线性代数第五章释疑解难.ppt

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1、释释 疑疑 解解 难难 1.1.设设设设 A A=(=(a aij ij)n n n n 是是是是 n n 阶方阵阶方阵阶方阵阶方阵,如何判定如何判定如何判定如何判定 A A 是是是是正交矩阵正交矩阵正交矩阵正交矩阵?答答答答 当当 A 满足下列条件之一时满足下列条件之一时,A 是正交矩阵是正交矩阵.(1)(1)A 对称对称,且且 A2=E.(2(2)或者或者(3)(3)A 的行的行(列列)向量组是向量组是 Rn 的一组规范正交基的一组规范正交基.2.2.设设设设 a a1 1,a a2 2,a an n 是线性无关向量组是线性无关向量组是线性无关向量组是线性无关向量组,与之与之与之与之等价的

2、正交向量组是否唯一等价的正交向量组是否唯一等价的正交向量组是否唯一等价的正交向量组是否唯一?答答答答 一般不唯一一般不唯一.这是因为在正交化过程中这是因为在正交化过程中,由于第一步中由于第一步中 b1 的取法不同的取法不同,由此求出的与由此求出的与 a1,a2,an 等价的正交向量组等价的正交向量组 b1,b2,bn 可可能能会不同会不同.3.3.如何求方阵如何求方阵如何求方阵如何求方阵 A A 的特征值和特征向量的特征值和特征向量的特征值和特征向量的特征值和特征向量?答答答答 特征值的求法特征值的求法特征值的求法特征值的求法:解特征方程解特征方程|A-E|=0就可以求出矩阵就可以求出矩阵 A

3、 的特征值的特征值.注意如果注意如果 A 为为 n 阶阶方阵方阵,则它的特征方程是关于则它的特征方程是关于 的的 n 次代数方程次代数方程,从而它有从而它有 n 个特征根个特征根(如果如果 i 为特征方程的为特征方程的 k 重重根根,则应把它看做则应把它看做 k 个根个根).特征向量的求法特征向量的求法特征向量的求法特征向量的求法:若求对应于若求对应于i 的特征向量的特征向量,只要解齐次线性方程组只要解齐次线性方程组 (A-iE)x=0就可以了就可以了.此齐次方程的任何一个非零解向量都此齐次方程的任何一个非零解向量都是是 A 的对应于的对应于 i 的一个特征向量的一个特征向量,而齐次方程的而齐

4、次方程的通解就是对应于通解就是对应于 i 的所有特征向量的所有特征向量.注意注意:如果如果 i 为特征方程的为特征方程的 k 重根重根,则齐次线则齐次线性方程组性方程组(A-iE)x=0 的基础解系含解向量的基础解系含解向量的个数可能为的个数可能为 k,也可能小于也可能小于 k,所以对应于所以对应于 i 的特征向量中的特征向量中,其线性无关的向量个数最多只有其线性无关的向量个数最多只有 k 个个,也可能少于也可能少于 k 个个.4.4.n n 阶方阵阶方阵阶方阵阶方阵 A A 是否一定有是否一定有是否一定有是否一定有 n n 个线性无关的个线性无关的个线性无关的个线性无关的特征向量特征向量特征

5、向量特征向量?答答答答 不一定不一定.当当 A 的的 n 个特征值两两互异个特征值两两互异时时,A 有有 n 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.否则否则,就不就不一一定定.例如例如是三阶方阵是三阶方阵,它的三个特征值为它的三个特征值为 1=2=3=-1,A 的对应于的对应于i=-1(1 i 3)的全部特征向量为的全部特征向量为 k(1,1,-1)T.它们也是它们也是 A 的全部特征向量，即的全部特征向量，即 A 只有一个线性无关的特征向量只有一个线性无关的特征向量.5.5.一个特征向量只对应于一个特征值一个特征向量只对应于一个特征值一个特征向量只对应于一个特征值一个特征向量只对应于一个

6、特征值,反之反之反之反之,一个特征值是否只对应于一个特征向量一个特征值是否只对应于一个特征向量一个特征值是否只对应于一个特征向量一个特征值是否只对应于一个特征向量?答答答答 否否.设设 是是 n 阶方阵阶方阵 A 的的 k 重特征值重特征值,则则 可以对应于多个线性无关的特征向量可以对应于多个线性无关的特征向量.例如例如,有一个二重特征值有一个二重特征值 1=2=-1,-1 就对应着两个线就对应着两个线性无关的特征向量性无关的特征向量 6.6.如何证明方阵如何证明方阵如何证明方阵如何证明方阵 A A 能对角化能对角化能对角化能对角化?答答答答 证明方阵证明方阵 A 能对角化能对角化,有下述几种

7、方法有下述几种方法:(1)(1)计算方阵计算方阵 A 的特征值的特征值.如果如果 A 的所有特的所有特征值两两互异征值两两互异,则则 A 能对角化能对角化.如果如果 A 的特征方的特征方程程有重根但能找到有重根但能找到 n 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量,则则 A与与对角矩阵相似对角矩阵相似.(2)(2)不计算矩阵不计算矩阵 A 的特征值的特征值.只需证明只需证明 A 的的特征值两两互异特征值两两互异,即可证明即可证明 A 能对角化能对角化.(3)(3)不计算矩阵不计算矩阵 A 的特征值、特征向量的特征值、特征向量,只只证明存在可逆矩阵证明存在可逆矩阵 P 和对角矩阵和对角矩阵 ,使

8、使 P-1AP=.7.7.已知已知已知已知 n n 阶方阵阶方阵阶方阵阶方阵 A A 可对角化可对角化可对角化可对角化,如何求可逆如何求可逆如何求可逆如何求可逆矩矩矩矩阵阵阵阵 P P,使使使使 P P-1 1APAP=diagdiag(1 1,2 2,n n)?)?答答答答 n 阶方阵阶方阵 A 可对角化可对角化,是指存在一个可是指存在一个可逆方阵逆方阵 P,使使 P-1AP=diag(1,2,n)=.由此可知由此可知 1,2,n 是是 A 的特征值的特征值,设设 P=(a1,a2,an),由由 AP=P ,可得可得 Aai=iai,于是于是 ai 是是 A 的对应于的对应于 i 的特征向量

9、的特征向量.求可逆矩求可逆矩阵阵P 的问题就转化为求的问题就转化为求 A 的特征向量的特征向量.其具体步其具体步骤如下骤如下:Step1Step1：求出矩阵求出矩阵 A 的所有特征值，设的所有特征值，设 A 有有 s 个不同的特征值个不同的特征值 1,2,n，它们的重数它们的重数分分别为别为 n1,n2,ns,n1+n2+ns=n.Step2:Step2:对对 A 的每个特征值的每个特征值 i,求求 (A-i E)x=0的基础解系的基础解系,设为设为(i=1,2,s).以这些向量为列构造矩阵以这些向量为列构造矩阵则则 P-1AP=.要注意矩阵要注意矩阵 P 的列与对角矩阵的列与对角矩阵 主对角

10、线主对角线上的元素上的元素(A 的特征值的特征值)之间的对应关系之间的对应关系.8.8.二次型的标准形是否唯一二次型的标准形是否唯一二次型的标准形是否唯一二次型的标准形是否唯一?答答答答 不唯一不唯一.因为采用不同的方法因为采用不同的方法(实质上是实质上是采用不同的变换采用不同的变换)所化成的标准形所化成的标准形,可能是不同可能是不同的的.即使采用同一种方法即使采用同一种方法,由于变换的方法不同由于变换的方法不同,所得的标准形也可能不同所得的标准形也可能不同.例如例如:用正交变换用正交变换 x=Py 化化 f=xTAx 为为 f=iyi2,其平方项的系数其平方项的系数 1,2,n,除了排列次序

11、以外是唯一确定的除了排列次序以外是唯一确定的.它它们都是二次型们都是二次型 f 的矩阵的矩阵 A 的特征值的特征值.如果用可逆线性变换如果用可逆线性变换 x=Cy 化化 f=xTAx 为为 f =kiyi2,其平方项系数不唯一其平方项系数不唯一,随随 C 而变化而变化,且且可以不是可以不是 A 的特征值的特征值.9.9.如何将一个实二次型化为标准形如何将一个实二次型化为标准形如何将一个实二次型化为标准形如何将一个实二次型化为标准形?答答答答 将一个实二次型化为标准形将一个实二次型化为标准形,主要有以主要有以下三种方法下三种方法:方法方法方法方法1:1:正交变换法正交变换法;方法方法方法方法2:

12、2:配方法配方法;方法方法方法方法3:3:初等变换法初等变换法.这里介绍用正交变换将二次型化为标准形这里介绍用正交变换将二次型化为标准形.其基本思想为其基本思想为:若已知若已知 f=xTAx,则则 A 是一个实对是一个实对称矩阵称矩阵,故存在一个正交矩阵故存在一个正交矩阵P,使使 P-1AP=diag(1,n)为对角矩阵为对角矩阵.令令 x=Py,则则 f=xTAx=yT y=iyi2.用正交变换化二次型为标准形的具体步骤用正交变换化二次型为标准形的具体步骤如下如下:Step1:Step1:将二型次表示成矩阵形式将二型次表示成矩阵形式 f=xTAx,求出求出A;Step2:Step2:求出求出

13、 A 的所有特征值的所有特征值 1,2,n;Step3:Step3:求出正交矩阵求出正交矩阵 P,使使 P-1AP=diag(1,n)=(P 的列向量依次为的列向量依次为 i 对应的单位特征向量对应的单位特征向量);Step4:Step4:作正交变换作正交变换 x=Py,则得则得 f 的标准形的标准形 f=xTAx=yT y=iyi2.由上面步骤可以看出由上面步骤可以看出,用正交变换化实二次用正交变换化实二次型为标准形与用正交矩阵化实对称矩阵为对角矩型为标准形与用正交矩阵化实对称矩阵为对角矩阵阵,是同是同一问题的两种不同提法一问题的两种不同提法,其实质相同其实质相同.10.10.如何判断一个二

14、次型如何判断一个二次型如何判断一个二次型如何判断一个二次型 f=f=x xT TAxAx 是正定的是正定的是正定的是正定的?答答答答 判断一个二次型判断一个二次型 f=xTAx 是正定的方法是正定的方法很多很多,常用的方法有常用的方法有:(1)(1)惯性指数法惯性指数法惯性指数法惯性指数法:即即 f 的正惯性指数为的正惯性指数为 n(A 的的阶阶),负惯性指数为零负惯性指数为零;(2)(2)主子式法主子式法主子式法主子式法:即即 A 的所有主子式的所有主子式(k=1,2,n);(3)(3)特征值法特征值法特征值法特征值法:A 的所有特征值都大于零的所有特征值都大于零.在什么情况下使用何种方法在

15、什么情况下使用何种方法,这就要视这就要视 f 的情的情况灵活运用况灵活运用.例如当例如当 A 的特征值容易求时的特征值容易求时,使用特使用特征值法比较简单征值法比较简单,且它的意义直观且它的意义直观;当当 n 比较小时比较小时,可使用主子式法可使用主子式法;而当而当 n 比较大时比较大时,求每个主子式求每个主子式就比较麻烦就比较麻烦.还有其他特殊的方法还有其他特殊的方法,也可以通过判也可以通过判断断 A 是正定矩阵是正定矩阵,得出二次型的正定性得出二次型的正定性.11.11.两个正定矩阵之和、差、积是否还是正两个正定矩阵之和、差、积是否还是正两个正定矩阵之和、差、积是否还是正两个正定矩阵之和、

16、差、积是否还是正定矩阵？定矩阵？定矩阵？定矩阵？答答答答 两个正定矩阵之和必是正定矩阵两个正定矩阵之和必是正定矩阵.设设 A,B 是是 n 阶正定矩阵阶正定矩阵,则则 A+B 仍是正定矩阵仍是正定矩阵.事事实上实上,因为因为 AT=A,BT=B,所以所以(A+B)T=AT+BT=A+B.即即 A+B 是实对称矩阵是实对称矩阵.又因又因 A，B 均是均是正定矩阵正定矩阵,故对任意故对任意 n 维向量维向量 x 0,均有均有 xTAx 0,xTBx 0,所以所以 xT(A+B)x=xTAx+xTBx 0,即即 A+B 是正定矩阵是正定矩阵.AB 不一定是正定矩阵不一定是正定矩阵.因为因为 AB 不

17、一定是实不一定是实对称矩阵对称矩阵.事实上事实上,如果如果 AB BA,则则 AB 就不是就不是对对称的故称的故 AB 就不是正定的就不是正定的.容易证明容易证明:当当 A,B 是是正定矩阵时正定矩阵时,AB 是正定的充要条件是是正定的充要条件是 AB=BA.A-B 也不一定是正定矩阵也不一定是正定矩阵,显然显然 A-B 是对是对称矩阵称矩阵;对对 x 0,有有 xTAx 0,xTBx 0,但不能但不能保证总有保证总有 xT(A-B)x 0.故故 A-B 不一定是正定不一定是正定的的.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内

18、容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击

19、返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结

20、束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.