1 微分方程的定义.ppt

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1、Chapter 7 Chapter 7 常微分方程常微分方程Ordinary Differential Equation函数本身未知，一些变数对另一些变数的依函数本身未知，一些变数对另一些变数的依存规律也是未知的。存规律也是未知的。不同于微分学中的问题：不同于微分学中的问题：微分方程微分方程(Differential Equation)Differential Equation)理论发展于理论发展于1717世纪，对于数学，特别是数学的应用，它所世纪，对于数学，特别是数学的应用，它所具有的具有的重要意义重要意义：很多物理问题与技术问题的很多物理问题与技术问题的研究可以化为微分方程的求解问题。研究

2、可以化为微分方程的求解问题。微分方程理论在微分方程理论在力学、物理学、天文学力学、物理学、天文学等自然等自然科学与级数科学的各领域，甚至科学与级数科学的各领域，甚至生物学、医学、生物学、医学、经济学经济学等社会科学领域中有广泛应用，成为解等社会科学领域中有广泛应用，成为解决工程实际问题的强有力的工具。决工程实际问题的强有力的工具。例如：电子计算机于无线电装置的计算，弹道例如：电子计算机于无线电装置的计算，弹道的计算，飞机在飞行中的稳定性的研究，人口的计算，飞机在飞行中的稳定性的研究，人口控制等问题。控制等问题。n基本概念；基本概念；n可分离变量的方程；可分离变量的方程；n一阶线性方程；一阶线性

3、方程；n可解出导数的一阶隐式方程；可解出导数的一阶隐式方程；n可降阶的二阶微分方程；可降阶的二阶微分方程；n常系数二阶线性齐次微分方程的解法；常系数二阶线性齐次微分方程的解法；n常系数二阶线性非齐次微分方程的解法；常系数二阶线性非齐次微分方程的解法；n用常数变易法求解二阶线性非齐次方程；用常数变易法求解二阶线性非齐次方程；n常系数线性微分方程组。常系数线性微分方程组。1 1 基本概念基本概念n问题的提出；问题的提出；n微分方程的定义。微分方程的定义。一一.问题的提出问题的提出解解例例2.2.列车在平直路上以列车在平直路上以的速度行驶的速度行驶,制动时制动时获得加速度获得加速度求制动后列车的运动

4、规律求制动后列车的运动规律.解解:设列车在制动后设列车在制动后 t 秒行驶了秒行驶了s 米米,已知已知由前一式两次积分由前一式两次积分,可得可得利用后两式可得利用后两式可得因此所求运动规律为因此所求运动规律为说明说明:利用这一规律可求出制动后多少时间列车才利用这一规律可求出制动后多少时间列车才能停住能停住,以及制动后行驶了多少路程以及制动后行驶了多少路程.即求即求 s=s(t).微分方程问题主要来源于微分方程问题主要来源于几何学几何学，力学力学和和物理学物理学，但现在应用于自然科学和工程技术的各个领域，但现在应用于自然科学和工程技术的各个领域，包括生物，医学，经济学等。包括生物，医学，经济学等

5、。常微分方程常微分方程偏微分方程偏微分方程含未知函数及其导数或微分的方程叫做含未知函数及其导数或微分的方程叫做微分方程微分方程.方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的的阶阶.(本章内容本章内容)分类分类二二.微分方程的定义微分方程的定义常微分方程常微分方程(Ordinary Differential EquationOrdinary Differential Equation)定义定义1 1(n 阶阶显式显式微分方程微分方程)一般地一般地,n 阶常微分方程的形式是阶常微分方程的形式是或或当未知函数是多元函数时，微分方程称为偏微分当未知函数是多

6、元函数时，微分方程称为偏微分方程方程(Partial Differential EquationPartial Differential Equation)PDE)PDE一阶常微方程一阶常微方程二阶常微方程二阶常微方程一阶偏微方程一阶偏微方程二阶偏微方程二阶偏微方程一阶微分方程一阶微分方程高阶高阶(n n)微分方程微分方程实质实质:联系联系自变量自变量,未知函数未知函数以及未知函数的某以及未知函数的某些些导数导数(或微分或微分)之间的关系式之间的关系式.线性与非线性微分方程线性与非线性微分方程.定义定义2 2 定义3微分方程的解的分类：微分方程的解的分类：(1)(1)通解通解(general

7、solution):):微分方程的解中微分方程的解中含有任意常数含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的且任意常数的个数与微分方程的阶数相同阶数相同.通解有时也写成隐函数的形式通解有时也写成隐函数的形式称为称为通积分通积分(general integral)general integral)(2)(2)特解特解(special solution):special solution):确定了通解中任确定了通解中任意常数以后的解意常数以后的解.解的图象解的图象:微分方程的积分曲线微分方程的积分曲线.通解的图象通解的图象:积分曲线族积分曲线族.初始条件初始条件:用来确定任意常数的条件用来确定任意常

8、数的条件.过定点的积分曲线过定点的积分曲线;一阶一阶:二阶二阶:初值问题初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题求微分方程满足初始条件的解的问题.例例2例例1 通解通解:特解特解:例例3.验证函数验证函数是微分方程是微分方程的解的解,的特解的特解.解解:这说明这说明是方程的解是方程的解.是两个独立的任意常数是两个独立的任意常数,利用初始条件易得利用初始条件易得:故所求故所求特解特解为为故它是方程的故它是方程的通解通解.并求满足初始条件并求满足初始条件 定义定义3 3 微分方程不恒等于零的解成为方程的微分方程不恒等于零的解成为方程的非非零解零解，或，或非平凡解非平凡解。微分方程的初等解法微分方程的初等解法:初等积分法初等积分法.求解微分方程求解微分方程求积分求积分(通解可用初等函数或积分表示出来通解可用初等函数或积分表示出来)hw：p263 5,6.