考研基础数学讲义导数与微分.ppt

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1、1 一、一、导数和微分的概念及应用导数和微分的概念及应用二、二、导数和微分的求法导数和微分的求法 导数与微分2一、一、导数和微分的概念及应用导数和微分的概念及应用导数：导数：微分微分:可导与可微的概念：可导与可微的概念：可导可导存在存在.可微可微其中其中A是与是与无关的常数无关的常数.特点是：特点是：“分分子一定一动，子一定一动，分母有左有右分母有左有右”分子是函数分子是函数值之差，值之差，分母分母是相应的自变是相应的自变量之差，分母量之差，分母趋于零的极限趋于零的极限.能能3导数与微分的区别与联系导数与微分的区别与联系联系联系:区别：区别：可从定义式子；可从定义式子；实质；实质；几何意义几何

2、意义三方面考察三方面考察.是函数相对于自变量的是函数相对于自变量的变化率变化率.(dy 是是y 线性主部线性主部).4可导与可微的区别与联系可导与可微的区别与联系:区别区别：可从定义式子；几何意义两方面考察：可从定义式子；几何意义两方面考察.可导可导存在存在.可导可导一定有切线一定有切线 且切线不垂直于且切线不垂直于x轴轴.以直代曲以直代曲当当很小时，很小时，在点在点M的附近，的附近，可用切线段近似地代替曲线段可用切线段近似地代替曲线段.可微可微联系：联系：可微必可导，可微必可导，可导必可微可导必可微.可微可微其中其中A是与是与无关的常数无关的常数.能能5 几个定理几个定理 定理定理1.定理定

3、理2.定理定理3.在在处可导处可导在在处连续处连续在在处的极限一定存在，处的极限一定存在，即即存在存在.在在可微可微可微可微可导可导连续连续有极限有极限有定义有定义在点在点 可微可微 在点在点 处可导处可导6思考：思考：7(1)利用导数定义解决的问题利用导数定义解决的问题 (2)用导数可求切线与法线的方程用导数可求切线与法线的方程4）用导数定义求极限；用导数定义求极限；2)求分段函数在分界点处的导数求分段函数在分界点处的导数,及某些特殊及某些特殊函数在特殊点处的导数函数在特殊点处的导数;3)由导数定义证明一些命题；由导数定义证明一些命题；1)利用导数的定义求函数在某点处的导数；利用导数的定义求

4、函数在某点处的导数；用导数可求变速直线运动的速度与加速度用导数可求变速直线运动的速度与加速度5）判断函数在某一点的可导性）判断函数在某一点的可导性.应用应用:81)几何应用：几何应用：几何意义：几何意义：是是y=f(x)在点在点切线、法线的方程：切线、法线的方程：切线的方程：切线的方程：法线的方程：法线的方程：2)物理应用：物理应用：瞬时速度：瞬时速度：瞬时加速度：瞬时加速度：处切线的处切线的斜率斜率.9解解:原式原式=题型题型1：已知导数求极限：已知导数求极限例例1.1011例例2.设设,讨论讨论 在在 处的可导性处的可导性,并求并求解解:不存在不存在不连续，从而不可导不连续，从而不可导.但

5、是但是12解解:原式原式=且且联想到凑导数的定义式联想到凑导数的定义式例例3.13例例4.解解:题型题型2：已知极限求导数：已知极限求导数14处可导的一个充分条件是（处可导的一个充分条件是（）练习练习:15题型题型3：利用导数的定义求函数在某点的导数：利用导数的定义求函数在某点的导数提示：以下情况必须用导数的定义求导数提示：以下情况必须用导数的定义求导数1)求分段函数在分界点处的导数时；求分段函数在分界点处的导数时；2)不符合求导法则的条件时；不符合求导法则的条件时；3)表达式中的抽象函数的可导性未知时就不能盲目的表达式中的抽象函数的可导性未知时就不能盲目的用求导法则用求导法则.例例5.解解:

6、注意：可导注意：可导 可导可导=可导；可导可导；可导 不可导就不一定可导不可导就不一定可导.注意：可导注意：可导 可导可导=可导；可导可导；可导 不可导就一定不可导不可导就一定不可导.16例例6.解解:分析分析:不能用公式求导不能用公式求导.求左右极限求左右极限17可导可导例例7.解解:注意：注意：求导法则的成立是有条件的求导法则的成立是有条件的.18设设解解:因为因为又又例例8.注：注：判断可导性的方法判断可导性的方法不连续不连续,一定不可导一定不可导.连续连续直接用定义直接用定义;看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等.19例例9.分析分析:又又20解解:方法方法1 利用导数定义

7、利用导数定义.方法方法2 利用求导公式利用求导公式.例例10.21例例11 证明：证明：证明：证明：定义法定义法公式法公式法题型题型4：利用导数的定义证明导函数的性质：利用导数的定义证明导函数的性质22思考：思考：05数一、二，数一、二，4分分 设设F(x)的导数是的导数是f(x)，表示表示“M的充分必要条件是的充分必要条件是N”，则必有，则必有 (B)F(x)是奇函数是奇函数f(x)是偶函数是偶函数.(A)F(x)是偶函数是偶函数f(x)是奇函数是奇函数.f(x)是周期函数是周期函数.(C)F(x)是周期函数是周期函数f(x)是单调函数是单调函数.(D)F(x)是单调函数是单调函数(A)23

8、二、二、导数和微分的求法导数和微分的求法(微分法微分法)1.正确使用导数及微分公式正确使用导数及微分公式(16个个)和法则和法则(四则法则；四则法则；锁链法则；反函数求导法则锁链法则；反函数求导法则).2.熟练掌握求导熟练掌握求导方法和技巧方法和技巧:(1)求分段函数的导数求分段函数的导数;注意讨论分注意讨论分界点界点处左右导数是否存在和相等处左右导数是否存在和相等.(2)隐函数求导法隐函数求导法(直接法、微分法直接法、微分法);(3)参数方程求导法参数方程求导法(复合函数法、微商法复合函数法、微商法);(5)复合函数求导法复合函数求导法(可利用微分形式不变性可利用微分形式不变性);(6)高阶

9、导数的求法高阶导数的求法(逐次求导归纳逐次求导归纳;间接求导法间接求导法).(4)对数函数求导法对数函数求导法(对多个因式的积商、乘方开方及对多个因式的积商、乘方开方及幂指函数有用幂指函数有用);243.常数和基本初等函数的导数及法则常数和基本初等函数的导数及法则:求导公式求导公式(16个个):25有限次四则运算的求导法则有限次四则运算的求导法则(有条件的有条件的):(C为常数为常数)反函数的求导法则：反函数的求导法则：复合函数求导法则复合函数求导法则(有条件的有条件的):初等函数在定义区间内可导初等函数在定义区间内可导,且导数仍为初等函数且导数仍为初等函数.26(2)求法求法:直接法直接法逐

10、阶求导法逐阶求导法归纳法归纳法间接法间接法 利用已知的高阶导数公式和法则利用已知的高阶导数公式和法则.4.高阶导数的概念及求法高阶导数的概念及求法公式公式：法则法则：(C为常数为常数)记作：记作：27说明说明：1.有以上公式与法则有以上公式与法则,我们就可以对我们就可以对任意初等函数任意初等函数求各求各阶阶2.求导时求导时,应认清应认清结构结构,是是和差和差还是还是乘积乘积,复合复合;是是分段函数分段函数还是还是抽象函数抽象函数,幂指函数幂指函数,是是隐函数隐函数还是还是参数方程等参数方程等.3.求导时应认清谁是自变量求导时应认清谁是自变量,谁是函数谁是函数.对哪一个变量求导对哪一个变量求导.

11、导数导数.初等函数的各阶导数初等函数的各阶导数(若存在若存在)仍为初等函数仍为初等函数.4.应正确使用各种导数的符号应正确使用各种导数的符号.如如281)基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式5.微分运算公式与法则微分运算公式与法则291)微分的四则法则：微分的四则法则：设设 u(x),v(x)均可微均可微,则则(C 为常数为常数)2)微分法则微分法则2)复合函数的微分法则：复合函数的微分法则：结论：结论：无论无论u是自变量是自变量还是还是中间变量，中间变量，形式形式总是总是这种特性称为这种特性称为一阶微分形式的不变性一阶微分形式的不变性301)表示导数时能显示谁是函数谁是自变量表示导数

12、时能显示谁是函数谁是自变量,2)表示微分时有表示微分时有商商的含义，故的含义，故3)隐含着一阶微分形式的不变性隐含着一阶微分形式的不变性.31解解:关键关键:搞清函数的运算结构搞清函数的运算结构,对复合函数应由外向内逐对复合函数应由外向内逐层求导层求导.求导次序：先加减后乘除，再用锁链法则求导次序：先加减后乘除，再用锁链法则求导次序：先加减后乘除，再用锁链法则求导次序：先加减后乘除，再用锁链法则.题型题型5：求各类函数的导数及微分：求各类函数的导数及微分例例12 求下列函数的导数求下列函数的导数解解:32解：解：幂指函数幂指函数 的求导方法有两种：的求导方法有两种：方法方法1：对数求导法对数求

13、导法然后用然后用隐函数求导法隐函数求导法求导求导.方法方法2：利用复合函数求导法利用复合函数求导法变形为变形为然后用然后用复合函数求导法复合函数求导法求导求导.33由参数方程所确定的导数的求导法：由参数方程所确定的导数的求导法：若参数方程若参数方程可确定一个可确定一个 y 与与 x 之间的函数之间的函数可导可导,且且关系关系,法法1:由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得即即法法2:由微商及微分的计算求导由微商及微分的计算求导.?已知已知注意注意:对谁求导对谁求导?例例13.34例例13.解：解：求导小技巧：先变形再求导求导小技巧：先变形再求导35单值可导隐函数单值可导隐

14、函数并求并求在点在点(0,0)某邻域某邻域可确定一个可确定一个所给方程两边微分：所给方程两边微分：微分法：微分法：36解：方程两边对解：方程两边对 x 求导：求导：直接求导法：直接求导法：令令 x=0,注意此时注意此时上式两边对上式两边对 x 求导：求导：小技巧小技巧单值可导隐函数单值可导隐函数并求并求在点在点(0,0)某邻域某邻域可确定一个可确定一个(12年研年研,答案：答案：1)37隐函数隐函数直接直接求导法求导法:直接对方程两边对直接对方程两边对 求导求导,把含有把含有 的项看成是的项看成是 的的提示：提示：两边取对数两边取对数对数求导法对数求导法:该法该法适用于适用于幂指函数幂指函数及

15、某些用及某些用连乘连乘,连除连除表示的函数表示的函数.对方程两边取对数对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导按隐函数的求导法则求导;复合函数复合函数.38例例15.设设试确定常数试确定常数 a,b 使使 f(x)处处可导处处可导,并求并求解：解：得得可导必连续可导必连续39 注意：注意：分段函数求导时分段函数求导时,分界点处的导数用左右导分界点处的导数用左右导数的定义求数的定义求.其他点处的导数用公式和法则求其他点处的导数用公式和法则求.40例例16.解解:例例17.设设解解:注意区分符号：注意区分符号：41题型题型6：导数的应用：导数的应用例例19.解：解：对方程分别对对方程分别对t求导得求导得所求切线方程为所求切线方程为:42例例20.解：解：方程两边分别对方程两边分别对x求导得求导得则则43练习：练习：