泰勒公式与函数逼近.ppt

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1、 实验实验5 5 泰勒公式与函数逼近泰勒公式与函数逼近内容提要内容提要本实验对于函数以及它的各次泰勒公式和泰勒多本实验对于函数以及它的各次泰勒公式和泰勒多项式进行演示，以使大家对于泰勒多项式对函数项式进行演示，以使大家对于泰勒多项式对函数的逼近有一个直观的了解。的逼近有一个直观的了解。实验步骤实验步骤本实验讨论本实验讨论y=y=sinxsinx的泰勒公式（实际讨论的是的泰勒公式（实际讨论的是x=0 x=0处的泰勒公式，即麦克劳林公式）。处的泰勒公式，即麦克劳林公式）。泰勒公式与函数逼近泰勒公式与函数逼近首先我们知道首先我们知道y=y=sinxsinx在在x=0 x=0处的偶数阶导数为零，处的偶

2、数阶导数为零，因此我们展开因此我们展开y=y=sinxsinx到到1 1阶，阶，3 3阶，阶，5 5阶，并储存在阶，并储存在变量变量 p1,p3,p5p1,p3,p5中，即分别键入中，即分别键入后运行，可以看到输出的结果带有一个佩亚诺余项，后运行，可以看到输出的结果带有一个佩亚诺余项，正由于这个余项使我们无法显示这些展开式的图形，正由于这个余项使我们无法显示这些展开式的图形，例如我们试显示例如我们试显示 P5 P5 的图形，当键入：的图形，当键入：泰勒公式与函数逼近泰勒公式与函数逼近后运行，即显示一行后运行，即显示一行红色的警告信息，表红色的警告信息，表示无法作图，为此我示无法作图，为此我们把

3、这些泰勒公式化们把这些泰勒公式化为正常的多项式，可为正常的多项式，可利用利用 “Normal”Normal”命命令去掉余项得到泰勒令去掉余项得到泰勒多项式，再用作图命多项式，再用作图命令作出泰勒多项式的令作出泰勒多项式的图形（如图图形（如图 24 24），），即键入：即键入：泰勒公式与函数逼近泰勒公式与函数逼近有了上面的准备，现在我们可在同一坐标系内显有了上面的准备，现在我们可在同一坐标系内显示示y=y=sinxsinx及它的各次泰勒多项式。这里为了加及它的各次泰勒多项式。这里为了加 运行，我们用运行，我们用“Table”Table”命令把命令把y=y=sinxsinx的直到的直到1919阶阶

4、的泰勒多项式构成一个函数，然后用的泰勒多项式构成一个函数，然后用“PrependToPrependTo”命令把命令把y=y=sinxsinx本身加入这个函数集，本身加入这个函数集，并在并在-，内显示它们的图形（如图内显示它们的图形（如图2525），即键入：），即键入：泰勒公式与函数逼近泰勒公式与函数逼近 如图如图2525泰勒公式与函数逼近泰勒公式与函数逼近为了分别观察泰勒多项式的变化情况，我们还可为了分别观察泰勒多项式的变化情况，我们还可分别作出分别作出y=y=sinxsinx的直到的直到1919阶的泰勒多项式（如图阶的泰勒多项式（如图2626）即键入：）即键入：泰勒公式与函数逼近泰勒公式与函

5、数逼近泰勒公式与函数逼近泰勒公式与函数逼近泰勒公式与函数逼近泰勒公式与函数逼近并运行。为使图形演示更加生动，我们还可用并运行。为使图形演示更加生动，我们还可用鼠标选定这些图形后进行动画演示（即选定这鼠标选定这些图形后进行动画演示（即选定这些图形后再同时按些图形后再同时按“Ctrl”Ctrl”和和“Y”Y”键）。键）。最后我们再扩大显示的区间范围，以观察最后我们再扩大显示的区间范围，以观察在偏离展开点泰勒多项式对函数的逼近情况，在偏离展开点泰勒多项式对函数的逼近情况，为此键入：为此键入：泰勒公式与函数逼近泰勒公式与函数逼近通过观察泰勒多项式图形与函数图形（如图通过观察泰勒多项式图形与函数图形（如

6、图2727）的重合与分离情况。可以看到在的重合与分离情况。可以看到在-，范围内范围内y=y=sinxsinx的的9 9次泰勒多项式与函数图形几乎无差别，次泰勒多项式与函数图形几乎无差别，而在而在-2-2，2 2 范围内范围内 y=y=sinxsinx的各次泰勒多项式陆的各次泰勒多项式陆续与续与y=y=sinxsinx的图象分离，但其的图象分离，但其1515次以及更高次的次以及更高次的泰勒多项式仍紧靠着泰勒多项式仍紧靠着y=y=sinxsinx而在而在-3-3，33范围内其范围内其1515次泰勒多项式的图形也与次泰勒多项式的图形也与y=y=sinxsinx的图象分离。的图象分离。可见，函数的泰勒多项式对于函数的近似程度，可见，函数的泰勒多项式对于函数的近似程度，随着次数的提高。但对于任一确定次数的多项式，随着次数的提高。但对于任一确定次数的多项式，它只在展开点附近的一个局部范围内才有较好的它只在展开点附近的一个局部范围内才有较好的近似精确度。近似精确度。泰勒公式与函数逼近泰勒公式与函数逼近