含参变量的有限积分(北工大).ppt

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1、一一.含参变量的有限积分含参变量的有限积分1.1.定义定义 设二元函数设二元函数 在矩形域在矩形域有定义，有定义，积分存在，则积分积分存在，则积分是定义在区间是定义在区间 的函数，记为的函数，记为称为称为含参变量的有限积分含参变量的有限积分，称为参变量，称为参变量2.2.函数的分析性质函数的分析性质定理定理若函数若函数 在矩形域在矩形域连续，则函数连续，则函数在区间也连续在区间也连续注注：若函数：若函数 满足定理的条件时，则满足定理的条件时，则积分和极限可以交换次序积分和极限可以交换次序证明证明取取 ，使，使有有由连续函数的性质，由连续函数的性质，在闭矩形域在闭矩形域R上一致连续，即上一致连续

2、，即有有特别是，特别是，有有当当 时时,有有即函数即函数 在区间在区间 连续。连续。定理定理 若函数与若函数与 在矩形域在矩形域连续，则函数连续，则函数在区间在区间 可导，且可导，且，有，有或或积分号下可微分积分号下可微分证证明取取 ，使，使有有已知已知 在在R R存在，根据微分中值定理，有存在，根据微分中值定理，有将它代入上式，等号两端除以将它代入上式，等号两端除以 ，有，有上面的等式可化为上面的等式可化为函数函数 在闭矩形域在闭矩形域R上一致连续，即上一致连续，即有有从而有从而有即即或或定理定理若函数若函数 在矩形域在矩形域连续，则函数连续，则函数在区间在区间 可积，且可积，且积分号下可积分积分号下可积分(1)证明证明根据定理根据定理1,函数函数 在在 连续连续,则函数则函数 在区间在区间 可积可积.下面证明等式下面证明等式()成立成立.根据根据8.4定理定理1,有有设设已知已知 与与 都在都在R连续，根据定理，有连续，根据定理，有于是于是,有有则则可得可得(其中其中C是常数是常数)特别地，当时，有特别地，当时，有即即则则当当 时时,练练:1 计算计算例例1 1 求函数求函数 的导数的导数.2.计算定积分计算定积分提示提示:对含参变量积分对含参变量积分求导求导.