复变函数——第四章级数.ppt

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1、级数习题课级数习题课4-6习题课习题课2、内容总结、内容总结 1、重点和难点、重点和难点 3、习题处理、习题处理 一、重点与难点一、重点与难点重点：重点：难点：难点：函数展开成泰勒级数与洛朗级数函数展开成泰勒级数与洛朗级数函数展开成洛朗级数函数展开成洛朗级数复数项级数复数项级数函数项级数函数项级数充充要要条条件件必必要要条条件件幂级幂级数数收敛半径收敛半径R R复复 变变 函函 数数绝绝对对收收敛敛运算与性质运算与性质收敛条件收敛条件条条件件收收敛敛收敛半径的计算收敛半径的计算泰勒级数泰勒级数洛朗级数洛朗级数二、内容提要二、内容提要1z为复常数为复常数1 1、复数项级数、复数项级数表达式表达式

2、称为称为复数项无穷级数复数项无穷级数.其最前面其最前面 n 项的和项的和称为级数的部分和称为级数的部分和.部分和部分和级数发散级数发散;进一步判断进一步判断.判别复数项级数的判别复数项级数的 敛散性时敛散性时,可先考察可先考察?部分和极限部分和极限实虚部级数收敛性实虚部级数收敛性绝对收敛否绝对收敛否2 2、复数项级数敛散性判别复数项级数敛散性判别充要条件：充要条件：绝对收敛绝对收敛 条件收敛条件收敛必要条件：必要条件：正项级数正项级数收敛判别命题：收敛判别命题：1比较法：比较法：收敛，则收敛，则收敛；收敛；2比值法：比值法：3根值法：根值法：收敛收敛都收敛都收敛其最前面其最前面 n 项的和项的

3、和称为级数的部分和称为级数的部分和.部分和部分和3 复函数项级数复函数项级数表达式表达式称为称为复数项无穷级数复数项无穷级数.4.幂级数的敛散性幂级数的敛散性在复变函数项级数中在复变函数项级数中,形如形如的级数称为的级数称为幂级数幂级数.当当 时时，幂级数是最简单的解析函数级数，收敛区域是一个圆幂级数是最简单的解析函数级数，收敛区域是一个圆.方法方法1 1:比值法比值法(达郎贝尔判别法达郎贝尔判别法)方法方法2:根值法根值法(柯西判别法柯西判别法)4 4 收敛半径的求法收敛半径的求法那末收敛半径那末收敛半径那末收敛半径那末收敛半径5 5 幂级数运算法则幂级数运算法则1)1)幂级数的四则运算幂级

4、数的四则运算如果当如果当时时,又设在又设在内内解析且满足解析且满足那末当那末当时时,2)2)幂级数的代换幂级数的代换(复合复合)运算运算(2)在收敛圆在收敛圆内的导数可将其幂内的导数可将其幂级数逐项求导得到级数逐项求导得到,即即3)3)幂级数在收敛圆内的解析性幂级数在收敛圆内的解析性设幂级数设幂级数的收敛半径为的收敛半径为那末那末是收敛圆是收敛圆内的解析函数内的解析函数.它的和函数它的和函数即即(1)6 泰勒级数泰勒级数其中其中泰勒级数泰勒级数泰勒展开式泰勒展开式定理定理设设在区域在区域内解析内解析,为为 内的一内的一为为到到的边界上各点的最短距离的边界上各点的最短距离,那末那末点点,时时,成立成立,当当常见函数的泰勒展开式常见函数的泰勒展开式7、洛朗级数、洛朗级数定理定理C为圆环域内绕为圆环域内绕 的任一正向简单闭曲线的任一正向简单闭曲线.为洛朗系数为洛朗系数.