9.4多元复合函数的求导法则.ppt

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1、课程名称课程名称 高等数学高等数学*进入百度空间进入百度空间进入百度空间进入百度空间 下载全套课件下载全套课件下载全套课件下载全套课件*1复合函数的求导法则复合函数的求导法则全微分形式不变性全微分形式不变性第四节第四节 多元复合函数的多元复合函数的 求导法则求导法则第八章第八章 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用高阶偏导数与高阶微分高阶偏导数与高阶微分小结小结 思考题思考题 作业作业2一、一、复合函数的求导复合函数的求导法则法则(链导法则链导法则)回忆:对于一元函数有而对于二元函数如何求?多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则3多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则则则复

2、合函数复合函数偏导数存在偏导数存在,且可用下列公式计算且可用下列公式计算具有连续偏导数具有连续偏导数,定理:4注意:1.(*)式中两边z的含义不同,左边的z表示已经复合的函数,右边的z表示还没有复合的函数,2.(*)式两边都在点取值.多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则5项数项数问问:每一项每一项中间变量中间变量函数对函数对中间变量中间变量的偏导数的偏导数该中间变量对其该中间变量对其指定自变量指定自变量的偏导数的偏导数(或导数或导数).的个数的个数.函数对某自变量的偏导数之结构函数对某自变量的偏导数之结构多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则分量原则6 网络图网络图uv多元复合函

3、数的求导法则多元复合函数的求导法则网络图原则7例1.设求多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则8二.介绍”网络图”多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则全导数全导数9多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则10例2.设 求例3.设有连续偏导,求多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则11多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则正确的是正确的是().例412思考题解答思考题解答令令则则两边对两边对t求导求导,得得多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则13三、全微分形式不变性具有连续偏导数具有连续偏导数,则有则有全微分全微分则有全微分则有全微分全全微微分分形形式式不不

4、变变性性的的实实质质多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则14引入记号:设记多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则15例6.设求 通过全微分求所有一阶偏导数通过全微分求所有一阶偏导数,比链比链导法则求偏导数有时会显得灵活方便导法则求偏导数有时会显得灵活方便.多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则16纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导定义定义四、高阶偏导数和高阶全微分四、高阶偏导数和高阶全微分高阶偏导数高阶偏导数.二阶及二阶以上的偏导数统称为二阶及二阶以上的偏导数统称为多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则17引入记号:设记多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则18例例的

5、四个二阶偏导数的四个二阶偏导数.解解多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则19例例解解有有多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则20按按定义定义得得多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则21多元函数的高阶混合偏导数如果连多元函数的高阶混合偏导数如果连一般地一般地,续就与续就与求导次序无关求导次序无关.如果函数如果函数的两个二阶混合偏的两个二阶混合偏在区域在区域D内内定理定理连续，连续，那么在那么在导数导数该区域内该区域内但就通常所遇到的函数但就通常所遇到的函数,在前一题中两个混合二阶偏导数相等在前一题中两个混合二阶偏导数相等,此种情此种情后一题中两者不相等后一题中两者不相等,

6、这说明混合偏导数与求偏这说明混合偏导数与求偏导数的次序有关导数的次序有关.但在但在况不会发生况不会发生,这是因为有下述的定理这是因为有下述的定理:如如后一题中后一题中这只能说明这只能说明都不连续都不连续.注注多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则22多元函数的偏导数常常用于建立某些偏微多元函数的偏导数常常用于建立某些偏微分方程分方程.偏微分方程是描述自然现象、反映自然偏微分方程是描述自然现象、反映自然规律的一种重要手段规律的一种重要手段.例如方程例如方程(a是常数是常数)称为称为波动方程波动方程,它可用来描述各类波的它可用来描述各类波的运动运动.又如方程又如方程称为称为拉普拉斯拉普拉斯(

7、laplace)方程方程,它它在热传导、流体在热传导、流体运动等问题中有着重要的作用运动等问题中有着重要的作用.多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则23例例.设设 求求多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则24 答案答案:0解解多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则25高阶全微分设函数在开区域D内每一点都有全微分，则当 固定时，的函数，因此对 可求其关于自变量同一改变量的全微分，即若则函数的二阶全微分记为同样可定义的n阶全微分多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则26其中例.求的二阶全微分.多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则27多元复合函数求导法则多元复合函

8、数求导法则(链导法则链导法则)全微分形式不变性全微分形式不变性(理解其实质理解其实质)多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则五、小结五、小结求抽象复合函数的高阶偏导数时求抽象复合函数的高阶偏导数时要特别注意一阶偏导数仍是复合函数要特别注意一阶偏导数仍是复合函数.高阶偏导数高阶偏导数纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导(相等的条件相等的条件)高阶微分28 已知已知f(t)可微可微,证明证明 满足方满足方程程提示提示t,y 为中间变量为中间变量,x,y 为自变量为自变量.引入中间变量引入中间变量,则则多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则291.设设其中其中有连续的二阶偏导有连续的二阶偏导,求求2.设设均可导均可导,求求3.若若其中其中二次可微二次可微.证明证明:多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则30