第5章-测量误差的基本知识(091023).ppt

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1、第五章 测量误差的基本知识 通过前面的学习，我们了解到在测量的过程和结果中均有误差。本章主要介绍测量误差的分类和处理方法，算术平均值和衡量精度的标准，误差传播定律等内容。研究误差的目的：一是对带有误差的观测值给予适当处理，以求其最可靠值；二是对观测值的精度作出科学的评定。第一节 测量误差的概述 一、测量误差的发现 对同一量多次观测，其观测值不相同，如：钢尺 量距其往返丈量结果不同 观测值之和不等于理论值 平面三角形 +180 闭合水准 h0 反映一个量真正大小的绝对准确的数值，称为这个量的真值 ；与真值相对而言，凡以一定的精确程度反映一个量大小的数值，称为此量的近似值或估计值；通过量测得到一个

2、量的近似值，称为该量的观测值 。一个量近似值与真值的差，叫真误差 。真误差观测值真值，即 (i=1，2，n)二、测量误差产生的原因 1.仪器误差 测量工作中要使用测量仪器。任何仪器只具有一定限度的精密度，使观测值的精密度受到限制。2.观测者感官的限制 由于观测者的视觉、听觉等感官的鉴别能力有一定的局限,所以在仪器的安置、使用中会产生误差，如整平误差、照准误差、读数误差等。3.外界条件的影响 测量工作都是在一定的外界环境条件下进行的，如温度、风力、大气折光等因素，这些因素的差异和变化都会直接对观测结果产生影响，必然给观测结果带来误差。上述三个因素即仪器误差、观测者感官的限制、外界条件的影响总称为

3、观测条件。观测条件相同的同类观测称为等精度观测；观测条件不相同的同类观测称为不等精度观测。在观测值的处理上有所不同。三、测量误差的分类 根据观测误差的性质可分为：系统误差、偶然误差 1.系统误差（又称累积误差）在相同的观测条件下，无论在个体和群体上，呈现出以下特性：误差的绝对值为一常量，或按一定的规律变化；误差在正负号保持不变；误差的绝对值随着单一观测值的倍数而积累。例如 钢尺：尺长、温度、倾斜改正 水准仪：i角误差 经纬仪：c角(视准轴误差)、i角(横轴误差)消除方法 观测值偏离真值的程度称为观测值的准确度。系统误差对观测值的准确度影响很大，但它们的符号和大小有一定的规律。因此，系统误差可以

4、采用适当的措施消除或减弱其影响。处理原则：找出规律，加以改正。测定系统误差的大小，对观测值加以改正。如：钢尺量距中进行尺长、温度、倾斜改正等。校正仪器，将系统误差限制在容许范围内。对称观测，水准测量中，使前后视距离相等 (中间法)；角度观测时，采用盘左盘右取平均值。2.偶然误差（又称补偿误差）在相同的观测条件下，对某个固定量作一系列的观测，如果观测结果的差异在正负号及数值上，都没有表现出一致的倾向，即没有任何规律性，这类误差称为偶然误差。偶然误差的特性 在一定的条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限度；(有界性)绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会要多；(密集性、区间性)绝对值相等的正、

5、负误差出现的机会相等，可相互抵消 同一量的等精度观测，其偶然误差的算术平均值，随着观测次数的增加而趋近于零，即式中 表示求和(抵偿性)实例分析:对一个三角形三个内角进行观测，其和L与真值180的差值为真误差，共观测了358个三角形，可计算出358个真误差。按其大小和一定区间，统计如下表：误差区间：d3误差出现的频率：k/n若用图表示，偶然误差服从正态分布 减弱的方法 观测值之间的离散程度称为观测值的精(密)度，它主要取决于偶然误差的影响。观测值的精度愈高，表示偶然误差的取值范围愈小，观测值之间的差异或离散程度愈小。反之，表示观测值的离散程度愈大，精度愈低。处理原则：多余观测，制定限差。为了提高

6、观测值的精度，通常对偶然误差采用如下 处理方法 .提高仪器等级；.进行多余观测；.求平差值。3.粗差(错误)测错，记错，算错。错误在测量成果中不允许存在。处理原则：细心，多余观测。遵守操作规程、严格检查制度，及时发现和纠正错误。第二节 衡量精度的标准 为对观测值的精度作出科学的评定，常用中误差、极限误差、相对误差作为评定精度的标准。一、中误差（亦称标准差）定义：在相同条件下，对某量(真值为X)进行n次观测，观测值L1,L2，,Ln，偶然误差(真误差)1,2,n，则中误差m为：式中：分析：中误差小，观测精度高。中误差又称为均方误差和标准差。例6-1 已知：用甲乙两台仪器对同一角各观测十次，其真误

7、差为 甲组：3，-2，-1，-4，2，4，3，2，0，-3 乙组：1，0，1，2，-1，0，-7，1，-8，3 求：m甲，m乙 解：，因 ，故认为甲组观测值的精度较乙组高。这是因为乙组的观测值中有较大误差出现。因为中误差能明显反映出误差对测量成果可靠程度的影响，所以成为测量中广泛采用的一种平的精度的指标。二、极限误差（容许误差）定义：由偶然误差的特性知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就是极限误差。通常以2倍中误差为真误差极限误差的估值。测量中通常取2倍或3倍中误差作为偶然误差的容许误差，即作用：区别误差和错误的界限或三、相对误差 相对误差k是指误差与相应观测值

8、D之比，通常以分子为1的分式来表示，即 相对误差的分子也可以是中误差、闭合差(如量距往返量测的两个结果的较差)、真误差或容许误差，分别称为相对中误差、相对闭合差、相对真误差及相对容许误差。与相对误差相对应，中误差、极限(容许)误差、真误差等称为绝对误差。较差率 在距离量测中，常用往返测量结果的较差率来进行检核。较差率为：一般情况角度，高差用中误差m作为衡量精度的标准；量距用相对误差K作为衡量精度的标准。例6-2 已知：D1=100m,m1=0.01m D2=200m,m2=0.01m求：K1,K2解：第三节 误差传播定律 一、误差传播定律 在间接观测的情况下，未知量的中误差和观测值中误差之间必

9、有一定的关系，阐述这种关系的定律为误差传播定律。即根据观测值的中误差去求观测值函数中误差。例：高差 （和差函数）平均距离 （线性函数）实地距离 (倍数函数）三角边 （一般函数）坐标增量 （一般函数）.二、倍数函数的中误差倍数函数：则有：观测值与常数乘积的中误差，等于观测值中误差乘常数。例6-3 在1:500地形图上量得某两点间的距离d=234.5mm，其中误差md=0.2mm，求该两点的地面水平距离D的值及其中误差mD。解：三、和(差)函数的中误差 和差函数：且X1、X2独立，则有 两观测值代数和的中误差平方，等于两观测值中误差的平方和。当Z是一组观测值X1、X2 Xn代数和(差)的函数时，即

10、 ，Z的中误差的平方为：n个观测值代数和(差)的中误差平方，等于n个观测值中误差平方之和。在同精度观测时，观测值代数和(差)的中误差，与观测值个数n的平方根成正比，即例6-4 已知水准仪距水准尺75m时，一次读数中误差为 (包括照准误差、气泡置中误差及水准标尺刻划中误差)，若以三倍中误差为容许误差，试求普通水准测量观测n站所得高差闭合差的容许误差。解：水准测量每一站高差观测n站所得总高差则n站总高差h的中误差若以三倍中误差为容许误差，则高差闭合差容许误差为则每站高差中误差 四、线性函数 线性函数 ，则有例6-5 设对某一个三角形观测了其中、两个角，测角中误差分别为m=3.5，m=6.2，现按公

11、式=180-求得角，试求角的中误差m。解：五、一般函数的中误差 一般函数：，则有误差传播定律的一般形式。例6-6函数式：测得：求：的中误差解：例6-7已知：测量矩形的两边为：a=20.000.02m，b=50.000.04m 求：矩形面积A及其中误差mA解：1.函数式 A=ab=1000米2，2.全微分 dA=bda+adb 3.中误差式例6-8已知：测量斜边D=50.000.05m，测得倾角=15000030求：水平距离D 及其中误差解：1.函数式 ,2.全微分3.化为中误差六、应用误差传播定律的基本步骤1.列出观测值函数的表达式2.对函数Z进行全微分3.写出函数中误差与观测值中误差之间的关

12、系式4.计算观测值函数中误差第四节 算术平均值及其中误差 一、算术平均值(最或然值)设在相同的观测条件下对未知量观测了n次，其真值为X 观测值为L1、L2Ln，其算术平均值为：为该量的最可靠的数值，称为“最或是值”。证明：设某量的真值为X，各次观测值为l1，l2ln，相应的真误差为 ，则.相加并除以n得式中：为算术平均值，即为算术平均值的真误差，即 由偶然误差第四特性知道，当观测次数无限增多时，趋近于零，即 n趋近无穷大时，算术平均值即为真值。在实际工作中，把有限次观测值的算术平均值作为该量的最或是值。二、观测值的改正数 算术平均值与观测值之差称为观测值的改正数（v）：上式相加得 一组观测值取

13、算术平均值后，其改正值之和恒等于零。这一特性可以作为计算中的校核。三、按观测值的改正值计算中误差 由于未知量的真值X一般无法确知，真误差 也是未知数，故不能直接用 求出中误差。实际工作中，多利用观测值的改正数v来计算观测值的中误差，公式（也称为白塞尔公式）：可以根据偶然误差的特性证明之。设算术平均值的中误差为mx，则有故 由此可知，算术平均值的中误差为观测值的中误差的 倍。因为式中：1/n为常数；由于各独立观测值的精度相同，设其中误差均为m。四、算术平均值中误差例6-9 设对某角进行了5次同精度观测，观测结果如下表，试求其观测值的中误差及算术平均值的中误差。-+观测值中误差算术平均值中误差为第

14、六节 权 一、不等精度观测及观测值的权 对某一未知量进行非等精度观测时，各观测结果的中误差也各不相同，各观测值便具有不同程度的可靠性。各非等精度观测值的可靠程度，可用一个数值来表示，称其为各观测值的权。“权”是权衡轻重的意思，观测值的精度愈高，其权愈大。权通常用“P”表示。二、权与中误差的关系 测量误差理论中，定义权与中误差的平方成反比，即 式中：为任意大于零的常数。权等于1的中误差称为“单位权中误差”。用m0表示。因此权的另一种表达式为：中误差的另一种表达式为：一般取一次观测、单位长度等的测量误差作为单位权中误差m0。例6-10 设以非等精度观测某角度，各观测结果的中误差分别为则其权各为设 ，则由此可以看出观测值的精度愈高，其权愈大。加权算术平均值单位权中误差为三、加权算术平均值及其中误差 实用中，常用观测值的改正数vix-li来计算中误差M0，有加权算术平均值中误差为