用MATLAB求解微分方程及微分方程组.ppt

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1、1.微分方程的解析解微分方程的解析解 求微分方程（组）的解析解命令:dsolve(方程方程1,方程方程2,方程方程n,初始条件初始条件,自变量自变量)运行结果：u=tan(t-c)用用MATLAB求解微分方程求解微分方程解解 输入命令：dsolve(Du=1+u2,t)解解 输入命令:y=dsolve(D2y+4*Dy+29*y=0,y(0)=0,Dy(0)=15,x)运行结果为:y=3e-2xsin（5x）解解 输入命令：x,y,z=dsolve(Dx=2*x-3*y+3*z,Dy=4*x-5*y+3*z,Dz=4*x-4*y+2*z,t)；x=simple(x)%将x化简 y=simple

2、(y)z=simple(z)运行结果为：x=(c1-c2+c3+c2e-3t-c3e-3t)e2t y=-c1e-4t+c2e-4t+c2e-3t-c3e-3t+c1-c2+c3)e2t z=(-c1e-4t+c2e-4t+c1-c2+c3)e2t 2.用用Matlab求常微分方程的数值解求常微分方程的数值解t，x=solver（f,ts,x0,options）ode45 ode23 ode113ode15sode23s由待解方程写成的m-文件名ts=t0，tf，t0、tf为自变量的初值和终值函数的初值ode23：组合的2/3阶龙格-库塔-芬尔格算法ode45：运用组合的4/5阶龙格-库塔-芬

3、尔格算法自变量值函数值用于设定误差限(缺省时设定相对误差10-3,绝对误差10-6),命令为：options=odeset（reltol,rt,abstol,at）,rt，at：分别为设定的相对误差和绝对误差.1、在解n个未知函数的方程组时，x0和x均为n维向量，m-文件中的待解方程组应以x的分量形式写成.2、使用Matlab软件求数值解时，高阶微分方程必须等价地变换成一阶微分方程组.注意注意:解解:令 y1=x，y2=y11、建立m-文件vdp1000.m如下：function dy=vdp1000(t,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=y(2);dy(2)=1000*(1-y(1

4、)2)*y(2)-y(1);2、取t0=0，tf=3000，输入命令：T,Y=ode15s(vdp1000,0 3000,2 0);plot(T,Y(:,1),-)3、结果如图解解 1、建立m-文件rigid.m如下：function dy=rigid(t,y)dy=zeros(3,1);dy(1)=y(2)*y(3);dy(2)=-y(1)*y(3);dy(3)=-0.51*y(1)*y(2);2、取t0=0，tf=12，输入命令：T,Y=ode45(rigid,0 12,0 1 1);plot(T,Y(:,1),-,T,Y(:,2),*,T,Y(:,3),+)3、结果如图图中，y1的图形为

5、实线，y2的图形为“*”线，y3的图形为“+”线.导弹追踪问题导弹追踪问题 设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上点A(1,0)处的乙舰发射导弹，导弹头始终对准乙舰.如果乙舰以最大的速度v0(是常数)沿平行于y轴的直线行驶，导弹的速度是5v0，求导弹运行的曲线方程.又乙舰行驶多远时，导弹将它击中？解法一解法一（解析法）由(1),(2)消去t整理得模型:解法二解法二(数值解)1.建立m-文件eq1.m function dy=eq1(x,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=y(2);dy(2)=1/5*sqrt(1+y(1)2)/(1-x);2.取x0=0，xf=0.9999，建立主程序ff6

6、.m如下：x0=0，xf=0.9999 x,y=ode15s(eq1,x0 xf,0 0);plot(x,y(:,1),b.)hold on y=0:0.01:2;plot(1,y,b*)结论结论:导弹大致在（导弹大致在（1，0.2）处击中乙舰）处击中乙舰令y1=y,y2=y1，将方程（3）化为一阶微分方程组。解法三解法三(建立参数方程求数值解)设时刻t乙舰的坐标为(X(t)，Y(t)，导弹的坐标为(x(t)，y(t).3因乙舰以速度v0沿直线x=1运动，设v0=1，则w=5，X=1，Y=t4.解导弹运动轨迹的参数方程建立m-文件eq2.m如下：function dy=eq2(t,y)dy=z

7、eros(2,1);dy(1)=5*(1-y(1)/sqrt(1-y(1)2+(t-y(2)2);dy(2)=5*(t-y(2)/sqrt(1-y(1)2+(t-y(2)2);取t0=0，tf=2，建立主程序chase2.m如下：t,y=ode45(eq2,0 2,0 0);Y=0:0.01:2;plot(1,Y,-)，hold on plot(y(:,1),y(:,2),*)轨迹图如下例：例：饮酒模型饮酒模型模型1：快速饮酒后，胃中酒精含量的变化率模型2：快速饮酒后，体液中酒精含量的变化率即用Matlab求解模型2：syms x y k1 k2 M tx=dsolve(Dx+k2*x=k1*

8、M*exp(-k1*t),x(0)=0,t)运行结果：M*k1/(-k1+k2)*exp(-k2*t+t*(-k1+k2)-exp(-k2*t)*M*k1/(-k1+k2)即：用以下一组数据拟合上述模型中的参数k1、k2：时间(小时)0.250.50.7511.522.533.544.55酒精含量306875828277686858515041时间(小时)678910111213141516酒精含量3835282518151210774M=64000/490=130.6122（毫克百毫升）建立函数文件：function f=curvefun1(k,t)f=k(1)*64000/490*(exp

9、(-k(2)*t)-exp(-k(1)*t)/(k(1)-k(2)输入拟合数据：t=0 0.25 0.5 0.75 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16;c=0 30 68 75 82 82 77 68 68 58 51 50 41 38 35 28 25 18 15 12 10 7 7 4;任取k1、k2的一组初始值：k0=2,1;输入命令：k=lsqcurvefit(curvefun1,k0,t,c)运行结果为：k=1.3240 0.2573作图表示求解结果：t1=0:0.1:18;f=curvefun1(k,t1);plot(t,c,ko,t1,f,r-)模型2：慢速饮酒时，体液中酒精含量的变化率则有；其中M为饮酒的总量，T为饮酒的时间