复变函数3-习题课.ppt
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1、12第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分3 一、重点与难点一、重点与难点重点:重点:难点:难点:1.复积分的基本定理(柯西复积分的基本定理(柯西古萨定理古萨定理);2.柯西积分公式与高阶导数公式柯西积分公式与高阶导数公式 复合闭路定理与复积分的计算复合闭路定理与复积分的计算3.积分的计算积分的计算41.1.积分的定义积分的定义2.积分的性质积分的性质53.3.积分的计算积分的计算(2 2)化成线积分)化成线积分(3 3)用参数方程将积分化成定积分)用参数方程将积分化成定积分(1 1)利用定义计算)利用定义计算(4 4)利用牛顿)利用牛顿-莱布尼兹公式莱布尼兹公式6(6)柯西积分公式柯西积
2、分公式(7).高阶导数公式高阶导数公式(5)柯西古萨基本定理柯西古萨基本定理(柯西积分定理柯西积分定理)74.4.闭路变形原理闭路变形原理 5.5.复合闭路定理复合闭路定理 一个解析函数沿闭曲线的积分,不因闭曲线在解析一个解析函数沿闭曲线的积分,不因闭曲线在解析区域内作连续变形而改变它的值区域内作连续变形而改变它的值.那末那末86.调和函数和共轭调和函数调和函数和共轭调和函数 任何在任何在 D 内解析的函数内解析的函数,它的实部和虚部它的实部和虚部都是都是 D 内的调和函数内的调和函数.9定理定理 区域区域D D内的解析函数的虚部为实部的共轭内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数调和函数.共轭
3、调和函数共轭调和函数注意:注意:10因此因此 证证例例1 1 设设C为圆周为圆周 证明下列不等式证明下列不等式.另证另证11解解 例例2 2 计算计算当当 时时,12解解分分以下四种情况讨论:以下四种情况讨论:1314151617解解18 解法一解法一 利用柯西利用柯西-古萨基本定理及重要公式古萨基本定理及重要公式由柯西由柯西-古萨基本定理有古萨基本定理有1920 解法二解法二 利用柯西积分公式利用柯西积分公式21因此由柯西积分公式得因此由柯西积分公式得2223解法一解法一 偏积分法偏积分法.利用柯西利用柯西黎曼方程黎曼方程,24 因而得到解析函数因而得到解析函数25解法二解法二 不定积分法不定积分法26P101.11题题解解:(1)同理计算(同理计算(2)不能利用闭路变形原理,不能利用闭路变形原理,27P101.13题题28P101.17题题29解法一解法一:30解法二解法二:31阅读第三章后小结阅读第三章后小结 复习复习高等数学下高等数学下的级数部分的内容的级数部分的内容作业作业32 复习复习高等数学下高等数学下的级数部分的内容的级数部分的内容作业作业23,29(1)练习练习25,26,29(2),30(2)、(3)33
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