第二章 第2节作用于流体的力应力张量.ppt

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1、气象学与气候学流体力学 大气科学学院大气科学学院 刘海文刘海文12 作用于流体的力、应力张量作用于流体的力、应力张量研究流点所受的力和性质研究流点所受的力和性质在流体中任取一个以在流体中任取一个以s 为界面的体积为界面的体积，作用于该体积上的力，作用于该体积上的力分成两类：分成两类：质量力（体力）质量力（体力）和和 面力（表面力）面力（表面力）下面逐一分析之：下面逐一分析之：一、质量力（体力）一、质量力（体力）1、定义：、定义：质量力（体力）质量力（体力）是作用于所有流点上的力，它与周围流是作用于所有流点上的力，它与周围流点无关，常见的有：重力、万有引力、电磁力等。点无关，常见的有：重力、万有

2、引力、电磁力等。在大气动力学中指重力。是非接触力。在大气动力学中指重力。是非接触力。2、表示方法、表示方法质量力用空间中分布密度函数质量力用空间中分布密度函数 表示。表示。2（2.19）-可以看成是力的分布密度。可以看成是力的分布密度。如果质量力是重力，则如果质量力是重力，则 就是重力加速度就是重力加速度g。3、作用于有限体积元、作用于有限体积元 上的质量力是：上的质量力是：二、面力（表面力）二、面力（表面力）1、定义：、定义：面力（表面力）面力（表面力）是是与流体表面与流体表面S相接触相接触的流体（或固体）的流体（或固体）作用于流体表面作用于流体表面S 上的力。如压力、粘性力、摩擦力。上的力

3、。如压力、粘性力、摩擦力。2、表达式、表达式以面力在表面上的分布密度来表示（记作以面力在表面上的分布密度来表示（记作 )（2.20）上式中的上式中的 是作用于某个流体面积是作用于某个流体面积 上的表面力，面力上的表面力，面力 又称为又称为应力矢应力矢。则作用于流体面元上的面力（应力）为：。则作用于流体面元上的面力（应力）为：33、质量力和面力的区别、质量力和面力的区别()（1）质量力）质量力 是力的分布密度，是非接触力，是空间和时间的是力的分布密度，是非接触力，是空间和时间的函数，即：函数，即：，是一个，是一个矢量场矢量场。流点所受的质量力被质量函数。流点所受的质量力被质量函数 完全描述了。完

4、全描述了。（2）面力）面力 是是应力矢应力矢，它不但是空间和时间的函数，而且还，它不但是空间和时间的函数，而且还随着受力面元取向的不同而变化，即：随着受力面元取向的不同而变化，即：是空间某一点的位置是空间某一点的位置,是该点某一个受力面元的法向单位矢。是该点某一个受力面元的法向单位矢。这段话可以这样理解：流体中有各个位置的点，不同点用这段话可以这样理解：流体中有各个位置的点，不同点用 确定，确定，对于某一点对于某一点 ，过这一点可以做无数个不同方向的面元，这些，过这一点可以做无数个不同方向的面元，这些面元就用面元就用 区别开来了，作用在这些面元上的面力区别开来了，作用在这些面元上的面力 一般来

5、说是不一般来说是不同的，同的，因此，因此，是是 位置位置 和和表面法向表面法向 的函数了，另外还的函数了，另外还随着时间变化。随着时间变化。4问题问题 那么，要描写某一点的应力就需要知道所有通过该点那么，要描写某一点的应力就需要知道所有通过该点的面上所受的应力。的面上所受的应力。-是否一定要这样做？是否一定要这样做？-不必，后面就会看到，过同一点不同面上所受到的不必，后面就会看到，过同一点不同面上所受到的应力并不是处处相互独立，事实上，只要知道三个与坐标应力并不是处处相互独立，事实上，只要知道三个与坐标面平行面上的应力，则任一以面平行面上的应力，则任一以 为法向的面上的应力都可为法向的面上的应

6、力都可以通过它们及以通过它们及 表示出来。表示出来。即三个矢量（三个坐标面上的应力）或即三个矢量（三个坐标面上的应力）或9个分量个分量完全地描述了一点的应力状况。完全地描述了一点的应力状况。5三、应力张量三、应力张量1、一些符号和名词、一些符号和名词（1）小面元）小面元 的法线方向：的法线方向：当当 封闭时，取外法线方向为正，如图封闭时，取外法线方向为正，如图SS2-2-1当当 不封闭时，可以规定一个方向为正。不封闭时，可以规定一个方向为正。(2)外法向（即周围）流体通过面元对面元外法向（即周围）流体通过面元对面元内流体的应力作用记为：内流体的应力作用记为：（或说法线正向一侧流体作用于面元上的

7、（或说法线正向一侧流体作用于面元上的应力以应力以 表示）表示）面元内流体经过面元对周围流体的应力作用记为：面元内流体经过面元对周围流体的应力作用记为：（或说法线负向一侧流体作用于面元上的应力以（或说法线负向一侧流体作用于面元上的应力以 表示表示.）根据牛顿的作用力与反作用力定律：根据牛顿的作用力与反作用力定律：6 注意：注意：一般而言不平行于法线（不垂直于作用面），下标的一般而言不平行于法线（不垂直于作用面），下标的n只是表示面元的法向。只是表示面元的法向。（3）应力矢）应力矢 在直角坐标轴上的投影。记为：在直角坐标轴上的投影。记为：注意：第一个下标表示面元的法向，第二个注意：第一个下标表示面

8、元的法向，第二个 下标表示应力的投影方向。下标表示应力的投影方向。（4）一般而言不平行于法线（不垂直于作用面），因而它在一般而言不平行于法线（不垂直于作用面），因而它在面元的法向和切向都有投影，即：面元的法向和切向都有投影，即：法线方向上的投影：法线方向上的投影：-法向应力法向应力切线方向上的投影：切线方向上的投影：-切向应力切向应力72、应力张量的证明、应力张量的证明设在流体中的一个点设在流体中的一个点M，想象把它扩大一点，成为一个四面体，想象把它扩大一点，成为一个四面体MABC，如图，如图2-3。注意：不一定垂直于不一定垂直于YOZ,XOZ,XOY平面。平面。82.21中含 的略去根据牛顿

9、第二运动定律，有：根据牛顿第二运动定律，有：（2.18）而流体所受的力而流体所受的力，就是上面表中所列的内容，则可以写出这，就是上面表中所列的内容，则可以写出这这个四面体的运动方程：这个四面体的运动方程：（体力（体力 +面力）面力）上式中的上式中的 是三阶小量，是三阶小量，是二阶小量，是二阶小量，含含 的项比含的项比含 的项小一个量级。当四面体无限缩小时，的项小一个量级。当四面体无限缩小时，含含 的项可以略去，的项可以略去，则得到：则得到：（2.21）又因为：又因为：9上式又可以写成：上式又可以写成：移项为：移项为：（2.24）上式中的三个小面积上式中的三个小面积 是是 在三个坐标面上的投影，

10、即：在三个坐标面上的投影，即：（2.25）上式中的上式中的 表示法向单位矢量表示法向单位矢量n与与x轴的方向余弦。轴的方向余弦。另外两个类同。将（另外两个类同。将（2.25）代入（）代入（2.24）得到：）得到：将上式中的矢量都分解到直角坐标系的三个作用轴上，将上式中的矢量都分解到直角坐标系的三个作用轴上，（2.26）10所以所以,应力矢应力矢 在直角坐标轴上的投影在直角坐标轴上的投影 就为：就为：（分别是（分别是i,j,k 方向）方向）（2.27）11（2.27）（2.27）说明，若三个坐标面上的应力矢量：）说明，若三个坐标面上的应力矢量：，已知，则任一法向为则任一法向为 的面上的应力矢可以

11、按照（的面上的应力矢可以按照（2.26）求出。）求出。因此三个矢量因此三个矢量 ，或它们的共，或它们的共9个分量的组合就完全描述了一点的应力状况。个分量的组合就完全描述了一点的应力状况。称下面由称下面由9个分量组成的张量为个分量组成的张量为应力张量应力张量：=，k=1,2,3,l=1,2,3 (2.28)12根据张量运算的原则，就有：根据张量运算的原则，就有：而而=应力张量的应力张量的9个分量中，个分量中，称为称为法应力法应力（是（是YOX平面、平面、XOZ、XOY平面法向上的分量）。平面法向上的分量）。其余其余6个量称为个量称为切应力切应力（分量）。（分量）。133、应力张量的性质、应力张量

12、的性质（1）应力张量是一个对称张量，已经证明：）应力张量是一个对称张量，已经证明：（2）不论坐标如何选择，）不论坐标如何选择，为一不变的量。为一不变的量。144、理想流体的应力张量、理想流体的应力张量 理想流体没有粘性，其切向应力为零，即：理想流体没有粘性，其切向应力为零，即：此时只有法向应力（实际就是压力）此时只有法向应力（实际就是压力）则根据（则根据（2.27）得到：）得到：（2-1）如果按法向和切向的分解，如果按法向和切向的分解，则：，则：（2-2）对于理想流体，没有切应力，即对于理想流体，没有切应力，即，上式（，上式（2-2）就成为：）就成为：15（2-3）将（将（2.1）与（）与（2

13、.3）对比，得到：）对比，得到：可见，理想流体的应力与方向无关，是可见，理想流体的应力与方向无关，是(x,y,z,t)的函数，的函数，一般称之为压力一般称之为压力-p。（取负号表示压力方向与法向方向相反。）。（取负号表示压力方向与法向方向相反。）理想流体的应力矢可以写成：理想流体的应力矢可以写成：所以，对理想流体而言，压力是唯一的表面应力，且与方向无关。所以，对理想流体而言，压力是唯一的表面应力，且与方向无关。，（矩阵称为单位张量）（矩阵称为单位张量）165、静止流体、静止流体 因为静止，则没有形变，即没用切应力，就同上面的理想流体因为静止，则没有形变，即没用切应力，就同上面的理想流体一样了，

14、上述对理想流体的性质依然成立。一样了，上述对理想流体的性质依然成立。四、表面应力张量与形变速度张量的关系四、表面应力张量与形变速度张量的关系 真真实实流体都有粘性。当相流体都有粘性。当相邻邻两两层层流体作相流体作相对对滑滑动时动时（即剪切（即剪切变变形）形）时时，在相反方向，在相反方向产产生一切向生一切向应应力力，阻止阻止变变形的形的产产生，因此切向生，因此切向应应力与切向形力与切向形变变之之间间存在关系。存在关系。流体的这种性质流体的这种性质粘性规律，通过它将应力张量与形变速度粘性规律，通过它将应力张量与形变速度张量以某种关系联系起来，现在来推导这个关系。张量以某种关系联系起来，现在来推导这

15、个关系。171、牛顿实验：、牛顿实验：1687年，建立了此关系年，建立了此关系实验（如书上实验（如书上P53图图2.5）实验：实验：开始开始-两块很长的平行板，中间充满不可压缩粘性流体。两块很长的平行板，中间充满不可压缩粘性流体。上板以速度上板以速度U 平行于下板移动，下板静止。平行于下板移动，下板静止。此时，粘在上板上的流体速度是此时，粘在上板上的流体速度是U，下板上的流体速度为零。，下板上的流体速度为零。过一定时间后测量两板间各层的流体速度，发现过一定时间后测量两板间各层的流体速度，发现-速度分布如下：速度分布如下：-显然：显然：这是一种切变分布。这是一种切变分布。18 如果想保持两板之间

16、流体的这种速度分布，则必须给上板一个如果想保持两板之间流体的这种速度分布，则必须给上板一个与流速同向的推力（切向力），而给下板以一个与流速反向的固与流速同向的推力（切向力），而给下板以一个与流速反向的固定力定力 这说明流体与板，流体与流体之间存在着黏性应力，否则上板这说明流体与板，流体与流体之间存在着黏性应力，否则上板就不可能带动整个流体运动。就不可能带动整个流体运动。而且，对上下板所施的力，就是用来克服流体对板的黏性力。而且，对上下板所施的力，就是用来克服流体对板的黏性力。实验测量证明：此流动中的粘性应力矢处处相同的，用实验测量证明：此流动中的粘性应力矢处处相同的，用 表示表示 19牛顿粘性

17、定律牛顿粘性定律（2.35）称为（动力学）称为（动力学）粘性系数或内摩擦系数粘性系数或内摩擦系数。（流体与其它物体间的粘性系数称为外摩擦系数，（流体与其它物体间的粘性系数称为外摩擦系数，一般内、外摩擦系数取值一样一般内、外摩擦系数取值一样.）牛顿粘性定律给出了粘性应力牛顿粘性定律给出了粘性应力 与形变率与形变率 的关系，即粘性应力与形变率的关系，即粘性应力与形变率成正比，与压力无关牛顿粘性定律但只适用于直线运动。牛顿粘性定律但只适用于直线运动。202、广义牛顿粘性假设、广义牛顿粘性假设牛顿粘性定律给出了粘性应力牛顿粘性定律给出了粘性应力 与形变率与形变率的线性关系，但只适用于直线运动。的线性关

18、系，但只适用于直线运动。但这种线性关系却可以推广到任意的粘性流体运动，但这种线性关系却可以推广到任意的粘性流体运动，称为称为广义牛顿粘性假设广义牛顿粘性假设，即：，即：（2.36）式中的式中的就是前面讲到的应力张量（就是前面讲到的应力张量（2.28），），是第一章讲到的形变率（是第一章讲到的形变率（P21，1.38式）式）是三个法向应力的平均值。是三个法向应力的平均值。是前面讲的单位张量。是前面讲的单位张量。213.应力张量和形变速度张量（形变率张量）之应力张量和形变速度张量（形变率张量）之间的关系间的关系 广义牛顿粘性假设就显示了应力张量和形变速度张量广义牛顿粘性假设就显示了应力张量和形变速

19、度张量之间的关系，写成分量形式：之间的关系，写成分量形式：其中：其中：。其中由于单位张量中的非对角元素为零，则（由于单位张量中的非对角元素为零，则（2-3）还可以写成：）还可以写成：（2-3）22可见前面的牛顿粘性定律是（可见前面的牛顿粘性定律是（2-3）的一个特例。）的一个特例。（2-3）还可以改写成与粘性有关的部分和与粘性无关）还可以改写成与粘性有关的部分和与粘性无关的部分，即：的部分，即：23（流体单位面积受到的总的表面力）（流体单位面积受到的总的表面力）=（与粘性无关的部分，即流体的压力）（与粘性无关的部分，即流体的压力）+（与粘性有关的部分，即流体的粘性应力）（与粘性有关的部分，即流

20、体的粘性应力）上式右边的第二部分可以定义为：上式右边的第二部分可以定义为：称为称为粘性应力张量粘性应力张量。24称为称为粘性应力张量粘性应力张量。对于理想流体（不考虑粘性的流体），对于理想流体（不考虑粘性的流体），=0，流体质点间只有压力的相互作用流体质点间只有压力的相互作用。254、牛顿流体、牛顿流体 流体中流点的应力和变形速度间的关系满足广义流体中流点的应力和变形速度间的关系满足广义牛顿公式（牛顿公式（2.36）的流体称为）的流体称为牛顿（粘性）流体牛顿（粘性）流体。如水和空气。如水和空气。还有一些流体不满足（还有一些流体不满足（2.36）式，称为非牛顿流体，）式，称为非牛顿流体，如颜料、低温下的润滑油等，这些属于胶体化学。如颜料、低温下的润滑油等，这些属于胶体化学。26总总 结结27 End28