概率论课件矩、协方差矩阵.ppt

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1、4.5.1.4.5.1.矩、偏态、峰态矩、偏态、峰态定义定义4.6 设设X,Y是两个随机变量是两个随机变量（1）若）若存在，则称它为存在，则称它为X的的k阶阶原点原点矩矩，记为，记为（2）若）若存在，则称它为存在，则称它为X的的k阶阶中心矩中心矩，记为，记为（3）若）若存在，存在，则称则称它为它为k+l阶混合中心矩阶混合中心矩。由由定义可知，定义可知，X的数学期望的数学期望E(X)就是就是X的一阶原的一阶原点矩，方差点矩，方差D(X)是是X的二阶中心矩，而的二阶中心矩，而(X，Y)的的协方差协方差cov(X,Y)是二阶混合中心矩。是二阶混合中心矩。例例1 设随机变量设随机变量X服从正态分布服从

2、正态分布中心矩中心矩求求它的它的解解已知，已知，因此因此令令则则此此广义积分绝对广义积分绝对 收敛。当收敛。当k为奇数时为奇数时当当k为偶数时，令为偶数时，令则则特别，当特别，当k=4时时 不不难难知道，如果随机变量的概率分布关于期望值知道，如果随机变量的概率分布关于期望值是对称的，则它的一切奇数阶中心矩都等于零。是对称的，则它的一切奇数阶中心矩都等于零。四阶中心矩可以描述随机变量分布的尖峭程度，通四阶中心矩可以描述随机变量分布的尖峭程度，通常用常用 来度量分布的尖峭程度，称来度量分布的尖峭程度，称它为它为峰态系数峰态系数，简称为，简称为峰态峰态。正态分布的偏态和峰。正态分布的偏态和峰态都等于

3、零。态都等于零。一般地，奇数阶中心矩可以描述随机变量分布一般地，奇数阶中心矩可以描述随机变量分布的非对称性。通常用的非对称性。通常用 来度量随机来度量随机变量分布的非对称性，称它为变量分布的非对称性，称它为偏态系数偏态系数，简称，简称为为偏态偏态。4.5.2.协方差矩阵协方差矩阵定义定义4.7 设设 是是n维随机变量，若维随机变量，若存在，记存在，记则称则称矩阵矩阵为为n维随机变量维随机变量X的协方差矩阵的协方差矩阵 显然，协方差矩阵是一个对称矩阵，而且，它是显然，协方差矩阵是一个对称矩阵，而且，它是半正定矩阵，当半正定矩阵，当i0(i=1,2,n)时它是时它是正定矩阵正定矩阵。对于二维随机变量对于二维随机变量(X,Y)(X,Y)的协方差矩阵为的协方差矩阵为例例2 设设试求其试求其协方差矩阵。协方差矩阵。解解 已经求得已经求得 于是于是例例3 设设解解 由协方差的定义可知由协方差的定义可知