6.2 数量场的方向导数与梯度.ppt

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1、 与时间无关的场称为与时间无关的场称为稳定场稳定场，否则为，否则为不稳定场不稳定场.场场:如果在空间或其部分空间的每一点，都对应着如果在空间或其部分空间的每一点，都对应着某个物理量的一个确定的值，某个物理量的一个确定的值，该物理量的一个该物理量的一个场场.如果该物理量是数量，称它为如果该物理量是数量，称它为数量数量场场；如果该物理量是矢量，称它为如果该物理量是矢量，称它为矢量场矢量场或或向量场向量场.分别用分别用表示表示.及及则称在该空间定义了关于则称在该空间定义了关于1第二节第二节 数量场的方向导数与梯度数量场的方向导数与梯度21.1.1.1.数量场的等值面数量场的等值面在数量场在数量场 中

2、，中，称曲面称曲面 为该为该数量场的数量场的等值面等值面.在平面场在平面场 中，称曲线中，称曲线为它的为它的等值线等值线,如等温线、等高线等如等温线、等高线等.一个等值面通过；一个等值面通过；等值面族充满了数量场所在的空间，等值面族充满了数量场所在的空间，而且而且互不相交互不相交.由于数量场是单值的，所以场中的每一点有且仅有由于数量场是单值的，所以场中的每一点有且仅有等值面等值面等值线等值线3定义定义1：2.方向导数方向导数设设是是数量场数量场中的一点，中的一点，若若沿方向沿方向 l存在，存在，则称此极限为则称此极限为 在点在点处处沿沿 l 方向方向的的方向导数，方向导数，记作记作3.直角坐标

3、下方向导数的计算直角坐标下方向导数的计算4则函数在该点则函数在该点沿任意方向沿任意方向 l 的方向导数存在的方向导数存在,证明证明:且有且有得得若函数若函数在点在点处处可微，可微，故故在点在点 可微可微,由函数由函数定理定理1:5例例1.在点在点是曲面是曲面设设处指向下侧处指向下侧的法向量，的法向量，求函数求函数在点在点M处沿处沿 的方向导数的方向导数.解解:方向余弦为方向余弦为而而法向量为法向量为所以所以所以所以6例例2.朝朝 x 增大方向的方向导数增大方向的方向导数.解解:将已知曲线用矢量形式表示为将已知曲线用矢量形式表示为它在点它在点 P 的切向量为的切向量为在点在点P(2,3)沿曲线沿

4、曲线求函数求函数71.3.梯梯度度记作记作 gradu,即即定义：定义：称向量称向量为数量场为数量场 u(M)在在设有数量场设有数量场在点在点处处,点点 M 处的处的梯度梯度,引入哈密顿算子：引入哈密顿算子：有有8性质：性质：方向：方向：u 变化率最大的方向变化率最大的方向 模模:u 的最大变化率之值的最大变化率之值1)2)3)为为等值面等值面在点在点 M 处处的法向量，的法向量，u(M)增大的一方增大的一方.指向数量场指向数量场注：注：称为由数量场称为由数量场u产生的梯度场产生的梯度场.矢量场矢量场9运算公式运算公式11例例3.证证:试证试证处矢径处矢径 r 的模的模,121,7,8，913