3.1 平行四边形(1)证明(一),(二) 回顾与思考.ppt

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1、九年级数学(上)第三章 证明(三)1.1.平行四边形平行四边形(1)(1)证明证明(一一),(),(二二)回顾与思考回顾与思考直观是把“双刃剑”w直观是重要的直观是重要的,但它有时也会骗人但它有时也会骗人,你还能找你还能找到这样的例子吗到这样的例子吗?回顾与思考回顾与思考1 1abw要要判断一个数学结论是否正确判断一个数学结论是否正确,仅仅仅依靠经验仅依靠经验,观察观察,或实验是不够的或实验是不够的,必需一步一步必需一步一步,有根有据地进行推理有根有据地进行推理.w每个命题都由条件(condition)和结论(conclusion)两部分组成.条件是已知事项,结论是由已事项推断出的事项.w一般

2、地,命题可以写成“如果,那么”的形式,其中“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论.w正确的命题称为真命题(true statement),不正确的的命题称为假命题(false statement).w要说明一个命题是假命题,通常可以举出一个例子,使之具备命题的条件,而不具备命题的结论,这种例子称为反例(counter example).“原名”知多少w定义:对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定,也就是给出它们的定义(definition).w命题:判断一件事情的句子,叫做命题(statement).回顾与思考回顾与思考2 2w原名:某些数学名词称为原名.w公理公理:公认的真命

3、题称为公理公认的真命题称为公理(axiom).w证明证明:除了公理外除了公理外,其它真命题的正确性都通其它真命题的正确性都通过推理的方法证实过推理的方法证实.推理的过程称为证明推理的过程称为证明.w定理定理:经过证明的真命题称为定理经过证明的真命题称为定理(theorem).w推论推论:w由一个公理或定理直接推出的定理由一个公理或定理直接推出的定理,叫做这个叫做这个公理或定理的公理或定理的推论推论(corollary).(corollary).w推论可以当作定理使用推论可以当作定理使用.“原名”知多少 回顾与与思考3 3w公理公理:公认的真命题称为公理公认的真命题称为公理(axiom).w证明

4、证明:除了公理外除了公理外,其它真命题的正确性都通其它真命题的正确性都通过推理的方法证实过推理的方法证实.推理的过程称为证明推理的过程称为证明.w定理定理:经过证明的真命题称为定理经过证明的真命题称为定理(theorem).w本套教材选用如下命题作为公理本套教材选用如下命题作为公理:w1.两直线被第三条直线所截两直线被第三条直线所截,如果同位角相等如果同位角相等,那么这两条直线平行那么这两条直线平行;w2.两条平行线被第三条直线所截两条平行线被第三条直线所截,同位角相等同位角相等;w3.两边夹角对应相等的两个三角形全等两边夹角对应相等的两个三角形全等;w4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等

5、两角及其夹边对应相等的两个三角形全等;w5.三边对应相等的两个三角形全等三边对应相等的两个三角形全等;w6.全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等,对应角相等对应角相等.“原名”知多少 回顾与与思考4 4平行线的判定w公理公理:w同位角相等同位角相等,两直线平行两直线平行.w 1=2,ab.w判定定理判定定理1:1:w内错角相等内错角相等,两直线平行两直线平行.w 1=2,ab.w判定定理判定定理2:2:w同旁内角互补同旁内角互补,两直线平行两直线平行.w 1+2=1800,ab.abc21abc12abc12w这里的结论这里的结论,以后可以直接运用以后可以直接运用.回顾与与思考5 5平

6、行线的性质w公理公理:w两直线平行两直线平行,同位角相等同位角相等.w ab,1=2.w性质定理性质定理1:1:w两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等.w ab,1=2.w性质定理性质定理2:2:w 两直线平行两直线平行,同旁内角互补同旁内角互补.w ab,1+2=1800.abc21abc12abc12w这里的结论这里的结论,以后可以直接运用以后可以直接运用.回顾与与思考6 6三角形内角和定理w三角形内角和定理三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于三角形三个内角的和等于1801800 0.ABC中中,A+B+C=A+B+C=1800.wA+B+C=A+B+C=1800的几种变形的几种

7、变形:wA=A=1800(B+C).(B+C).wB=B=1800(A+C).(A+C).wC=C=1800(A+B).(A+B).wA+B=A+B=1800-C.C.wB+C=B+C=1800-A.A.wA+C=A+C=1800-B.B.w这里的结论这里的结论,以后可以直接运用以后可以直接运用.回顾与思考回顾与思考7 7ABC三角形的外角w三角形内角和定理的推论三角形内角和定理的推论:w推论推论1:1:三角形的一个外角等于和它不相邻的两三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和个内角的和.w推论推论2:2:三角形的一个外角大于任何一个和它不三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角相邻的

8、内角.w推论推论3:3:直角三角形的两锐角互余直角三角形的两锐角互余.wABC中中:w1=2+3;1=2+3;w12,1312,13.ABCD1234w这个结论以后可以直接运用这个结论以后可以直接运用.回顾与与思考8 8驶向胜利的彼岸学好几何标志是会“证明”w证明命题的一般步骤证明命题的一般步骤:w(1)理解题意理解题意:分清命题的条件分清命题的条件(已知已知),结论结论(求求证证);w(2)根据题意根据题意,画出图形画出图形;w(3)结合图形结合图形,用符号语言写出用符号语言写出“已知已知”和和“求求证证”;w(4)分析题意分析题意,探索证明思路探索证明思路(由由“因因”导导“果果”,执执“

9、果果”索索“因因”.);w(5)依据思路依据思路,运用数学符号和数学语运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程言条理清晰地写出证明过程;w(6)检查表达过程是否正确检查表达过程是否正确,完善完善.回顾与思考回顾与思考9 9等腰三角形性质w定理定理:等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等(等边对等角等边对等角).).w如图如图,在在ABCABC中中,AB=AC(AB=AC(已知已知),),B=C(B=C(等角对等边等角对等边).).回顾与与思考1010ACB等腰三角形性质w推论推论:w等腰三角形顶角的平分线等腰三角形顶角的平分线,底底边上的中线边上的中线,底边上的高互相底边上的高互

10、相重合重合(三线合一三线合一).).回顾与与思考1111ACBD12w如图如图,在在ABCABC中中,AB=AC,1=2(AB=AC,1=2(已知已知).).BD=CD,ADBCBD=CD,ADBC（三线合一）三线合一）.w如图如图,在在ABCABC中中,AB=AC,BD=CD(AB=AC,BD=CD(已知已知).).1=2,ADBC1=2,ADBC（三线合一）三线合一）.w如图如图,在在ABCABC中中,AB=AC,ADBC(AB=AC,ADBC(已知已知).).BD=CD,1=2 BD=CD,1=2（三线合一）三线合一）w轮换条件轮换条件1=2,BD=CD,BD=CD,ADBCADBC可得

11、可得三三线合一线合一的三种不同形的三种不同形式的运用式的运用.等腰三角形性质w等边三角形的三个角都相等并且每个角都等于等边三角形的三个角都相等并且每个角都等于600.回顾与与思考1212w如图图,在在ABCABC中中,AB=AC=BC(AB=AC=BC(已知已知).).A=B=C=60A=B=C=600 0（等边三角形的三个角都相等边三角形的三个角都相等并且每个角都等于等并且每个角都等于600）.ACB等腰三角形性质w等腰三角形两底角的平分线相等等腰三角形两底角的平分线相等.w等腰三角形两腰上的中线相等等腰三角形两腰上的中线相等.w等腰三角形两腰上的高相等等腰三角形两腰上的高相等.回顾与与思考

12、1313ACBD1E2等腰三角形的判定等腰三角形的判定w定理：定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等等角对等边边）.回顾与与思考1414w在在ABCABC中中B BC C（已知），已知），AB=ACAB=AC（等角对等边）等角对等边）.ACB反证法反证法w在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛导出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立盾的结果，从而证明命题的结论一定成立.这种这种证明方法称为证明方法称为反证法反证法(reduction

13、to(reduction to absurdity)absurdity)回顾与与思考1515w用反证法证明的一般步骤用反证法证明的一般步骤:w1.1.假设假设:先假设命题的结论不成立先假设命题的结论不成立;w2.2.归谬归谬:从这个假设出发从这个假设出发,应用正确的推论方应用正确的推论方法法,得出与定义，公理、已证定理或已知条件得出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果相矛盾的结果;w3.3.结论结论:由矛盾的结果判定假设不正确由矛盾的结果判定假设不正确,从而从而肯定命题的结论正确肯定命题的结论正确.w反证法是一种重要的数学证明方法反证法是一种重要的数学证明方法.在解决某在解决某些问题时

14、常常会有出人意料的作用些问题时常常会有出人意料的作用.等边三角形的判定等边三角形的判定w定理定理:有一个角是有一个角是600的等腰三角形是等边的等腰三角形是等边三角形三角形.回顾与与思考1616w在在ABCABC中中,AB=AC,B=60AB=AC,B=600 0(已知已知).).ABCABC是等边三角形是等边三角形(有一个角是有一个角是600的等腰三的等腰三角形是等边三角形角形是等边三角形).).ACB600等边三角形的判定等边三角形的判定w定理定理:三个角都相等的三角形是等边三角三个角都相等的三角形是等边三角形形.回顾与与思考1717w在在ABCABC中中,A=B=C(A=B=C(已知已知

15、),),ABCABC是等边三角形是等边三角形(三个角都相等的三角形三个角都相等的三角形是等边三角形是等边三角形).).ACB600600600w在在ABCABC中中,ACB=90ACB=900 0,A=30,A=300 0.BC=AB.(BC=AB.(在直角三角形中在直角三角形中,30300 0角角所对的直角所对的直角边等于斜边的一半边等于斜边的一半).).特殊的直角三角形的性质w定理定理:在直角三角形中在直角三角形中,如果有一个锐角等如果有一个锐角等于于30300 0,那么它那么它所对的直角边等于斜边的一半所对的直角边等于斜边的一半.回顾与与思考1818ABC300特殊的直角三角形的性质w定

16、理定理:在直角三角形中在直角三角形中,如果一条直角边等如果一条直角边等于斜边的一半于斜边的一半,那么它那么它所对的锐角等于所对的锐角等于30300 0.回顾与与思考1919w在在ABCABC中中ACB=90ACB=900 0,BC=AB/2(,BC=AB/2(已知已知),),A=30A=300 0(在直角三角形中在直角三角形中,如果一条直角边等如果一条直角边等于斜边的一半于斜边的一半,那么它那么它所对的锐角等于所对的锐角等于30300 0).).ABC300勾股定理w定理定理 如果直角三角形两直角边分别为如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边斜边为为c，那么那么a2+b2=c2.即直角三角形

17、两直角边的平方和即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方等于斜边的平方.勾股定理在西方文献中又称为毕达勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理（哥拉斯定理（pythagoras theorem）.回顾与与思考2020w在在ABCABC中中ACB=90ACB=900 0(已知已知),),a2+b2=c2(直角三角形两直角边的平方和等于直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方斜边的平方).).acb勾弦股勾股定理的逆定理w定理定理l如果三角形两边的平方和等于第三边平方如果三角形两边的平方和等于第三边平方,那么这个三角形是直角三角形那么这个三角形是直角三角形.回顾与与思考2121l在在ABCABC

18、中中lACAC2 2+BC+BC2 2=AB=AB2 2(已知已知),),lABCABC是直角三角形是直角三角形(如果三角形两边的平如果三角形两边的平方和等于第三边平方方和等于第三边平方,那么这个三角形是直角那么这个三角形是直角三角形三角形).).acbABC(1)命题与逆命题命题与逆命题定理与逆定理定理与逆定理w在两个命题中在两个命题中,如果一个命题的如果一个命题的条件条件和和结论结论分别是另一个命题的分别是另一个命题的结论结论和和条件条件,那么这两那么这两个命题称为个命题称为互逆命题互逆命题,其中一个命题称为另其中一个命题称为另一个命题的一个命题的逆命题逆命题.回顾与与思考2222w如果一

19、个如果一个定理定理的逆命题经过证明是真命题的逆命题经过证明是真命题,那那么它是一个么它是一个定理定理,这两个定理称为这两个定理称为互逆定理互逆定理,其中一个定理称另一个定理的其中一个定理称另一个定理的逆定理逆定理.直角三角形全等直角三角形全等的判定定理的判定定理l定理定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等角三角形全等(斜边斜边,直角边直角边或或HL).回顾与与思考2323w如图如图,在在ABCABC和和A AB BC C中中,C=C=900,wAC=AC,AB=AB(已知已知),wRtRtABCRtAABCRtAB BC C(HL).ABCABC直角

20、三角形全等的判定直角三角形全等的判定方法方法直角三角形全等的判定方法直角三角形全等的判定方法:l定理定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等等(斜边斜边,直角边或直角边或HL).w公理公理:三边对应相等的两个三角形全等（三边对应相等的两个三角形全等（SSSSSS）.w公理公理:两边及其夹角对应相等的两个三角形全等两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SASSAS）.w公理公理:两角及其夹边对应相等的两个三角形全等两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASAASA）.w推论推论:两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全两角及其中一角的对边对应

21、相等的两个三角形全等（等（AASAAS）.综上所述综上所述,直角三角形全等的判定条件可归纳为直角三角形全等的判定条件可归纳为:w一边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等一边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等;w两边对应相等的两个直角三角形全等两边对应相等的两个直角三角形全等;w切记切记!命题命题:两边及其中一边的对角对应两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等相等的两个三角形不一定全等.w即即(SSA)(SSA)是一个假冒产品是一个假冒产品!回顾与与思考2424线段垂直平分线线段垂直平分线性质性质w定理定理 线段垂直平分线上的点线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等到这

22、条线段两个端点距离相等.回顾与与思考2525w如图如图,wAC=BC,MNAB,PAC=BC,MNAB,P是是MNMN上任意一点上任意一点(已知已知),),wPA=PB(PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等两个端点距离相等).).ACBPMN线段垂直平分线的性线段垂直平分线的性质质w逆定理逆定理 到一条线段两个端点到一条线段两个端点距离相等的点距离相等的点,在这条线段的在这条线段的垂直平分线上垂直平分线上.回顾与与思考2626w如图如图,wPA=PB(PA=PB(已知已知),),w点点P P在在ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上(到一条线段

23、两个到一条线段两个端点距离相等的点端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线在这条线段的垂直平分线上上).).ACBPMN三角形的外心三角形的外心w定理定理:三角形三条边的垂直平分线三角形三条边的垂直平分线相交于一点相交于一点,并且这一点到三个顶并且这一点到三个顶点的距离相等点的距离相等.回顾与与思考2727w如图如图,在在ABCABC中中,c,a,bc,a,b分别是分别是AB,BC,ACAB,BC,AC的垂直平分线的垂直平分线(已知已知),),c,a,bc,a,b相交于一点相交于一点P,P,且且PA=PB=PC(PA=PB=PC(三角形三条三角形三条边的垂直平分线相交于一点边的垂直平分线相交于

24、一点,并且这一点到三并且这一点到三个顶点的距离相等个顶点的距离相等).).ABCPabc角平分线的性质角平分线的性质w定理定理 角平分线上的点到这个角的两边距离角平分线上的点到这个角的两边距离相等相等.回顾与与思考2828w如图如图,wOCOC是是AOBAOB的平分线的平分线,P,P是是OCOC上任意一点上任意一点,PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,垂足分别是垂足分别是D,E(D,E(已知已知)PD=PE(PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离角平分线上的点到这个角的两边距离相等相等).).OCB1A2PDE角平分线的性质角平分线的性质w逆定理逆定理 在一个角的内部在一个角的内部,

25、且到且到角的两边距离相等的点角的两边距离相等的点,在这在这个角的平分线上个角的平分线上.回顾与与思考2929w如图如图,wPA=PB,PDOA,PEOB,PA=PB,PDOA,PEOB,垂足分别是垂足分别是D,E(D,E(已已知知),),w点点P P在在AOBAOB的平分线上的平分线上.(.(在一个角的内部在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分在这个角的平分线上线上).).OCB1A2PDE三角形的内心三角形的内心w定理定理:三角形的三条角平分三角形的三条角平分线相交于一点线相交于一点,并且这一点并且这一点到三边的距离相等到三边的距离相等.回顾与与思考

26、3030w如图如图,在在ABCABC中中,BM,CN,AHBM,CN,AH分别是分别是ABCABC的三条角平分线的三条角平分线,且且PDAB,PEBC,PFAC(PDAB,PEBC,PFAC(已知已知),),BM,CN,AHBM,CN,AH相交于一点相交于一点P,P,且且PD=PE=PF(PD=PE=PF(三角形三角形的三条角平分线相交于一点的三条角平分线相交于一点,并且这一点到并且这一点到三边的距离相等三边的距离相等).).ABCPMNDEF尺规作图尺规作图w尺规作图的尺规作图的基本作图基本作图:作一条线段等于已知线段作一条线段等于已知线段;作一个角等于已知角作一个角等于已知角;作线段的垂直平分线作线段的垂直平分线(或中点或中点););作已知角的平分线作已知角的平分线;已知三边已知三边,两边夹角两边夹角,两角夹边两角夹边,斜边直角边作斜边直角边作三角形三角形.回顾与与思考3131w尺规作图的解题格式尺规作图的解题格式(六步骤六步骤):):已知已知,求作求作,分析分析,作法作法,证明证明,讨论讨论.知识的升华独立独立作业作业1、我们探索过的有关四边形的性质及判定,请把你记得的知识整理;2、试着用公理和已有的定理来证明它们.祝你成功！结束寄语严格性之于数学家,犹如道德之于人.条理清晰，因果相应,言必有据.是初学证明者谨记和遵循的原则.下课了!