数值分析(27) 常微分方程初值问题的数值方法.ppt

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1、数值分析数值分析数值分析数值分析第十章第十章 常微分方程数值解常微分方程数值解第一节第一节 求解初值问题数值方法的基本原理求解初值问题数值方法的基本原理第二节第二节 高精度的单步法高精度的单步法 第三节第三节 线性多步法线性多步法第四节第四节 一阶微分方程组的解法一阶微分方程组的解法第五节第五节 边值问题的打靶法和差分法边值问题的打靶法和差分法数值分析数值分析数值分析数值分析考虑一阶考虑一阶常常微分方程的初值问题微分方程的初值问题/*Initial-Value Problem*/:只要只要 f(x,y)在在a,b R1 上连续，且关于上连续，且关于 y 满足满足 Lipschitz 条条件件，

2、即存在与，即存在与 x,y 无关的常数无关的常数 L 使使对任意定义在对任意定义在 a,b 上的上的 y1(x)和和 y2(x)都成立，则上述都成立，则上述IVP存在唯一解。存在唯一解。要计算出解函数要计算出解函数 y(x)在一系列节点在一系列节点 a=x0 x10,使得使得数值分析数值分析数值分析数值分析对一切对一切 成立成立,则该方法收敛则该方法收敛,且有且有 由该定理可知整体截断误差总比局部截断误差低一阶由该定理可知整体截断误差总比局部截断误差低一阶 对改进的对改进的Euler法法,于是有于是有 设设L为为f关于关于y的的Lipschitz常数常数,则由上式可得则由上式可得限定限定h即可

3、知即可知Q满足满足Lipschitz条件条件,故而改进的故而改进的Euler法收敛法收敛.数值分析数值分析数值分析数值分析例：例：考察初值问题考察初值问题 在区间在区间0,0.5上的解。上的解。分别用欧拉显、隐式格式和改进的欧拉格式计算数值解。分别用欧拉显、隐式格式和改进的欧拉格式计算数值解。0.00.10.20.30.40.5精确解精确解改进欧拉法改进欧拉法 欧欧拉拉隐式隐式欧拉欧拉显式显式 节点节点 xi 1.0000 2.0000 4.0000 8.0000 1.6000 101 3.2000 101 1.00002.5000 10 1 6.2500 10 21.5625 10 23.9

4、063 10 39.7656 10 41.00002.50006.25001.5626 1013.9063 1019.7656 1011.00004.9787 10 22.4788 10 31.2341 10 46.1442 10 63.0590 10 73.稳定性稳定性数值分析数值分析数值分析数值分析定义定义若若某某算算法法在在计计算算过过程程中中任任一一步步产产生生的的误误差差在在以以后后的的计计算算中中都都逐逐步步衰衰减减，则则称称该该算算法法是是绝绝对对稳稳定定的的/*absolutely stable*/。一般分析时为简单起见，只考虑一般分析时为简单起见，只考虑试验方程试验方程/*t

5、est equation*/常数，可以常数，可以是复数是复数当当步长取为步长取为 h 时，将某算法应用于上式，并假设只在初值时，将某算法应用于上式，并假设只在初值产生误差产生误差 ，则若此误差以后逐步衰减，就称该算法，则若此误差以后逐步衰减，就称该算法相对于相对于 绝对稳定绝对稳定，的全体构成的全体构成绝对稳定区域绝对稳定区域。我们。我们称称算法算法A 比算法比算法B 稳定稳定，就是指，就是指 A 的绝对稳定区域比的绝对稳定区域比 B 的的大大。hl l h=h数值分析数值分析数值分析数值分析例：例：考察显式欧拉法考察显式欧拉法由此可见，要保证初始误差由此可见，要保证初始误差 0 以后逐步衰减

6、，以后逐步衰减，必须满足：必须满足：0-1-2ReImg例：例：考察隐式欧拉法考察隐式欧拉法可见绝对稳定区域为：可见绝对稳定区域为：210ReImg注：注：一般来说，隐式欧拉法的绝对稳定性比同阶的显式法一般来说，隐式欧拉法的绝对稳定性比同阶的显式法的好。的好。数值分析数值分析数值分析数值分析第二节第二节 高精度的单步法高精度的单步法在高精度的单步法中在高精度的单步法中,应用最广泛的是应用最广泛的是RungeRunge-KuttaKutta(龙格龙格-库塔库塔)方法方法一一、Runge-Kutta法的基本思想（法的基本思想（1）数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析Ru

7、nge-Kutta法的基本思想（法的基本思想（2）数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析Runge-Kutta法的基本思想（法的基本思想（3）数值分析数值分析数值分析数值分析二、二阶龙格库塔方法二、二阶龙格库塔方法数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析三、三阶龙格库塔方法三、三阶龙格库塔方法数值分析数值分析数值分析数值分析四、四阶龙格库塔方法四、四阶龙格库塔方法数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析两点说明两点说明:数值分析数值分析数值分析数值分析五、变步长的龙格五、变步长的龙格库塔方法库塔方法数值分析数值分析数值分析数值分析R-K方法的绝对稳定区域数值分析数值分析数值分析数值分析