第6章 分支限界法.ppt

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1、第六章第六章 算法之分支限界法算法之分支限界法本章主要知识点本章主要知识点 6.1 分支限界法的基本思想 6.2 单源最短路径问题 6.3 装载问题 6.4 01背包问题 6.5 批处理作业调度16.1 分支限界法的基本思想分支限界法的基本思想1.分支限界法与回溯法的不同（1）求解目标不同求解目标不同：回溯法的求解目标是找出解空间树中满足约束条件的所有解，而分支限界法的求解目标则是找出满足约束条件的一个解，或是在满足约束条件的解中找出在某种意义下的最优解。（2）搜索方式的不同搜索方式的不同：回溯法以深度优先的方式搜索解空间树，而分支限界法则以广度优先或以最小耗费优先的方式搜索解空间树。26.1

2、 分支限界法的基本思想分支限界法的基本思想2.分支限界法基本思想 分支限界法常以广度优先或以最小耗费（最大效益）优先的方式搜索问题的解空间树。在分支限界法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。活结点一旦成为扩展结点，就一次性产生其所有儿子结点。在这些儿子结点中，导致不可行解或导致非最优解的儿子结点被舍弃，其余儿子结点被加入活结点表中。此后，从活结点表中取下一结点成为当前扩展结点，并重复上述结点扩展过程。这个过程一直持续到找到所需的解或活结点表为空时为止。36.1 分支限界法的基本思想分支限界法的基本思想3.常见的两种分支限界法（1）队列式(FIFO)分支限界法 按照队列先进先出（FIFO）

3、原则选取下一个节点为扩展节点。（2）优先队列式分支限界法 按照优先队列中规定的优先级选取优先级最高的节点成为当前扩展节点。40-1背包问题背包问题 考虑如下0-1背包问题的实例：n=3,c=30,w=16,15,15,p=45,25,25 队列式分支限界法：A B,C=B,C B,C D,E=E C,E F,G=F,G E,F,G J,K=K(45)1,0,0 F,G L,M=L(50)0,1,1 M(25)G N,0=N(25),O(0)不搜索不可行结点为根的子树说明：【活结点列表】可加入活结点队列节点当前扩展节点的子节点50-1背包问题背包问题优先队列式分支限界法：A B,C=B(45),

4、C(0)B,C D,E=E(45)E,C J,K=K(45)1,0,0 C F,G=F(25),G(0)F,G L,M=L(50),0,1,1 M(25)G N,O=N(25),O(0)66.2 单源最短路径问题单源最短路径问题1.问题描述 下面以一个例子来说明单源最短路径问题：在下图所给的有向图G中，每一边都有一个非负边权。要求图G的从源顶点s到目标顶点t之间的最短路径。76.2 单源最短路径问题单源最短路径问题2.算法思想 解单源最短路径问题的优先队列式分支限界法用用一极小堆来存储活结点表一极小堆来存储活结点表。其优先级是结点所对应优先级是结点所对应的当前路长的当前路长。算法从图G的源顶点

5、s和空优先队列开始。结点s被扩展后，它的儿子结点被依次插入堆中。此后，算法从堆中取出具有最小当前路长的结点作为当前扩展结点，并依次检查与当前扩展结点相邻的所有顶点。如果从当前扩展结点i到顶点j有边可达，且从源出发，途经顶点i再到顶点j的所相应的路径的长度小于当前最优路径长度，则将该顶点作为活结点插入到活结点优先队列中。这个结点的扩展过程一直继续到活结点优先队列为空时为止。86.2 单源最短路径问题单源最短路径问题 下图是用优先队列式分支限界法解有向图G的单源最短路径问题产生的解空间树。其中，每一个结点旁边的数字表示该结点所对应的当前路长。96.2 单源最短路径问题单源最短路径问题3.剪枝策略

6、在算法扩展结点的过程中，一旦发现一一个个结结点点的的下下界界不不小小于于当当前前找找到到的的最最短短路路长长，则则算算法法剪去以该结点为根的子树剪去以该结点为根的子树。在算法中，利用结点间的控制关系进行剪枝。从源顶点s出发，2条不同路径到达图G的同一顶点。由于两条路径的路长不同，因此可以将路长长的路径所对应的树中的结点为根的子树剪去。106.2 单源最短路径问题单源最短路径问题 while(true)for(int j=1;j=n;j+)if(cE.ijinf)&(E.length+cE.ijdistj)/顶点i到顶点j可达，且满足控制约束 distj=E.length+cE.ij;prevj

7、=E.i;/加入活结点优先队列 MinHeapNode N;N.i=j;N.length=distj;H.Insert(N);try H.DeleteMin(E);/取下一扩展结点 catch(OutOfBounds)break;/优先队列空 顶点顶点I I和和j j间有边，且此间有边，且此路径长小于原先从原点路径长小于原先从原点到到j j的路径长的路径长 116.3 装载问题装载问题1.问题描述有一批共个集装箱要装上2艘载重量分别为C1和C2的轮船，其中集装箱i的重量为Wi，且装载问题要求确定是否有一个合理的装载方案可将这个集装箱装上这2艘轮船。如果有，找出一种装载方案。如果一个给定装载问题

8、有解，则采用下面的策略可得到最优装载方案。(1)首先将第一艘轮船尽可能装满；(2)将剩余的集装箱装上第二艘轮船。126.3 装载问题装载问题 在算法的while循环中，首先检测当前扩展结点的左儿子结点是否为可行结点。如果是则将其加入到活结点队列中。然后将其右儿子结点加入到活结点队列中(右儿子结点一定是可行结点)。2个儿子结点都产生后，当前扩展结点被舍弃。活结点队列中的队首元素被取出作为当前扩展结点，由于队列中每一层结点之后都有一个尾部标记-1，故在取队首元素时，活结点队列一定不空。当取出的元素是-1时，再判断当前队列是否为空。如果队列非空，则将尾部标记-1加入活结点队列，算法开始处理下一层的活

9、结点。2.队列式分支限界法136.3 装载问题装载问题2.队列式分支限界法while(true)O(2n)if(ew+wi=c)enQueue(ew+wi,i);/检查左儿子结点 enQueue(ew,i);/右儿子结点总是可行的 ew=(Integer)queue.remove().intValue();/取下一扩展结点 if(ew=-1)/同层结点尾部 if(queue.isEmpty()return bestw;queue.put(new Integer(-1);/同层结点尾部标志 ew=(Integer)queue.remove().intValue();/取下一扩展结点 i+;/进入

10、下一层 146.3 装载问题装载问题3.算法的改进 节点的左子树表示将此集装箱装上船，右子树表示不将此集装箱装上船。设bestw是当前最优解；ew是当前扩展结点所相应的重量；r是剩余集装箱的重量。则当ew+rbestw时，可将其右子树剪去，因为此时若要船装最多集装箱，就应该把此箱装上船。另外，为了确保右子树成功剪枝，应该在算法每一次进入左子树的时候更新bestw的值。156.3 装载问题装载问题3.算法的改进（略）/检查左儿子结点 int wt=ew+wi;if(wt bestw)bestw=wt;/加入活结点队列 if(i bestw&i 0;j-)bestxj=(e.leftChild)?

11、1:0;e=e.parent;186.4 0-1背包问题背包问题 首先对输入数据进行预处理，将各物品依其单位重量将各物品依其单位重量价值从大到小进行排列（价值从大到小进行排列（O(nlog(n)）。在下面描述的优先队列分支限界法中，节点的优先级节点的优先级由已装袋的物品价值加上剩下的最大单位重量价值的物品由已装袋的物品价值加上剩下的最大单位重量价值的物品装满剩余容量的价值和装满剩余容量的价值和。算法首先检查当前扩展结点的左儿子结点的可行性。如果该左儿子结点是可行结点，则将它加入到子集树和活结点优先队列中。当前扩展结点的右儿子结点一定是可行结点，仅当右儿子结点满足上界约束时才将它加入子集树和活结

12、点优先队列。当扩展到叶节点时为问题的最优值。1、算法的思想196.4 0-1背包问题背包问题上界函数while(i=n&wi=cleft)/n表示物品总数，cleft为剩余空间 cleft-=wi;/wi表示i所占空间 b+=pi;/pi表示i的价值 i+;if(i=n)b+=pi/wi*cleft;/装填剩余容量装满背包return b;/b为上界函数206.4 0-1背包问题背包问题 while(i!=n+1)/非叶结点 double wt=cw+wi;if(wt bestp)bestp=cp+pi;addLiveNode(up,cp+pi,cw+wi,i+1,enode,true);up

13、=bound(i+1);if(up=bestp)/检查右儿子节点 addLiveNode(up,cp,cw,i+1,enode,false);/取下一个扩展节点（略）分支限界搜索过分支限界搜索过程程216.4 0-1背包问题背包问题思考画出优先队列法解空间树ABCDEFGHIJKLMNO11100011110000例如，对于有n种可选物品的0-1背包问题，其解空间由长度为n的0-1向量组成。n=3,C=30,w=16,15,15,v=45,25,25226.5 批处理作业问题批处理作业问题1.问题的描述 给定n个作业的集合J=J1,J2,Jn。每一个作业Ji都有2项任务要分别在2台机器上完成。

14、每一个作业必须先由机器1处理，然后再由机器2处理。作业Ji需要机器j的处理时间为tji，i=1,2,n；j=1,2。对于一个确定的作业调度，设是Fji是作业i在机器j上完成处理的时间。则所有作业在机器2上完成处理的时间和称为该作业调度的完成时间和。批处理作业调度问题要求对于给定的n个作业，制定最佳作业调度方案，使其完成时间和达到最小。236.5 批处理作业问题批处理作业问题2.限界函数在结点E处相应子树中叶结点完成时间和的下界是：注意到如果选择Pk，使t1pk在k=r+1时依非减序排列，S1则取得极小值。同理如果选择Pk使t2pk依非减序排列，则S2取得极小值。这可以作为优先队列式分支限界法中

15、的限界函数。246.5 批处理作业问题批处理作业问题3.算法描述 算法的while循环完成对排列树内部结点的有序扩展。在while循环体内算法依次从活结点优先队列中取出具有最小bb值（完成时间和下界）的结点作为当前扩展结点，并加以扩展。首先考虑enode.s=n的情形，当前扩展结点enode是排列树中的叶结点。enode.sf2是相应于该叶结点的完成时间和。当enode.sf2 bestc时更新当前最优值bestc和相应的当前最优解bestx。当enode.sn时，算法依次产生当前扩展结点enode的所有儿子结点。对于当前扩展结点的每一个儿子结点node，计算出其相应的完成时间和的下界bb。当

16、bb bestc时，将该儿子结点插入到活结点优先队列中。而当bb bestc时，可将结点node舍去。256.5 批处理作业问题批处理作业问题 do if(enode.s=n)/叶结点 if(enode.sf2 bestc)bestc=enode.sf2;for(int i=0;i n;i+)bestxi=enode.xi;3.算法描述 当当enode.sf2enode.sf2bestcbestc时，时，更新当前最优值更新当前最优值bestebeste和和相应的最优解相应的最优解bestxbestx266.5 批处理作业问题批处理作业问题3.算法描述else/产生当前扩展结点的儿子结点 for(int i=enode.s;i n;i+)MyMath.swap(enode.x,enode.s,i);int f=new int 3;int bb=bound(enode,f);if(bb bestc)HeapNode node=new HeapNode(enode,f,bb,n);heap.put(node);MyMath.swap(enode.x,enode.s,i);/完成结点扩展当当bbbbbestcbestc时，将儿时，将儿子结点插入到活结点子结点插入到活结点优先队列中优先队列中27