第5章_有旋流动和无旋流动-授课8.ppt

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1、第第5章章_有旋流动和无旋流动有旋流动和无旋流动1 在许多工程实际问题中，流动参数不仅在流动方向在许多工程实际问题中，流动参数不仅在流动方向上发生变化，而且在垂直于流动方向的横截面上也上发生变化，而且在垂直于流动方向的横截面上也要发生变化。要研究此类问题，就要用多维流的分要发生变化。要研究此类问题，就要用多维流的分析方法。本章主要讨论理想流体多维流动的基本规析方法。本章主要讨论理想流体多维流动的基本规律，为解决工程实际中类似的问题提供理论依据，律，为解决工程实际中类似的问题提供理论依据，也为进一步研究粘性流体多维流动奠定必要的基础。也为进一步研究粘性流体多维流动奠定必要的基础。2 流体由于具有

2、易变形的特性（易流动性），因此流体流体由于具有易变形的特性（易流动性），因此流体的运动要比工程力学中的刚体的运动复杂得多。的运动要比工程力学中的刚体的运动复杂得多。在流体运动中，有旋流动和无旋流动是流体运动的两在流体运动中，有旋流动和无旋流动是流体运动的两种类型。由流体微团运动分析可知，有旋流动是指流体微种类型。由流体微团运动分析可知，有旋流动是指流体微团旋转角速度团旋转角速度 的流动，无旋流动是指的流动，无旋流动是指 的流动。的流动。实际上，黏性流体的流动大多数是有旋流动，而且有实际上，黏性流体的流动大多数是有旋流动，而且有时是以明显的旋涡形式出现的，如桥墩背流面的旋涡区，时是以明显的旋涡形

3、式出现的，如桥墩背流面的旋涡区，船只运动时船尾后形成的旋涡，大气中形成的龙卷风等等。船只运动时船尾后形成的旋涡，大气中形成的龙卷风等等。但在更多的情况下，流体运动的有旋性并不是一眼就但在更多的情况下，流体运动的有旋性并不是一眼就能看得出来的，如当流体绕流物体时，在物体表面附近形能看得出来的，如当流体绕流物体时，在物体表面附近形成的速度梯度很大的薄层内，每一点都有旋涡，而这些旋成的速度梯度很大的薄层内，每一点都有旋涡，而这些旋涡肉眼却是观察不到的。涡肉眼却是观察不到的。至于工程中大量存在着的紊流运动，更是充满着尺度至于工程中大量存在着的紊流运动，更是充满着尺度不同的大小旋涡。不同的大小旋涡。3

4、流体的无旋流动虽然在工程上出现得较少，但无旋流动比有旋流动在数学处理上简单得多，因此，对二维平面势流在理论研究方面较成熟。对工程中的某些问题，在特定条件下对黏性较小的流体运动进行无旋处理，用势流理论去研究其运动规律，特别是绕流物体的流动规律，对工程实践具有指导意义和应用价值。因此，本章先阐述有旋流动的基本概念及基本性质，然后再介绍二维平面势流理论。4基本要求基本要求 了解有旋流动和无旋流动的定义，理解速度环量和旋涡强度的概念，掌握了解有旋流动和无旋流动的定义，理解速度环量和旋涡强度的概念，掌握速度势函数、流函数及两者关系，掌握几种基本的平面有势流动和有势流动速度势函数、流函数及两者关系，掌握几

5、种基本的平面有势流动和有势流动的叠加原理及其应用的叠加原理及其应用三、重点和难点三、重点和难点重点：速度环量和旋涡强度的概念，速度势函数、流函数重点：速度环量和旋涡强度的概念，速度势函数、流函数,有势流动的叠加有势流动的叠加难点：有势流动的叠加难点：有势流动的叠加5第一节第一节 有旋流动有旋流动 一、涡线、涡管、涡束一、涡线、涡管、涡束在有旋流动流场的全部或局部区域中连续地充满在有旋流动流场的全部或局部区域中连续地充满着绕自身轴线旋转的流体微团，于是形成了一个着绕自身轴线旋转的流体微团，于是形成了一个用角速度用角速度 表示的涡量场（或称角速度场）。表示的涡量场（或称角速度场）。流线流管流束流量

6、涡线涡管涡束涡通量6自然界中流体的流动绝大多数是有旋的自然界中流体的流动绝大多数是有旋的v大气中的旋风、龙卷风，桥墩后的涡旋区；大气中的旋风、龙卷风，桥墩后的涡旋区；v行进中的船舶后的尾涡区；行进中的船舶后的尾涡区；v充满微小涡旋的紊流流动；充满微小涡旋的紊流流动；v物体表面充满微小涡旋的边界层流动；物体表面充满微小涡旋的边界层流动；v叶轮机械内流体的涡旋运动。叶轮机械内流体的涡旋运动。7l流体微团流体微团旋转角速度旋转角速度的矢量表示的矢量表示l更普遍地用更普遍地用涡量涡量来描述流体微团的旋转运动来描述流体微团的旋转运动n涡量的定义涡量的定义n充满涡量的流场称为充满涡量的流场称为涡量场涡量场

7、8过程装备与控制工程教研室过程装备与控制工程教研室有旋运动的基本特征有旋运动的基本特征有旋运动的基本特征有旋运动的基本特征:存在涡量场，其涡量为存在涡量场，其涡量为存在涡量场，其涡量为存在涡量场，其涡量为 9涡线是一条曲线，在给定瞬时涡线是一条曲线，在给定瞬时t t，这条曲线上每一点的切，这条曲线上每一点的切线与位于该点的流体微团的角速度的方向相重合，所以涡线与位于该点的流体微团的角速度的方向相重合，所以涡线也就是沿曲线各流体微团的瞬时转动轴线。线也就是沿曲线各流体微团的瞬时转动轴线。根据涡通量矢量与涡线相切的条件，涡线的根据涡通量矢量与涡线相切的条件，涡线的微分方程为微分方程为:1 1、涡涡

8、涡涡线线线线 (Vortex(Vortex line):line):任任一一时时刻刻，涡涡线线上上每每一一点点的的切切向向量量都都与与该该点的涡向量相切。点的涡向量相切。积分时时间变量积分时时间变量t 作常数处理。作常数处理。102.涡管涡管 涡束涡束在给定瞬时，在涡量在给定瞬时，在涡量场中任取一不是涡线场中任取一不是涡线的封闭曲线，通过封的封闭曲线，通过封闭曲线上每一点作涡闭曲线上每一点作涡线，这些涡线形成一线，这些涡线形成一个管状表面，称为个管状表面，称为涡涡管管。涡管中充满着作。涡管中充满着作旋转运动的流体，称旋转运动的流体，称为为涡束涡束。涡管涡管涡管涡管涡管涡管(vortex tub

9、e)(vortex tube):某一时刻，由涡线组成的管状曲某一时刻，由涡线组成的管状曲某一时刻，由涡线组成的管状曲某一时刻，由涡线组成的管状曲面。截面积无限小的涡管称为涡束（涡线）。面。截面积无限小的涡管称为涡束（涡线）。面。截面积无限小的涡管称为涡束（涡线）。面。截面积无限小的涡管称为涡束（涡线）。11旋旋涡强度（涡通量）涡强度（涡通量）在涡量场中取一微元面积在涡量场中取一微元面积dAdA，其上其上流体微团的涡量为流体微团的涡量为 ，为为dAdA的的外法线方向，定义外法线方向，定义 为任意微元面积为任意微元面积dAdA上的旋上的旋涡强度，也称涡通量。涡强度，也称涡通量。任意面积任意面积A

10、A上的旋上的旋涡强度为：涡强度为：如果面积如果面积A A是涡束的某一横截面积，就称为涡束旋涡强度，是涡束的某一横截面积，就称为涡束旋涡强度，它也是旋转角速度矢量的通量。旋涡强度不仅取决于它也是旋转角速度矢量的通量。旋涡强度不仅取决于w w，而且，而且取决于面积取决于面积A A。涡通量涡通量3旋旋涡强度（涡通量）涡强度（涡通量）(vortex(vortex flowrateflowrate):涡量场的通量（涡强）。涡量场的通量（涡强）。12二、速度环量二、速度环量(velocity(velocity circulation):circulation):u 涡通量和流体微团的角速度不能直接测得。涡

11、通量和流体微团的角速度不能直接测得。u 实际观察发现，在有旋流动中流体环绕某实际观察发现，在有旋流动中流体环绕某一一 核心旋转，涡通量越大，旋转速度越快，旋核心旋转，涡通量越大，旋转速度越快，旋转范围越扩大。转范围越扩大。u 可以推测，涡通量与环绕核心的流体中的速度可以推测，涡通量与环绕核心的流体中的速度分布有密切关系。分布有密切关系。13 速度环量速度环量：速度在某一封闭周线切线上：速度在某一封闭周线切线上的分量沿该封闭周线的线积分。的分量沿该封闭周线的线积分。速度环量是一代数量，它的正负与速度的方向和线速度环量是一代数量，它的正负与速度的方向和线积分的绕行方向有关。积分的绕行方向有关。对非

12、定常流动，速度环量是一个对非定常流动，速度环量是一个瞬时的概念，应根据同一瞬时曲线上各点的速度计算，瞬时的概念，应根据同一瞬时曲线上各点的速度计算，积分时为参变量。积分时为参变量。14规定规定:沿封闭周线绕行的正方向为沿封闭周线绕行的正方向为逆时针方向逆时针方向，即封闭周线，即封闭周线所包围的面积总在前进方向的左侧；被包围面积的法线的所包围的面积总在前进方向的左侧；被包围面积的法线的正方向应与绕行的正方向形成正方向应与绕行的正方向形成右手螺旋系统右手螺旋系统。速度环量速度环量15当速度方向与线积分方向同向时取正，反向时取负。若是封闭周线，逆时针为正，顺时针为负。16 例：不可压缩流体平面流动的

13、速度分布为 ，求绕圆 的速度环量。17解：积分路径在圆上，有181 1、速度环量定理（、速度环量定理（、速度环量定理（、速度环量定理（StokesStokes定理）定理）定理）定理）沿任意封闭周线的速度环量等于该周线所包围的面积的涡通量。即：沿任意封闭周线的速度环量等于该周线所包围的面积的涡通量。即：沿任意封闭周线的速度环量等于该周线所包围的面积的涡通量。即：沿任意封闭周线的速度环量等于该周线所包围的面积的涡通量。即：涡通量和速度环量都是反映旋涡作用的强弱。涡通量和速度环量都是反映旋涡作用的强弱。涡通量和速度环量都是反映旋涡作用的强弱。涡通量和速度环量都是反映旋涡作用的强弱。三、三、Stoke

14、s定理定理19ABCD从从A点起逆时针方向积点起逆时针方向积分，可以得到分，可以得到微分形式的速度环量为微分形式的速度环量为2 2、StokesStokes定理推导定理推导定理推导定理推导20将各点速度代入，并忽略高将各点速度代入，并忽略高阶小量，得到阶小量，得到ABCD21l1、单连通区域、单连通区域区域内任一条封闭周线都能连续地收缩成一点而不越出流区域内任一条封闭周线都能连续地收缩成一点而不越出流体的边界。这种区域称为体的边界。这种区域称为单连通区域单连通区域。否则，称为。否则，称为多连通多连通区域区域。222、对多连通域：、对多连通域：通过多连通区域的涡通量等于沿这个区通过多连通区域的涡

15、通量等于沿这个区域的外周线的速度环量与沿所有内周线的速域的外周线的速度环量与沿所有内周线的速度环量总和之差。度环量总和之差。23【例例2】一个以角速度一个以角速度 按反时针方向作像刚体一样的旋转按反时针方向作像刚体一样的旋转的流动，如的流动，如图图所示。试求在这个流场中沿封闭曲线的速度所示。试求在这个流场中沿封闭曲线的速度环量，并证明它是有旋流动环量，并证明它是有旋流动.解解:在流场中对应于任意两个半在流场中对应于任意两个半径径 r1和和r2的圆周速度各为的圆周速度各为 和和 ，沿图中画斜线扇形部，沿图中画斜线扇形部分的周界分的周界ABCDA的速度环量的速度环量24【解解】在流场中对应于任意两

16、个半径在流场中对应于任意两个半径 和和 的圆周的圆周速度各为速度各为 和和 ，沿图中画斜线扇形部，沿图中画斜线扇形部分的周界分的周界ABCDA的速度环量的速度环量 可见，在这个区域内是有旋流动。又由于扇形面可见，在这个区域内是有旋流动。又由于扇形面积积 于是于是 上式正是斯托克斯定理的一个例证。上式正是斯托克斯定理的一个例证。以上结论可推广适用于圆内任意区域内。以上结论可推广适用于圆内任意区域内。25【例例3】一个流体绕O点作同心圆的平面流动，流场中各点的圆周速度的大小与该点半径成反比，即 ，其中C为常数，如图所示。试求在流场中沿封闭曲线的速度环量，并分析它的流动情况。(解)26 【解解】沿扇

17、形面积周界的速度环量沿扇形面积周界的速度环量 可见，在这区域内是无旋流动。这结论可推广适用于任何可见，在这区域内是无旋流动。这结论可推广适用于任何不包围圆心不包围圆心O的区域内，例如的区域内，例如 。若包有圆心。若包有圆心()，该处速度等于无限大，应作例外来处理。现在求沿半径该处速度等于无限大，应作例外来处理。现在求沿半径 的圆周封闭曲线的速度环量的圆周封闭曲线的速度环量 上式说明，绕任何一个圆周的流场中，速度环量都不上式说明，绕任何一个圆周的流场中，速度环量都不等于零，并保持一个常数，所以是有旋流动。但凡是绕不等于零，并保持一个常数，所以是有旋流动。但凡是绕不包括圆心在内的任何圆周的速度环量

18、必等于零，故在圆心包括圆心在内的任何圆周的速度环量必等于零，故在圆心O点处必有旋涡存在，圆心是一个孤立涡点，称为奇点。点处必有旋涡存在，圆心是一个孤立涡点，称为奇点。返回例题返回例题返回例题返回例题27第二节第二节 汤姆孙定理汤姆孙定理 亥姆霍兹旋涡定理亥姆霍兹旋涡定理一、汤姆孙（一、汤姆孙（W.Thomson）定理）定理（开尔文定理）（开尔文定理）对于非粘性的不可压缩流体和可压缩正压流体，对于非粘性的不可压缩流体和可压缩正压流体，在有势质量力作用下速度环量和旋涡都是不能自在有势质量力作用下速度环量和旋涡都是不能自行产生、也是不能自行消灭的。行产生、也是不能自行消灭的。正压性的理想流体在有势的

19、质量力作用下沿正压性的理想流体在有势的质量力作用下沿任何由流体质点所组成的封闭周线的速度环任何由流体质点所组成的封闭周线的速度环量不随时间而变化。量不随时间而变化。28v正压流体正压流体 v内部任一点的内部任一点的压力压力只是只是密度密度的函数的流体。的函数的流体。v斜压流体斜压流体v 若流体压力不仅是密度的函数，而且还和其他热力学参量（例如若流体压力不仅是密度的函数，而且还和其他热力学参量（例如温度等）有关，则称为斜压流体。温度等）有关，则称为斜压流体。v 广义地说，正压流体是其力学特性与热学特性无关的流体。广义地说，正压流体是其力学特性与热学特性无关的流体。v v 证明证明流体力学流体力学

20、中一些重要定理（见中一些重要定理（见开尔文定理开尔文定理，亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理，伯伯努利定理努利定理）时，常需假设流体满足正压条件。例如可以证明，若流体是）时，常需假设流体满足正压条件。例如可以证明，若流体是理想、正压且所受力是有势的理想、正压且所受力是有势的,则流体中的涡旋既不能产生则流体中的涡旋既不能产生,也不能消灭。也不能消灭。由此可知，正压条件是判别流体中是否有涡旋的一个重要依。由此可知，正压条件是判别流体中是否有涡旋的一个重要依。v29v流体一般可以看作是一个平衡的热力学系统，它可以用包含热力学状态流体一般可以看作是一个平衡的热力学系统，它可以用包含热力学状态参量的状态方程参量的

21、状态方程p(,T)来描述。来描述。v理想气体的状态方程是理想气体的状态方程是pRT,式中式中p为压力；为压力；为密度；为密度；T为热力学温度；为热力学温度；R为气体常数。为气体常数。v在一些特定条件下，状态方程可简化为在一些特定条件下，状态方程可简化为p()形式。例如，形式。例如，v 不可压缩流体不可压缩流体(p)常数；常数；v 等温的运动过程等温的运动过程pC；v等熵的运动过程等熵的运动过程pC，式中，式中C为常数；为常数；为比热比。为比热比。v 在这些情况下，流体压力都只和密度有关，而和温度无关，因此它在这些情况下，流体压力都只和密度有关，而和温度无关，因此它们是正压流体。们是正压流体。v

22、30证明证明 ：在流场中任取一由流体质点组成的封闭周线在流场中任取一由流体质点组成的封闭周线K K，它，它随流体的运动而移动变形，但组成该线的流体质点不变。随流体的运动而移动变形，但组成该线的流体质点不变。沿该线的速度环量可表示为式沿该线的速度环量可表示为式它随时间的变化率为：它随时间的变化率为：31由于质点线由于质点线K始终由同样的流体质点组成，始终由同样的流体质点组成，将其代入上式等号右端第一项积分式：将其代入上式等号右端第一项积分式：32由理想流体的欧拉运动微分方程，等号右端第二项积分式可表由理想流体的欧拉运动微分方程，等号右端第二项积分式可表示为示为:将上面的结果代入积分式将上面的结果

23、代入积分式，并考虑到并考虑到 都是单值连续都是单值连续函数，得函数，得:33斯托克斯定理和汤姆孙定理表明，理想正压性流体在斯托克斯定理和汤姆孙定理表明，理想正压性流体在有势的质量力作用下，涡旋不会自行产生，也不会自行消有势的质量力作用下，涡旋不会自行产生，也不会自行消失。失。34小结：汤姆孙定理小结：汤姆孙定理正压的理想流体在有势的质量力作用下沿任何由流体质正压的理想流体在有势的质量力作用下沿任何由流体质点组成的封闭周线的速度环量不随时间变化；点组成的封闭周线的速度环量不随时间变化；正压的理想流体在有势的质量力作用下，速度环量和涡正压的理想流体在有势的质量力作用下，速度环量和涡旋不能自行产生，

24、也不能自行消失。旋不能自行产生，也不能自行消失。35汤姆孙定理解释：汤姆孙定理解释：v理想流体无粘性，不存在切应力，不能传递旋转运动理想流体无粘性，不存在切应力，不能传递旋转运动；v既不能使不旋转的流体微团旋转，也不能使旋转的流既不能使不旋转的流体微团旋转，也不能使旋转的流体微团停止旋转体微团停止旋转；v流场中原来有涡旋和速度环量的，将保持有涡旋和速流场中原来有涡旋和速度环量的，将保持有涡旋和速度环量；原来没有涡旋和速度环量的，就永远没有涡度环量；原来没有涡旋和速度环量的，就永远没有涡旋和速度环量旋和速度环量；v流场中也会出现没有速度环量但有涡旋的情况，此时流场中也会出现没有速度环量但有涡旋的

25、情况，此时涡旋是成对出现的，每对涡旋的强度相等而旋转方向涡旋是成对出现的，每对涡旋的强度相等而旋转方向相反相反。361、亥姆霍兹第一定理、亥姆霍兹第一定理v在同一瞬时涡管各截面上的涡通量相同。在同一瞬时涡管各截面上的涡通量相同。v涡管在流体中既不能开始，也不能终止，只能是自成封闭的管圈，涡管在流体中既不能开始，也不能终止，只能是自成封闭的管圈，或在边界上开始、终止。或在边界上开始、终止。二、旋涡的基本性质：二、旋涡的基本性质：37同一涡管上的两截面同一涡管上的两截面 在同一涡管上任取两截面在同一涡管上任取两截面A1、A2，在，在A1、A2之间的涡管表面之间的涡管表面上取两条无限靠近的线段上取两

26、条无限靠近的线段a1a2和和b1b2。由于封闭周线。由于封闭周线a1a2b1b2a1所围成的涡管表面无涡线通过，旋涡强度为零。所围成的涡管表面无涡线通过，旋涡强度为零。根据斯托克斯定理，沿封闭周线的速度环量等于零，即：根据斯托克斯定理，沿封闭周线的速度环量等于零，即：38由于由于 而而 ，该定理说明，在理想正压性流体中，涡管既不能开始，该定理说明，在理想正压性流体中，涡管既不能开始，也不能终止。但可以自成封闭的环形涡管，或开始于边界、也不能终止。但可以自成封闭的环形涡管，或开始于边界、终止于边界。终止于边界。涡管的存在涡管的存在自成封闭的管圈自成封闭的管圈起于边界、终于边界起于边界、终于边界3

27、9涡管不可能在流体中开始或终止，它只能自成封闭形，涡管不可能在流体中开始或终止，它只能自成封闭形，或开始、终止于边界面或伸展到无穷远。或开始、终止于边界面或伸展到无穷远。龙卷风开始和终止于地面与云层。龙卷风开始和终止于地面与云层。烟圈呈环形。烟圈呈环形。40 问题：沿封闭周线L的环量为零，是否在所围面积内流体各处都处于无旋状态？答：否 只有在区域内任一条封闭曲线上的速度环量皆为零，则区域内的旋涡强度必为零，流动为无旋运动。41.亥姆霍兹第二定理（涡管守恒定理）亥姆霍兹第二定理（涡管守恒定理）理想正压性流体在有势的质量力作用下，流场中的涡管始终理想正压性流体在有势的质量力作用下，流场中的涡管始终

28、由相同的流体质点组成。由相同的流体质点组成。K为涡管表面上的封闭周线，其为涡管表面上的封闭周线，其包围的面积内涡通量等于零。由包围的面积内涡通量等于零。由斯托克斯定理知，周线斯托克斯定理知，周线K上的速上的速度环量应等于零；又由汤姆孙定度环量应等于零；又由汤姆孙定理，理，K上的速度环量将永远为零，上的速度环量将永远为零，即周线即周线K上的流体质点将永远在上的流体质点将永远在涡管表面上。换言之，涡管上流涡管表面上。换言之，涡管上流体质点将永远在涡管上，即涡管体质点将永远在涡管上，即涡管是由相同的流体质点组成的，但是由相同的流体质点组成的，但其形状可能随时变化。其形状可能随时变化。涡管上的封闭轴线

29、涡管上的封闭轴线42.亥姆霍兹第三定理（涡管强度守恒定理）亥姆霍兹第三定理（涡管强度守恒定理）理想正压性流体在有势的质量力作用下，任一涡管强度不理想正压性流体在有势的质量力作用下，任一涡管强度不随时间变化。随时间变化。若周线若周线K K为包围涡管任意的截面为包围涡管任意的截面A A的边界线。由汤姆孙的边界线。由汤姆孙定理知，该周线上的速度环量为常数。根据斯托克斯定理定理知，该周线上的速度环量为常数。根据斯托克斯定理截面截面A A上的旋涡强度为常数。因为上的旋涡强度为常数。因为A A为任意截面，所以整个为任意截面，所以整个涡管各个截面旋涡强度都不瞬时间发生变化，即涡管的旋涡管各个截面旋涡强度都不

30、瞬时间发生变化，即涡管的旋涡强度不随时间变化。涡强度不随时间变化。由亥姆霍兹三定理可知，粘性流体的剪切应力将消耗能由亥姆霍兹三定理可知，粘性流体的剪切应力将消耗能量，使涡管强度逐渐减弱。量，使涡管强度逐渐减弱。43亥姆霍兹第一定理：在同一瞬间涡管各截面上的涡通亥姆霍兹第一定理：在同一瞬间涡管各截面上的涡通量都相同；量都相同；亥姆霍兹第二定理（涡管守恒定理）：正压性的理想亥姆霍兹第二定理（涡管守恒定理）：正压性的理想流体在有势的质量力作用下，涡管永远保持为由相同流体在有势的质量力作用下，涡管永远保持为由相同流体质点组成的涡管；流体质点组成的涡管；亥姆霍兹第三定理（涡管强度守恒定理）亥姆霍兹第三定

31、理（涡管强度守恒定理）：在有势的：在有势的质量力作用下，正压性的理想流体中任何涡管的强度质量力作用下，正压性的理想流体中任何涡管的强度不随时间而变化，永远保持定值。不随时间而变化，永远保持定值。44第三节 平面涡流龙卷风和深水旋涡流动特征龙卷风和深水旋涡流动特征45一、二维涡流一、二维涡流设在重力作用下的不可压缩理想流体中，有一无限长的设在重力作用下的不可压缩理想流体中，有一无限长的涡通量为涡通量为J的垂直涡束，像刚体一样以等角速度的垂直涡束，像刚体一样以等角速度绕自身绕自身轴旋转；轴旋转；涡束周围的流体受涡束的诱导将绕涡束轴作对应的等速涡束周围的流体受涡束的诱导将绕涡束轴作对应的等速圆周运动

32、，根据斯托克斯定理圆周运动，根据斯托克斯定理=J；由于直线涡束无限长，与涡束轴垂直的所有平面上的流由于直线涡束无限长，与涡束轴垂直的所有平面上的流动情况都一样，可只研究其中一个平面的流动动情况都一样，可只研究其中一个平面的流动。46涡束内的流动区域，称为涡核区。涡束内的流动区域，称为涡核区。v有旋流动，其半径为有旋流动，其半径为rb。涡束外的流动区域称为环流区涡束外的流动区域称为环流区。v由于沿区内任意封闭曲线的速度环量都为零，故为无旋流动。由于沿区内任意封闭曲线的速度环量都为零，故为无旋流动。47二、速度分布二、速度分布v漩涡内部漩涡内部:流体像刚体一样绕定轴旋转，所以流体像刚体一样绕定轴旋

33、转，所以漩涡内部流体的速度呈线性分布漩涡内部流体的速度呈线性分布v漩涡外部（环流区）漩涡外部（环流区）:根据斯托克斯定理根据斯托克斯定理48三、压力分布三、压力分布1.1.漩涡外部（环流区）漩涡外部（环流区）:流体定常且无旋压强分布由伯努利流体定常且无旋压强分布由伯努利方程式导出。方程式导出。v式中的 即为 ，为无穷远处的压强。将 代入上式得:在环流区内随着半径的减小，流速升高而压强降低，在与涡在环流区内随着半径的减小，流速升高而压强降低，在与涡核交界处，流速达到最高值，而压强则是该区的最低值。核交界处，流速达到最高值，而压强则是该区的最低值。49 由于涡束内部为有旋流动，伯努利积分常数随流线

34、变化，故其由于涡束内部为有旋流动，伯努利积分常数随流线变化，故其压强分布可由欧拉运动微分方程导出。对于平面定常流动，欧拉运压强分布可由欧拉运动微分方程导出。对于平面定常流动，欧拉运动微分方程为动微分方程为:2.2.漩涡内部漩涡内部:将将 和和 分分别别乘乘以以以以上上二二式式，相相加加后后得得:50或 积分得积分得:在与环流区交界处，代入上式，得积分常数：得涡核区的压强分布为：51 涡核区的压强比环流区的的低。在涡束内部,半径愈小,压强愈低，沿径向存在较大的压强梯度，所以产生向涡核中心的抽吸作用，涡旋越强，抽吸作用越大。自然界中的龙卷风和深水旋涡就具有这种流动特征，具有很大的破坏力。在工程实际

35、中有许多利用涡流流动特性装置，如锅炉中的旋风燃烧室、离心式除尘器、离心式超声波发生器、离心式泵和风机、离心式分选机等。由上式可知涡管中心的压强最低，其大小为由上式可知涡管中心的压强最低，其大小为 ，涡核区边缘至涡核，涡核区边缘至涡核中心的压强差为中心的压强差为由以上讨论可知，涡核区和环流区的压强差相等，其数值均为由以上讨论可知，涡核区和环流区的压强差相等，其数值均为 。52龙卷风的速度分布为时时当 ，流体以象刚体一样转动，称风眼或强迫涡（涡核）。53在 区域，流体绕涡核转动，流体质点的运动轨迹是圆但本身并没有旋转称之为自由涡或势涡。自由涡rr0强制涡复合涡:兰肯涡结论：龙卷风的风眼是有旋的，风

36、眼外是无旋的。54v兰肯涡是比较接近实际的平面旋涡模型，其中心部分的流体象刚体一样兰肯涡是比较接近实际的平面旋涡模型，其中心部分的流体象刚体一样旋转，需有外力不断推动，中心部分也可用圆柱形刚体的转动来代替。旋转，需有外力不断推动，中心部分也可用圆柱形刚体的转动来代替。外围部分流体的运动在开始时是由中心部分的转动通过粘性的作用形成外围部分流体的运动在开始时是由中心部分的转动通过粘性的作用形成的，在流动稳定以后，则无须再加入能量，粘性也就不再起作用。的，在流动稳定以后，则无须再加入能量，粘性也就不再起作用。兰肯涡：中心区是强迫涡；外围区是自由涡兰肯涡：中心区是强迫涡；外围区是自由涡中心区是以涡心为

37、圆心的圆，其中的速度与离涡心的距离成正比，涡量为常数。中心区是以涡心为圆心的圆，其中的速度与离涡心的距离成正比，涡量为常数。外围部分的流速则与离涡心的距离成反比，流动有势，涡量为零。外围部分的流速则与离涡心的距离成反比，流动有势，涡量为零。5556第四节 有势流动 如前所述，在流场中流体微团的旋转角速度如前所述，在流场中流体微团的旋转角速度 在任意时在任意时刻处处为零，即满足刻处处为零，即满足 的流动为无旋流动，无旋流动也的流动为无旋流动，无旋流动也称为有势流动。称为有势流动。一、速度势函数一、速度势函数57 （一）、速度势函数引入（一）、速度势函数引入 由数学分析可知，由数学分析可知，是是

38、成为某一标量成为某一标量函数函数 全微分的充分必要条件。则函数全微分的充分必要条件。则函数 称为速度称为速度势函数。因此，也可以说，存在速度势函数势函数。因此，也可以说，存在速度势函数 的流动为有的流动为有势流动，简称势流。根据全微分理论，势函数的全微分可势流动，简称势流。根据全微分理论，势函数的全微分可写成写成 于是得于是得58按矢量分析按矢量分析对于圆柱坐标系，则有对于圆柱坐标系，则有于是于是 从以上分析可知，不论是可压缩流体还是不可从以上分析可知，不论是可压缩流体还是不可压缩流体，也不论是定常流动还是非定常流动，压缩流体，也不论是定常流动还是非定常流动，只要满足无旋流动条件，必然存在速度

39、势函数。只要满足无旋流动条件，必然存在速度势函数。59 无旋条件是速度有势的充要条件。无旋必然有势，有势无旋条件是速度有势的充要条件。无旋必然有势，有势必须无旋。所以无旋流场又称为有势流场。速度势的存在与必须无旋。所以无旋流场又称为有势流场。速度势的存在与流体是否可压缩、流动是否定常无关。流体是否可压缩、流动是否定常无关。60v根据无旋条件，速度有势：根据无旋条件，速度有势：v代入不可压缩连续性条件可得：代入不可压缩连续性条件可得：拉普拉斯方程拉普拉斯方程拉普拉斯算子拉普拉斯算子1.对于不可压缩流体，速度势是调和函数，满足拉普拉斯方程。（二）、速度势函数的性质（二）、速度势函数的性质61 从上

40、可见，在不可压流体的有势流动中，拉普拉斯方从上可见，在不可压流体的有势流动中，拉普拉斯方程实质是连续方程的一种特殊形式，这样把求解无旋流动程实质是连续方程的一种特殊形式，这样把求解无旋流动的问题，就变为求解满足一定边界条件下的拉普拉斯方程的问题，就变为求解满足一定边界条件下的拉普拉斯方程的问题。的问题。所以在不可压流体的有势流动中，速度势必定满足所以在不可压流体的有势流动中，速度势必定满足拉普拉斯方程，而凡是满足拉普拉斯方程的函数，在数拉普拉斯方程，而凡是满足拉普拉斯方程的函数，在数学分析中称为调和函数，所以速度势函数是一个调和函学分析中称为调和函数，所以速度势函数是一个调和函数。数。62柱坐

41、标系下：求解不可压缩流体无旋流动问题，便归纳为根据起始条件和求解不可压缩流体无旋流动问题，便归纳为根据起始条件和边界条件求解拉普拉斯方程问题。边界条件求解拉普拉斯方程问题。63 （2）任意曲线上的速度环量等于曲线两端点上速度势）任意曲线上的速度环量等于曲线两端点上速度势函数函数 值之差。而与曲线的形状无关。值之差。而与曲线的形状无关。根据速度环量的定义，沿任意曲线根据速度环量的定义，沿任意曲线AB的线积分的线积分 这样，将求环量问题，变为求速度势函数值之差的问题。这样，将求环量问题，变为求速度势函数值之差的问题。对于任意封闭曲线，若对于任意封闭曲线，若A点和点和B点重合，速度势函数是单点重合，

42、速度势函数是单值且连续的，则流场中沿任一条封闭曲线的速度环量等于值且连续的，则流场中沿任一条封闭曲线的速度环量等于零，即零，即 。64如何根据速度分布求解势函数？如何根据速度分布求解势函数？653、流速势函数沿流线、流速势函数沿流线 s 方向增大。方向增大。从而得由性质1得沿流线方向的速度为 沿流线方向速度 ，所以 ，即说明 值增大的方向与 s 方向相同。66等(位)势面：v取t 为一固定时刻，若有此时 的几何图像是一个空间曲面，称为等势函数面【等位势面】。当取大小不同的常数值时，上式就是等势面族。可知：（可知：（1）速度矢与等势面垂直。）速度矢与等势面垂直。2）等位势面彼此紧密的地方，速度）

43、等位势面彼此紧密的地方，速度值大；等位势面彼此疏松的地方，速度值小。值大；等位势面彼此疏松的地方，速度值小。6767二二 流函数流函数在笛卡儿坐标系中，平面、不可压缩流体的连续性方程在笛卡儿坐标系中，平面、不可压缩流体的连续性方程可写成可写成:此外，平面流动的流线微分方程为此外，平面流动的流线微分方程为由数学知识可知，此式是成为某个函数全微分的必要且由数学知识可知，此式是成为某个函数全微分的必要且充分条件充分条件（一）、流函数的引入（一）、流函数的引入68v若定义某一个函数（若定义某一个函数（流函数流函数）:即函数即函数永远满足连续方程。很显然，在流线上永远满足连续方程。很显然，在流线上 0

44、0或或常数。在每条流线上函数常数。在每条流线上函数都有它自己的常数值，所都有它自己的常数值，所以称函数以称函数为为流函数流函数。注意：注意：定定义义流函数不要求无旋流函数不要求无旋，只需不可只需不可压缩压缩条件条件！69即为流线，若给定一组常数值，就可得到流线簇。即为流线，若给定一组常数值，就可得到流线簇。或者说，只要给定流场中某一固定点的坐标或者说，只要给定流场中某一固定点的坐标(x,y)代入流函数，便可得到代入流函数，便可得到一条过该点的确定的流线。因此，借助流函数可以形象地描述不可压缩一条过该点的确定的流线。因此，借助流函数可以形象地描述不可压缩平面流场。平面流场。对于极坐标系，可写成对

45、于极坐标系，可写成70 在已知速度分布的情况下，流函数的求法与速度势函在已知速度分布的情况下，流函数的求法与速度势函数一样，可由曲线积分得出。数一样，可由曲线积分得出。至此可看到，在不可压缩平面流动中，只要求出了流函至此可看到，在不可压缩平面流动中，只要求出了流函数，就可求出速度分布。反之，只要流动满足不可压缩流数，就可求出速度分布。反之，只要流动满足不可压缩流体的连续性方程，不论流场是否有旋，流动是否定常，流体的连续性方程，不论流场是否有旋，流动是否定常，流体是理想流体还是黏性流体，必然存在流函数体是理想流体还是黏性流体，必然存在流函数 。这里需说明，等流函数线与流线等同，但仅在平面流这里需

46、说明，等流函数线与流线等同，但仅在平面流动时成立。对于三维流动，不存在流函数，也就不存在等动时成立。对于三维流动，不存在流函数，也就不存在等流函数线，但流线还是存在的。流函数线，但流线还是存在的。71（二）平面不可压缩流体流函数的基本性质（二）平面不可压缩流体流函数的基本性质1、等流函数线为流线、等流函数线为流线当当 常数时常数时满足流线方程满足流线方程等流函数线为流线，每条流线有各自的常数值。等流函数线为流线，每条流线有各自的常数值。722 2、平面流动中，通过两条流线间任一曲线，单位厚度的体积、平面流动中，通过两条流线间任一曲线，单位厚度的体积 流量等于两条流线的流函数之差流量等于两条流线

47、的流函数之差流函数的物理意义。流函数的物理意义。在两流线间任一曲线在两流线间任一曲线AB，则通过单位厚度的体积流量为：，则通过单位厚度的体积流量为：平面流动中两条流线间通过的流量等于这两条流线上的流函数之差。平面流动中两条流线间通过的流量等于这两条流线上的流函数之差。73流函数具有明确的物理意义：平面流动中两条流线间单位厚度通过的体积流量等于两条流线上的流函数常数之差。在流函数y的定义中，为保证流函数变化值dy与流量增量值dqv同号，规定绕B点逆时针方向穿过曲线AB的流量为正，反之为负，这里的流量qv是指通过z方向为单位高度的柱面的体积流量。74由不可压缩流体、平面、无旋流动条件有：由不可压缩

48、流体、平面、无旋流动条件有：将速度和流函数的关系代入上式得将速度和流函数的关系代入上式得在极坐标系中：在极坐标系中：故不可压缩流体的平面无旋流动流函数也满足拉普拉斯方故不可压缩流体的平面无旋流动流函数也满足拉普拉斯方程，也是调和函数。程，也是调和函数。3、对于、对于平面平面不可压缩不可压缩有势有势流体有势，流函数是调和函数，满足流体有势，流函数是调和函数，满足拉普拉斯方程。拉普拉斯方程。75 注意：注意：只要是不可压缩流体的只要是不可压缩流体的平面流动平面流动，就存在着流函数。就存在着流函数。如果是如果是不可压缩流体的平面无旋不可压缩流体的平面无旋流动（即流动（即有势流动），必然同时存在有势流

49、动），必然同时存在速度势速度势和和流函数流函数。76三、三、速度势函数和流函数的关系速度势函数和流函数的关系对于不可压缩流体的对于不可压缩流体的平面无旋流动，平面无旋流动，速度势函数和流函数速度势函数和流函数都是调和函数，且具有以下关系：都是调和函数，且具有以下关系：该数学关系式称为该数学关系式称为柯西柯西黎曼（黎曼（CauchyRiemen）条）条件件。由它可得：。由它可得：因此，因此，和和 互为共轭调和函数，这就有可能使我们利用复变函数这样一种有力的工互为共轭调和函数，这就有可能使我们利用复变函数这样一种有力的工具求解此类问题。具求解此类问题。当势函数和流函数二者知其一时，另一个则可利用当

50、势函数和流函数二者知其一时，另一个则可利用柯西柯西黎曼条件黎曼条件求出，而至多求出，而至多相差一任意常数。相差一任意常数。77上上式是式是等势线簇等势线簇和和流线簇流线簇互相垂直的条件，互相垂直的条件，即正交性条件。即正交性条件。等流函数线就是流线等流函数线就是流线若在同一流场中绘出相应的一系列流线和等势线，则它们必若在同一流场中绘出相应的一系列流线和等势线，则它们必然构成正交网格，称为流网然构成正交网格，称为流网78 流线与等势线正交流线与等势线正交另由高数可知等势线和流线互相正交的条件是它们斜率的乘积等于另由高数可知等势线和流线互相正交的条件是它们斜率的乘积等于1 1若在同一流场中绘出相应