第二章 求方程根的近似方法.ppt

《第二章 求方程根的近似方法.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第二章 求方程根的近似方法.ppt（19页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、 f(x)=0=0的根的根(或或f(x)的零点的零点)，当，当f(x)复杂时，很难求复杂时，很难求（需要找到有效简单的近似方法去求）。（需要找到有效简单的近似方法去求）。第二章第二章 求方程根的近似方法求方程根的近似方法2.1 2.1 二分法二分法理理 论论:f(x)Ca,b,Ca,b,单调单调,f(a)f(b)0 0 f(x)=0=0在在(a,b)(a,b)中有惟一根。中有惟一根。abx1x2ab何时停下来?或或不能保证不能保证 x 的精度的精度x*2xx*解解：f(1)=-50 -(1,2)+x1=1.5 f(1.5)0 (1,1.5)x2=1.25 f(1.25)0 (1.25,1.37

2、5)x4=1.313 f(1.313)0 (1.313,1.375)x5=1.344 f(1.344)0 (1.344,1.375)x6=1.360 f(1.360)0 (1.360,1.368)x8=1.364 例例2.1.12.1.1 用二分法求用二分法求 在在(1,2)(1,2)内内 的根，要求绝对误差不超过的根，要求绝对误差不超过，则则 （事后估计事后估计）误差误差 分析：分析：第第1步产生的步产生的有有误差误差第第 k 步产生的步产生的 xk 有有误差误差对于给定的精度对于给定的精度 ,可估计二分法所需的步数可估计二分法所需的步数 k：缺点：收敛速度慢，缺点：收敛速度慢，不易求偶数重

3、根不易求偶数重根.如图如图注：注：注：注：用二分法求根，最好先给出用二分法求根，最好先给出 f(x)草图以确定根的大草图以确定根的大概位置。或用搜索程序，将概位置。或用搜索程序，将a,b分为若干小区间，对每分为若干小区间，对每一个满足一个满足 f(ak)f(bk)0 的区间调用二分法程序，可找的区间调用二分法程序，可找出区间出区间a,b内的多个根，且不必要求内的多个根，且不必要求 f(a)f(b)0。yx优点：条件和方法简单优点：条件和方法简单(只要求只要求f(x)连续即可连续即可)，方法收敛；，方法收敛；一一.迭代法的建立与收敛性迭代法的建立与收敛性所以所以,为为f的根的充要条件是的根的充要

4、条件是 为为 的不动点。的不动点。2.2 2.2 迭代法迭代法前者收敛前者收敛：1.5;1.35721;1.33086;1.32588;1.32494;1.32476;1.32473;1.32472;1.32472;后者发散后者发散:1.5;2.375;12.39;问题：何时收敛？问题：何时收敛？xyy=xxyy=xxyy=xxyy=x y=(x)y=(x)y=(x)y=(x)x0p0 x1p1 x0p0 x1p1 x0p0 x1p1x0p0 x1p12.2.收敛定理收敛定理定理定理2.2.12.2.1注1：L L越小，收敛越快。越小，收敛越快。由定理结论由定理结论(3)(3)或或(2.2.2

5、)(2.2.2)，只要前后两次迭代值的差值足，只要前后两次迭代值的差值足 够小，就可使近似值够小，就可使近似值 达到任意的精度。在实际计算达到任意的精度。在实际计算 中，一般用中，一般用 来控制迭代过程结束来控制迭代过程结束。注注2 2：定理条件非必要条件，可将定理条件非必要条件，可将a,b缩小，定义缩小，定义局部收敛性局部收敛性：定义定义2.2.1 若存在若存在 的某的某 邻域邻域 B =x|x|,使使由由 x0 B 开始的迭代都收敛开始的迭代都收敛,则称迭代法具有则称迭代法具有局部收敛性局部收敛性。定理定理2.2.2 设设(x)在在 的某的某 邻域内具有连续的一阶导数，邻域内具有连续的一阶

6、导数，且且|()|1，则迭代法则迭代法xn+1=(xn)具有局部收敛性具有局部收敛性。证明证明 省略省略。3 3编程停机判断编程停机判断时，由（时，由（2.2.22.2.2）式知）式知 比较小，此时停机，比较小，此时停机，（取定初值（取定初值x0）计算，当计算，当 由由二二.迭代法的收敛阶迭代法的收敛阶(收敛速度收敛速度)则称则称xn p阶收敛阶收敛,相应的迭代法称为相应的迭代法称为p阶方法阶方法.特别特别,p=1=1时叫线性收敛时叫线性收敛,此时要求此时要求00C1;0,0,使使 定义定义2.2.22.2.2:设设定理定理2.2.32.2.3 设设(x)在在 的某邻域的某邻域 内有充分多阶连

7、续内有充分多阶连续导数，则迭代法导数，则迭代法xn+1=(xn)为为p阶收敛阶收敛的充要条件是的充要条件是 ()=()=(p-1)()=0，(p)()0.证明证明 利用利用Taylor展开式（略）展开式（略）2.32.3牛顿（牛顿（NewtonNewton）法法TaylorTaylor展开线性化展开线性化近似于近似于 将将f(x)在在xn点点TaylorTaylor展开展开 解出解出 记为记为，则则一一.Newton Newton 迭代法迭代法 1.1.迭代公式的建立：迭代公式的建立：2.Newton2.Newton迭代法的几何意义迭代法的几何意义 与与 求交点，解出求交点，解出 ,则则 的切

8、线的切线 过过3.Newton3.Newton迭代法的收敛定理（迭代法的收敛定理（定理定理 2.3.12.3.1）（1 1）连续，且分别不变号；连续，且分别不变号；则则 Newton Newton 迭代法（迭代法（2.12.1）产生的数列）产生的数列收敛到根收敛到根。在在 a,b 上有根上有根,且且在在 a,b 上上满足满足设设 ,使使（2 2）取初值取初值 解：设解：设取取，则由（，则由（2.12.1）例例2.3.12.3.1用用 Newton Newton 迭代法求迭代法求4 4.Newton.Newton迭代法的收敛阶迭代法的收敛阶(收敛速度收敛速度)（定理定理 2.3.22.3.2）在在 a,b 有单根有单根，且，且 在在 a,b 上有上有设设直到二阶的连续导数。直到二阶的连续导数。本章基本要求：本章基本要求：1.熟悉区间二分法；熟悉区间二分法；2.2.熟悉迭代法的建立，会使用收敛定理；熟悉迭代法的建立，会使用收敛定理；3.3.熟悉熟悉NewtonNewton迭代法及其几何意义迭代法及其几何意义;4.4.熟悉收敛阶的定义；熟悉收敛阶的定义；5.5.熟悉熟悉NewtonNewton迭代法的收敛阶迭代法的收敛阶;