第三章1 函数逼近与快速Fourier变换3.1~3.2.ppt

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1、1第第3 3章章 函数逼近与函数逼近与快速快速FourierFourier变换变换23.1 3.1 函数逼近的基本概念函数逼近的基本概念 3.2 3.2 正交多项式正交多项式3.3 3.3 最佳平方逼近的基本概念最佳平方逼近的基本概念 3.4 3.4 曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法3.5 3.5 有理逼近有理逼近3.6 3.6 三角多项式逼近与快速三角多项式逼近与快速FourierFourier变换变换33.1 3.1 函数逼近的基本概念函数逼近的基本概念 3.1.1 3.1.1 函数逼近与函数空间函数逼近与函数空间：1、数值计算中经常要计算函数值，如计算机中计算 基本初等函数及其他

2、特殊函数；2、当函数只在有限点集上给定函数值，要在包含该 点集的区间上用公式给出函数的简单表达式.问题问题 这些都涉及到在区间 上用简单函数逼近已知复杂函数的问题，这就是函数逼近问题函数逼近问题.4 记作 ，本章讨论的函数逼近，是指“对函数类 中给定的函数中求函数 ，使 与 的误差在某种度量 插值法就是函数逼近问题的一种.要在另一类简单的便于计算的函数类意义下最小”.函数类 通常是区间 上的连续函数，记作 ，称为连续函数空间连续函数空间.5与数的乘法构成实数域上的线性空间，函数类 通常为 次多项式，有理函数或分段低次多项式等.数学上常把在各种集合中引入某些不同的确定关系称为 例如将所有实 维向

3、量组成的集合，按向量加法及向量称为 维维记作 ，赋予集合以某种空间结构，并将这样的集合称为空间空间.向量空间向量空间.6按通常多项式与多项式加法及数与多项式乘法也构成数域 称为多项式空间多项式空间.类似地,记 为具有 阶连续导数的函数空间.所有定义在 上的连续函数集合，按函数加法和 记作 .数与函数乘法构成数域 上的线性空间，用 表示，上一个线性空间，对次数不超过 (为正整数)的实系数多项式全体，7 定义定义1 1设集合 是数域 上的线性空间，元素 如果存在不全为零的数 ，（1.1）则称 线性相关线性相关.否则，若等式(1.1)只对 成立，则称 线性无关线性无关.使得8 如果 中有无限个线性无

4、关元素 则称 系数 称为 在基并称空间 为 维空间维空间，若线性空间 是由 个线性无关元素 生成的，即对 都有则 称为空间 的一组基基，记为下的坐标坐标，记作为无限维线性空间无限维线性空间.9（1.2）它由 个系数 唯一确定.考察次数不超过 次的多项式集合 ，它是 的一组基，是线性无关的，且 是 的坐标向量，是 维的.表示为其元素故10使误差 对连续函数 ，它不能用有限个线性无关的函数表示，故 是无限维的，但它的任一元素 均可用有限维的 逼近，(为任给的小正数)，这就是著名的魏尔斯特拉斯定理.11总存在一使 定理定理1 1设 ，则对任何 ，个代数多项式 ，在 上一致成立.伯恩斯坦1912年给出

5、的证明是一种构造性证明.他根据函数整体逼近的特性构造出伯恩斯坦多项式（1.3）12 为二项式展开系数，并证明了在 上一致成立；若 在 上 阶导数连续，则其中 这个结果不但证明了定理1，而且由(1.3)给出了 的一个逼近多项式.13 与拉格朗日插值多项式 相似，对 ，当 时也有关系式这只要在恒等式 中令 就可得到.14 但这里当 时,是有界的，因而只要 对任意 成立，有界，故 是稳定的.虽然多项式 有良好的逼近性质，但它收敛太慢，还有于是则比三次样条逼近效果差得多，所以实际中很少被使用.15 更一般地，可用一组在 上线性无关的函数集合 来逼近 ，可表示为（1.4）函数逼近问题就是对任何 ，找一个

6、元素 ，使 在某种意义下最小.此时元素在子空间中16 3.1.2 3.1.2 范数与赋范线性空间范数与赋范线性空间 为了对线性空间中元素大小进行衡量，需要引进范数定义，它是 空间中向量长度概念的直接推广.17 定义定义2 2 设 为线性空间，（1）当且仅当 时，（正定性）（2）(齐次性)（3）(三角不等式)则称为线性空间 上的范数，与一起称为赋范线性空间，记为，满足条件：若存在唯一实数18 例如，在 上的向量 三种常用范数为 称为 范数或最大范数，称为 1-范数，称为 2-范数.19 而满足1=1 的向量 则为对角线长度为1的菱形.实际上任何向量的实值函数，只要满足上述三个条件，就可以定义成一

7、种向量范数.在 中，满足2=1，即 的向量为单位圆，满足=1，即 的向量为单位正方形，20 所以说，范数是对向量长度的度量，度量方式不同，结果也不一样，但不同范数之间是存在等价关系的.21 类似地，对连续函数空间 ，若 称为 范数，称为 1-范数，称为 2-范数.可以验证这样定义的范数均满足定义2中的三个条件.可定义三种常用范数如下：223.1.3 3.1.3 内积与内积空间内积与内积空间 在线性代数中，中两个向量 及的内积定义为 若将它推广到一般的线性空间 ，则有下面的定义.23 定义定义3 3有K中一个数与之对应，记为 ，它满足则称 为X上 与 的内积.X 是数域K(R或C)上的线性空间，

8、对以下条件：24 定义中（1）的右端 称为 的共轭，当K为实数域R时 .如果 ，则称 与 正交，这是向量相互垂直概念的推广.定义了内积的线性空间称为内积空间内积空间.25 定理定理2 2对 有（1.6）称为柯西-施瓦茨(Cauchy-Schwarz)不等式.证明证明当 时（1.6）式显然成立.现设 ，则 ，且对任何数 有取 ，设X为一个内积空间，代入上式右端，得26即得 时 27 定理定理3 3（1.7）称为格拉姆(Gram)矩阵，则 非奇异的充分必要条件是 线性无关.设X为一个内积空间，矩阵28 证明证明G非奇异等价于 ，其充要条件是齐次 只有零解；（1.9）方程组（1.8）而29 从以上等

9、价关系知，而后者等价于从（1.9）推出即 线性无关.在内积空间X上，可以由内积导出一种范数，即对于（1.10）等价于从（1.8）推出记30两端开方即得三角不等式（1.11）利用31 例例1 1与 的内积.设 （1.12）向量2-范数为 32相应的范数为（1.13）若给定实数称 为权系数，当 时，上的加权内积为（1.13）就是前面定义的内积.33 如果 ，（1.14）这里 仍为正实数序列，为 的共轭.在 上也可以类似定义带权内积.带权内积定义为34 定义定义4 4设 是有限或无限区间，在 上的非负函数 满足条件：（1）存在且为有限值（2）对 上的非负连续函数 ，如果则称 为 上的一个权函数.则3

10、5 例例2 2 设是 上给定的权函数（1.15）由此内积导出的范数为 称（1.15）和（1.16）为带权 的内积和范数.上的内积.则可定义内积（1.16）36 常用的是 的情形，即 37 若 是 中的线性无关函数族，（1.17）根据定理3可知 线性无关的充要条件是 它的格拉姆矩阵为记383.1.4 3.1.4 最佳逼近最佳逼近 函数逼近主要讨论，对给定 ，求它的最佳逼近多项式.若 使误差则称 是 在 上的最佳逼近多项式最佳逼近多项式.39常用的三种最佳逼近多项式：1.1.最佳一致逼近多项式最佳一致逼近多项式 2.2.最佳平方逼近多项式最佳平方逼近多项式 3.3.最小二乘拟合最小二乘拟合403.

11、2 3.2 正交多项式正交多项式 3.2.1 3.2.1 正交函数族与正交多项式正交函数族与正交多项式 定义定义5 5若（2.1）则称 与 在 上带权 正交正交.上的权函数且满足为41 若函数族 满足关系 则称 是 上带权 的正交函数族正交函数族.若 ，则称之为标准正交函数族标准正交函数族.（2.2）42满足关系式(2.2)，三角函数族 就是在区间 上的正交函数族.定义定义6 6设 是 上首项系数 的 次多项式，为 上权函数，则称多项式序列 为在 上带权 正交正交，称 为 上带权 的 次正正交多项式交多项式.如果多项式序列43（2.3）只要给定区间 及权函数 ，均可由一族线性无关的幂函数 利用

12、逐个正交化手续构造出正交多项式序列 ：44 （1）是具有最高次项系数为1的 次多项式.（2）任何 次多项式 均可表示为 （3）当 时，与任一次数小于 的多项式正交.得到的正交多项式序列有以下性质：的线性组合.且45其中 这里（2.4）（4）成立递推关系 46 （5）设 是在 上带权 的正交多项式序列，则 的 个根都是在区间 内的单重 实根.47 3.2.2 3.2.2 勒让德勒让德(Legendre)多项式多项式 当区间为 ，权函数 时，并用 表示.罗德利克罗德利克(Rodrigul）给出了简单的表达式（2.5）正交化得到的多项式就称为勒让德勒让德(Legendre)多项式多项式，由48由于

13、是 次多项式，所以对其求 阶导数后得 最高项系数为1的勒让德多项式为（2.6）于是得首项 的系数49勒让德多项式重要性质：性质性质1 1（2.7）证明证明令 ，设 是在区间 上 阶连续可微的函数，由分部积分知 正交性则50下面分两种情况讨论:（1）若 是次数小于 的多项式，则 故得51则 （2）若 于是 52由于 故 53 性质性质2 2（2.8）由于 是偶次多项式，经过偶次求导仍为偶次多项式，经过奇次求导则为奇次多项式，故 为偶数时 为偶函数，为奇数时 为奇函数，于是（2.8）成立.奇偶性54 性质性质3 3 考虑 次多项式两边乘 并从-1到1积分，当 时，次数小于等于 ，递推关系它可表示为

14、得故得为0，上式左端积分55 当 时，其中 左端积分仍为0，故于是为奇函数，56由从而得到以下的递推公式（2.9）利用上述递推公式就可推出57图3-1 图3-1给出了 的图形.58 在区间 内有 个不同的实零点.性质性质4 459 3.2.3 3.2.3 切比雪夫多项式切比雪夫多项式 当权函数 ，区间为 时，由序列 正交化得到的正交多项式就是切比雪夫切比雪夫(Chebyshev)(Chebyshev)多项式多项式.它可表示为（2.10）若令 ，则60 性质性质5 5 切比雪夫多项式有很多重要性质：这只要在三角恒等式 中，令 即得.递推关系（2.11）61 由（2.11）可推出 的函数图形见图3

15、-2.62图3-2 由递推关系（2.11）还可得到 的最高次项系数是63 性质性质6 6切比雪夫多项式 在区间 上带权（2.12）令 ，则 ，正交，且于是64 可以用 的线性组合表示 ，性质性质8 8在区间 上有 个零点 性质性质7 7只含 的偶次幂，只含 的奇次幂.这个性质由递推关系直接得到.其公式为65 时的结果如下：（2.13）这里规定6667 3.2.5 3.2.5 其他常用的正交多项式其他常用的正交多项式 区间 及权函数 不同，则得到的正交多项式也不同.除上述两种最重要的正交多项式外，下面是三种较常用的正交多项式.1.第二类切比雪夫多项式 在区间 上带权 的正交多项式称为第二类切比雪夫多项式第二类切比雪夫多项式.68 表达式为（2.16）令 ，即 是 上带权 的正交多项式族.可得69递推关系 70 2.拉盖尔(Laguerre)(Laguerre)多项式 在区间 上带权 的正交多项式称为拉拉盖尔盖尔(Laguerre)(Laguerre)多项式多项式.其表达式为（2.17）正交性质 71递推关系 72 表达式（2.18）正交关系 在区间 上带权 的正交多项式称为埃尔米特多项式埃尔米特多项式.3.埃尔米特(Hermite)多项式 73递推关系