复变函数课件6-7拉普拉斯方程的边值问题.ppt

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1、第七节 拉普拉斯方程的边值问题一、问题的提出二、定理三、应用举例四、小结与思考1一、问题的提出一、问题的提出问题问题:调和，并且在区域的边界上满足已知条件调和，并且在区域的边界上满足已知条件.1.对于简单区域可从某些熟知的解析函数直接求解对于简单区域可从某些熟知的解析函数直接求解.2.对于复杂区域可通过一适当的共形映射将其变对于复杂区域可通过一适当的共形映射将其变为简单区域为简单区域,再求解再求解.解决方法解决方法:求一个二元实变函数，使其在已知区域中求一个二元实变函数，使其在已知区域中2二、定理二、定理拉普拉斯拉普拉斯3证证4以上两式相加以上两式相加,化简得化简得同样可得同样可得:5证毕证毕

2、6例例 一块金属薄板吻合于一块金属薄板吻合于z平面中的第一象限平面中的第一象限,上上下均绝缘下均绝缘,因此热流严格限制在平面内因此热流严格限制在平面内.如果边如果边界上的温度分布如图示界上的温度分布如图示,求金属板上定常的温度求金属板上定常的温度分布分布.三、应用举例三、应用举例7解解 所求的定常温度分布所求的定常温度分布T必满足拉普拉斯方程必满足拉普拉斯方程且满足第一象限边界上的条件且满足第一象限边界上的条件.限映射成限映射成 w平面中的上半平面平面中的上半平面.w在实轴在实轴上上4的右边的右边:8当当w取实数时取实数时,取得边值取得边值.9的虚部的虚部,可看作是函数可看作是函数 此函数在上半平面处处解析此函数在上半平面处处解析.10即为拉普拉斯方程在即为拉普拉斯方程在w平面中的解平面中的解.变形后得变形后得原问题的解为原问题的解为11四、小结与思考四、小结与思考 拉普拉斯方程的边值问题常见于许多物理拉普拉斯方程的边值问题常见于许多物理应用之中应用之中.放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出.12