE上建立等边三角形上建立等边三角形FDE（命题（命题I.1

10、）.连接连接FC，那么那么FC就是直就是直线线AB在在C点上的垂线点上的垂线.因为因为DC等于等于CE，CF是公共边，边是公共边，边DC、CF与与EC、CF是对应边；是对应边；底边底边DF与底边相等；故三角形与底边相等；故三角形DCF全等于三角形全等于三角形ECF.角角DCF、ECF互为邻角互为邻角.所以角所以角DCF、FCE皆为直角皆为直角.（定义（定义I.10）所以线段所以线段CF垂直于线段垂直于线段AB，并在，并在C点上平分点上平分.所以过一条直线上的一个点，可以作该直线的垂线所以过一条直线上的一个点，可以作该直线的垂线.证毕证毕 五、非欧几何的创立五、非欧几何的创立 罗巴切夫斯基认为第

11、五公设不能被证明，把第五公设换成罗巴切夫斯基认为第五公设不能被证明，把第五公设换成一条新的公设一条新的公设“平面内过已知直线外一点至少可以引两条直线平面内过已知直线外一点至少可以引两条直线与已知直线不相交与已知直线不相交”，用公理化方法创建自己的公理体系，提用公理化方法创建自己的公理体系，提出新的几何学出新的几何学 几何学中的哥白尼几何学中的哥白尼1826年年2月月11日在物理数学系会议上宣读了论文平行日在物理数学系会议上宣读了论文平行线理论和几何学原理概论及证明线理论和几何学原理概论及证明1829年发表了几何学原理年发表了几何学原理1835年发表了平行线理论的几何学探讨年发表了平行线理论的几

12、何学探讨.公设公设 I.1 过现点可以作一条直线过现点可以作一条直线.I.2 直线可以向两端无限延伸直线可以向两端无限延伸.I.3 以定点为圆心及定长的线段为半径可以作圆以定点为圆心及定长的线段为半径可以作圆.I.4 凡直角都相等凡直角都相等.罗氏几何罗氏几何罗巴切夫斯基罗巴切夫斯基 I.5 同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于线同侧的两个内角之和小于1800，则这两条直线经无，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交限延长后在这一侧一定相交.五、非欧几何的创立五、非欧几何的创立在研究和应用公理化过程中产生了非欧几何在研究

13、和应用公理化过程中产生了非欧几何.平行公理不同平行公理不同 欧式几何：过直线外一点有且只有一条直线与已知欧式几何：过直线外一点有且只有一条直线与已知 直线平行直线平行.非欧几何非欧几何直线、平面的认识直线、平面的认识 观察下的平面、直线，事实上的直线、平面观察下的平面、直线，事实上的直线、平面.观察下的平面、直线，事实上的曲线和曲面观察下的平面、直线，事实上的曲线和曲面黎曼几何黎曼几何 三角形内角和三角形内角和=1800三角形内角和三角形内角和1800三角形内角和三角形内角和欧式几何欧式几何 数学家们通过非欧几何学的创立，意识到我们在接受欧几里得数学家们通过非欧几何学的创立，意识到我们在接受欧

14、几里得几何学的证明时，不知觉地依赖过直观几何学的证明时，不知觉地依赖过直观.很多数学家开始认真的研究几何学基础以及数概念、分析学、很多数学家开始认真的研究几何学基础以及数概念、分析学、代数学乃至整个数学基础等问题，公理化方法在这些研究中取得了代数学乃至整个数学基础等问题，公理化方法在这些研究中取得了进一步的完善和发展进一步的完善和发展.六、公理化方法的作用六、公理化方法的作用 1.概括整理数学知识概括整理数学知识.原本就是欧几里得用公理化方原本就是欧几里得用公理化方法把零散的几何知识归为一体，树立了研究数学的典范法把零散的几何知识归为一体，树立了研究数学的典范.2.促进新理论的创建促进新理论的创建.非欧几何就是在研究和应用公理非欧几何就是在研究和应用公理 化过程中产生的化过程中产生的.3.对其他学科有示范作用对其他学科有示范作用.由于数学公理化方法表述数学由于数学公理化方法表述数学理论的简捷性、条理性、结构的合理性，其他学科纷纷效理论的简捷性、条理性、结构的合理性，其他学科纷纷效法，建立了自己的公理化体系法，建立了自己的公理化体系.七、小结七、小结谈谈这节课你的收获和感悟谈谈这节课你的收获和感悟.八、作业八、作业1.细读欧几里得原本的若干定义、公理、公设和命题.2.简述原本在数学史上的意义.3.写一篇有关公理化方法的小论文.