龚德恩 经济数学基础 第一分册 微积分课件chapter8-3.ppt

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1、二、全微分二、全微分一、一、偏导数偏导数8.3 偏导数与全微分偏导数与全微分 引入引入 一元函数一元函数y=f(x),y关于变量关于变量x的变化，通过导数的变化，通过导数来反映来反映 多元函数多元函数z=f(x1,x2,xn),如何反映如何反映z关于变关于变量之间的变化？量之间的变化？Ceteris paribus:假定其他条件不变时假定其他条件不变时 对于二元函数对于二元函数 z=f(x,y)：固定固定y（或（或视视y为常数为常数时），时），z就是关于就是关于x的一元的一元函数。固定函数。固定x（或（或视视x为常数时为常数时），），z就是关于就是关于y的一元函数。的一元函数。定义：定义：（某

2、点的偏导数）（某点的偏导数）偏导数的几何意义：偏导数的几何意义：偏导数（函数）偏导数（函数）解解应用幂函数应用幂函数求导公式求导公式应用指数函应用指数函数求导公式数求导公式解解练习求下列函数的各偏导数练习求下列函数的各偏导数Answer求分段函数的分界点、不连续点处的偏导数要用定义求。求分段函数的分界点、不连续点处的偏导数要用定义求。解解偏导数的经济意义偏导数的经济意义设需求函数设需求函数:Q1=Q1(p1,p2)、Q2=Q2(p1,p2)。则则表示商品表示商品表示商品表示商品i i关于商品关于商品关于商品关于商品j j价格价格价格价格p pj j的的的的边际需求边际需求边际需求边际需求。而而

3、表示商品表示商品表示商品表示商品i i需求量对商品需求量对商品需求量对商品需求量对商品j j价格价格价格价格p pj j的的的的需求价格偏弹性需求价格偏弹性需求价格偏弹性需求价格偏弹性。通常，当通常，当通常，当通常，当i i=j j时称时称时称时称直接需求价格偏弹性；直接需求价格偏弹性；直接需求价格偏弹性；直接需求价格偏弹性；当当当当i i j j时称时称时称时称交叉需求价格偏弹性交叉需求价格偏弹性交叉需求价格偏弹性交叉需求价格偏弹性；书中例书中例书中例书中例5 5小结小结 偏导数的本质是其他变量不变的一元求导偏导数的本质是其他变量不变的一元求导 由于含义变动，由于含义变动，注意符号的表示！注

4、意符号的表示！新旧知识的转化新旧知识的转化全微分的引入全微分的引入多元函数的多元函数的偏导数偏导数只描述只描述某个自变量变化某个自变量变化所所引起的函数变化。引起的函数变化。当当所有变量都产生变化时所有变量都产生变化时函数的变化用函数的变化用全微全微分分进行描述。进行描述。回顾：一元函数的微分的定义回顾：一元函数的微分的定义定义：定义：（全微分）（全微分）全微分的两个性质：全微分的两个性质：(1)dz是是 x与与 y的线性函数的线性函数(2)(z-dz)是是关于关于 的高阶无穷小的高阶无穷小微分是增量的线性主部微分是增量的线性主部问问题题偏导数偏导数偏导数偏导数存在存在存在存在且连续且连续且连

5、续且连续全微分存在全微分存在全微分存在全微分存在（函数可微）（函数可微）（函数可微）（函数可微）连续连续连续连续偏导数都存在偏导数都存在偏导数都存在偏导数都存在求全微分求全微分Step1：求出：求出所有偏导函数所有偏导函数；Step2：判断偏导函数的连续性；：判断偏导函数的连续性；Step3：写出全微分的表示式写出全微分的表示式。注：一般初等函数的偏导函数仍是初等函注：一般初等函数的偏导函数仍是初等函数数,在其定义区域内总连续在其定义区域内总连续,只需两步。只需两步。全微分的习惯表示法全微分的习惯表示法习惯上，总是将自变量的改变量表示为自变习惯上，总是将自变量的改变量表示为自变量的微分量的微分

6、,即即 x=dx、y=dy，故故记全微分为：记全微分为：全微分的定义可推广到三元及三元以上函数：全微分的定义可推广到三元及三元以上函数：例：计算例：计算z=exy在点在点(2,1)处的全微分。处的全微分。解：解：所求全微分所求全微分某点的全微分某点的全微分 例：求函数例：求函数z=ycos(x-2y)在在 点点(/4，)处，当处，当 x=/4,y=时的全微分。时的全微分。解：解：全微分函数全微分函数全微分在近似计算中的应用全微分在近似计算中的应用应用的原理：当应用的原理：当 x、y很小时很小时,例：计算例：计算(1.04)2.02的近似值。的近似值。例：计算例：计算(1.04)2.02的近似值。的近似值。解：解：由公式得由公式得练习练习小结小结多元函数全微分的概念；多元函数全微分的概念；多元函数全微分的求法；多元函数全微分的求法；多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系（注意：与一元函数的区别）（注意：与一元函数的区别）