5.4实对称矩阵对角化.ppt

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1、5.4实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化一、对称矩阵的性质一、对称矩阵的性质(4个个Th)二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法一、对称矩阵性质一、对称矩阵性质定理定理1:1:实对称矩阵的特征值为实数实对称矩阵的特征值为实数.定理定理1 1的意义：的意义：证明证明它们的重数依次为它们的重数依次为由定理由定理1（对称矩阵的特征值为实数对称矩阵的特征值为实数）和定理）和定理3得：得：设设 的互不相等的特征值为的互不相等的特征值为由定理由定理2知知对应于不同特征值的特征向量正交对应于不同特征值的特征向量正交，这样的特征向量共可得这样的特征向量共可得 个个.故这

2、故这 个单位特征向量两两正交个单位特征向量两两正交.以它们为列向量构成正交矩阵以它们为列向量构成正交矩阵 ，则则根据上述结论，利用正交矩阵根据上述结论，利用正交矩阵P P将对称矩阵将对称矩阵A A化化为对角矩阵，其步骤为对角矩阵，其步骤为：为：二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法将特征向量正交化将特征向量正交化;3.单位化单位化.2.1.即得正交可逆阵即得正交可逆阵P和对角阵和对角阵.4.解解例例 1实对称阵实对称阵A，求正交矩阵，求正交矩阵 ，使，使 为对角阵为对角阵.(1)第一步第一步 求求 的特征值的特征值解之得基础解系解之得基础解系 解之得基础解

3、系解之得基础解系解之得基础解系解之得基础解系第三步第三步 将特征向量正交单位化将特征向量正交单位化解解 由由例例2 2设设例例3 3解解1.对称矩阵的性质：对称矩阵的性质：三、小结三、小结 (1)(1)特征值为实数；特征值为实数；(2)(2)属于不同特征值的特征向量正交；属于不同特征值的特征向量正交；(3)(3)特征值的重数和与之对应的线性无关的特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等；特征向量的个数相等；(4)(4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，且对角矩阵对角元素即为特征值且对角矩阵对角元素即为特征值2.利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：(1)求特征值；求特征值；(2)找特征向量；找特征向量；(3)将特征向将特征向量单位化量单位化正交化正交化；(4)得正交阵和对角阵得正交阵和对角阵