苏教版高三数学复习课件11.2 直接证明与间接证明.ppt

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1、n 了解直接了解直接证证明的两种方法明的两种方法分析法和分析法和综综合法合法/了解分析法和了解分析法和综综合法的思考合法的思考过过程、特点程、特点/了解了解间间接接证证明的一种基本方法明的一种基本方法反反证证法，法，了解反了解反证证法的思想法的思想过过程、特点程、特点第第2 2课时课时 直接证明与间接证明直接证明与间接证明n直接直接证证明与明与间间接接证证明是高考重点考明是高考重点考查查的内容之一，每年都有涉及，的内容之一，每年都有涉及，主要以解答主要以解答题题的形式出的形式出现现，属于中档，属于中档题题n1分析法和分析法和综综合法是两种思路相反的合法是两种思路相反的证证明推理方法：分析法是倒

2、推，明推理方法：分析法是倒推，综综合法是合法是顺顺推分析法推分析法侧侧重重结论结论提供的信息，提供的信息，综综合法合法则侧则侧重条件提供重条件提供的信息，把两者的信息，把两者结结合起来，全方位地收集、合起来，全方位地收集、储储存、加工和运用存、加工和运用题题目提目提供的全部信息，就能找到合理的解供的全部信息，就能找到合理的解题题思路因此，在思路因此，在实际实际解解题时题时，常，常常把常把综综合法和分析法合法和分析法结结合起来运用，先以分析法合起来运用，先以分析法为为主主寻寻求解求解题题思路，思路，再用再用综综合法有条理地表述解答或合法有条理地表述解答或证证明明过过程，有程，有时还时还要把分析法

3、和要把分析法和综综合合法法结结合起来交替使用，才能成功合起来交替使用，才能成功【命题预测命题预测】【应试对策应试对策】n2掌握掌握证证明的方法、步明的方法、步骤骤，尤其是分析法，一定要在如何准确地表，尤其是分析法，一定要在如何准确地表达上下一番工夫，遇到达上下一番工夫，遇到证证明明问题时问题时要要进进行具体的分析，合理地行具体的分析，合理地选择选择好好解决解决问题问题的方法，不断地提高解的方法，不断地提高解题题能力能力n3使用反使用反证证法法证证明明问题时问题时，准确地作出假，准确地作出假设设(即否定即否定结论结论)是正确运用是正确运用反反证证法的前提，明确反法的前提，明确反证证法的法的证题证

4、题步步骤骤，掌握一些常，掌握一些常见见命命题题的否定形的否定形式，熟悉推出矛盾的几种常式，熟悉推出矛盾的几种常见类见类型，是用好反型，是用好反证证法的关法的关键键反反证证法适法适宜宜证证明明带带有有“存在性存在性”、“唯一性唯一性”、“至少有一个至少有一个”或或“至多有一个至多有一个”等字等字样样的一些数学的一些数学问题问题用反用反证证法法证证明命明命题题的一般步的一般步骤为骤为：n(1)分清命分清命题题的条件和的条件和结论结论；n(2)作出与命作出与命题结论题结论相矛盾的假相矛盾的假设设；n(3)由假由假设设出出发发，应应用正确的推理方法，推出矛盾的用正确的推理方法，推出矛盾的结结果；果；n

5、(4)断断定定产产生生矛矛盾盾结结果果的的原原因因，则则开开始始所所作作的的假假定定不不真真，于于是是原原结论结论成立，从而成立，从而间间接的接的证证明原命明原命题为题为真真n4用反用反证证法法证证明明时时，当求，当求证结论证结论的否定有几种不同的情况的否定有几种不同的情况时时，应应当一当一一推出矛盾，切勿一推出矛盾，切勿遗遗漏，反漏，反证证法出法出现现什么什么样样的矛盾，事先无法的矛盾，事先无法预预料，料，因此，用反因此，用反证证法法证证明明时时，应应随随时审视时审视每个推理的每个推理的结论结论是否与是否与题设题设、定、定义义、公理、公式、法、公理、公式、法则则矛盾，甚至自相矛盾等矛盾，甚至

6、自相矛盾等n反证法的应用反证法的应用n(1)反反证证法法的的理理论论依依据据是是逻逻辑辑规规律律中中的的排排除除法法：一一个个事事物物或或者者是是A A或或者者是是，二二者者必必居居其其一一，反反证证法法即即证证明明结结论论的的反反面面错错误误，从从而而结结论论正正确确n(2)反反证证法法可可以以证证明明的的命命题题的的范范围围相相当当广广泛泛，一一般般常常见见的的如如：唯唯一一性性问问题题，无无限限性性问问题题，肯肯定定性性问问题题，否否定定性性问问题题，存存在在性性问问题题，不不等式等式问题问题，等式，等式问题问题，函数，函数问题问题，整除，整除问题问题，几何，几何问题问题等等【知识拓展知

7、识拓展】n(3)反反证证法法中中的的“反反设设”，这这是是应应用用反反证证法法的的第第一一步步，也也是是关关键键一一步步“反反设设”的的结结论论将将是是下下一一步步“归归谬谬”的的一一个个已已知知条条件件“反反设设”是是否否正正确确、全全面，直接影响下一步的面，直接影响下一步的证证明做好明做好“反反设设”应应明确：明确：n正确分清正确分清题设题设和和结论结论；对结论实对结论实施正确否定；施正确否定；n对结论对结论否定后，找出其所有情况否定后，找出其所有情况n例例如如，A：大大于于；：不不大大于于不不大大于于即即小小于于或或等等于于，对对这这两两种种情情况况在下一步的在下一步的“归谬归谬”中中应

8、应一一一一证证明不成立明不成立n(4)反反证证法法的的“归归谬谬”它它是是反反证证法法的的核核心心其其含含义义是是：从从命命题题结结论论的的假假设设(即即把把“反反设设”作作为为一一个个新新的的已已知知条条件件)及及原原命命题题的的条条件件出出发发，引引用用一一系系列列论论据据进进行行正正确确推推理理，推推出出与与已已知知条条件件、定定义义、定定理理、公公理理等等相相矛矛盾盾的的结结果果n(5)应应用反用反证证法法证证明数学命明数学命题题，一般有下面几个步，一般有下面几个步骤骤：n第一步：分清命第一步：分清命题题“pq”的条件和的条件和结论结论；n第二步：作出与命第二步：作出与命题结论题结论q

9、相矛盾的假相矛盾的假设设綈綈q；n第三步：由第三步：由p和和綈綈q出出发发，应应用正确的推理方法，推出矛盾用正确的推理方法，推出矛盾结结果；果；n第第四四步步：断断定定产产生生矛矛盾盾结结果果的的原原因因在在于于开开始始所所作作的的假假设设綈綈q不不真真，于于是是原原结论结论q成立，从而成立，从而间间接地接地证证明了命明了命题题pq为为真真n第五步：所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理、已知定第五步：所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理、已知定义、已知定理或已知条件矛盾，与临时假设矛盾以及自相矛盾等各种情义、已知定理或已知条件矛盾，与临时假设矛盾以及自相矛盾等各种情况况n 1直

10、接证明直接证明n(1)定义：直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法定义：直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法n n(2)ABC本题结论本题结论n n(3)综综合法合法n定定义义：从从 条条件件出出发发，以以已已知知的的定定义义、定定理理、公公理理为为依依据据，逐逐步步推推出出 ，直直到到推推出出要要证证明明的的结结论论为为止止这这种种证证明明方方法法称称为为综合法综合法已知已知结论结论n推推证过证过程：程：n(4)分析法分析法n定定义义：从从 出出发发，追追溯溯导导致致结结论论成成立立的的条条件件，逐逐步步寻寻求求结结论论成成立立的的 ，直直到到使使结结论论成成立立的的条条件件和

11、和已已知知条条件件或或已已知知事事实实吻吻合合为为止止这这种种证证明方法称明方法称为为分析法分析法n推推证过证过程：程：结论结论条件条件n思考：思考：综合法和分析法有什么区别与联系？综合法和分析法有什么区别与联系？n提提示示：分分析析法法的的特特点点是是：从从“未未知知”看看“需需知知”，逐逐步步靠靠拢拢“已已知知”，其其逐逐步步推推理理，实实际际上上是是寻寻求求它它的的充充分分条条件件，综综合合法法的的特特点点是是：从从“已已知知”看看“可可知知”，逐逐步步推推向向“未未知知”，其其逐逐步步推推理理，实实际际上上是是寻寻求求它它的的必必要要条条件件，分分析析法法与与综综合合法法各各有有其其特

12、特点点，有有些些具具体体的的待待证证命命题题，用用分分析析法法或或综综合合法法均均能能证明出来，往往选择较简单的一种证明出来，往往选择较简单的一种n2间接证明间接证明n(1)间间接接证证明明n不是直接不是直接证证明的方法通常称明的方法通常称为间为间接接证证明明n(2)反反证证法法n反反证证法法的的证证明明过过程程可可以以概概括括为为“”，即即从从否否定定的的结结论论开开始始，经经过过正正确确的的推推理理，导导致致逻逻辑辑矛矛盾盾，从从而而达达到到新新的的否定否定(即肯定原命即肯定原命题题)的的过过程程否定否定推理推理否定否定n1否否定定“自自然然数数a，b，c中中恰恰有有一一个个偶偶数数”时时

13、，正正确确的的反反设设为为_n答案：答案：自然数自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数中至少有两个偶数或都是奇数n2若若 2，则则 _，n解析：解析：2.n答案：答案：2n3若若a1，b1，则则ab的取的取值值范范围围是是_n解析：解析：ab1(1)0.n答案：答案：(0，)n4整数整数a，b都能被都能被5整除的否定是整除的否定是_n答案：答案：a，b中至少有一个不能被中至少有一个不能被5整除整除n5若若ab0，则则下列不等式中下列不等式中总总成立的是成立的是_n答案：答案：n1综综合合法法是是“由由因因导导果果”，它它是是从从已已知知条条件件出出发发，顺顺着着推推证证，经经过过一一系系列

14、列的的中中间间推推理理，最最后后导导出出所所证证结结论论的的真真实实性性用用综综合合法法证证明明题题的的逻逻辑辑关关系系是是：AB1B2BnB(A为为已已知知条条件件或或数数学学定定义义、定定理理、公理等，公理等，B为为要要证结论证结论)，它的常，它的常见书见书面表达是面表达是“，”或或“”n2综综合合法法是是中中学学数数学学证证明明中中常常用用方方法法，其其逻逻辑辑依依据据是是三三段段论论式式的的演演绎绎推理方法推理方法n【例例1】(南南通通市市高高三三调调研研)在在四四棱棱锥锥PABCD中中，四四边边形形ABCD是是梯梯形形，ADBC，ABC90，平平面面PAB平平面面ABCD，平面平面P

15、AD平面平面ABCD.n(1)求证求证：PA平面平面ABCD；n(2)若若平平面面PAB平平面面PCDl，问问：直直线线l能否与平面能否与平面ABCD平行平行？请说明理由请说明理由n思思路路点点拨拨：(1)证证PAAD，PAAB，(2)设设ABCDT，证证PT为面为面PAB与面与面PCD的交线的交线n(1)证明：证明：因因为为ABC90，ADBC，所以，所以ADAB.n又平面又平面PAB平面平面ABCD，且平面，且平面PAB平面平面ABCDAB，n所以所以AD平面平面PAB，所以，所以ADPA.n同理可得同理可得ABPA.n由于由于AB、AD平面平面ABCD，且，且ABADA，所以，所以PA平

16、面平面ABCD.n(2)解解：因因为为梯梯形形ABCD中中ADBC，所所以以直直线线AB与与直直线线CD相相交交，设设ABCDT.n由由TCD，CD平面平面PCD得得T平面平面PCD.同理同理T平面平面PAB.n即即T为为平平面面PCD与与平平面面PAB的的公公共共点点，于于是是PT为为平平面面PCD与与平平面面PAB的交的交线线l.所以直所以直线线l与平面与平面ABCD不平行不平行n 变变式式1：(盐盐城城市市高高三三调调研研考考试试)如如图图，在在四四棱棱锥锥PABCD中中，侧侧面面PAD底底面面ABCD，侧侧棱棱PAPD，底底面面ABCD是是 直直 角角 梯梯 形形，其其 中中 BCAD

17、，BAD90，AD3BC，O是是AD上上一一点点n(1)若若CD平平面面PBO，试试指指出出点点O的位置的位置；n(2)求证求证：平面平面PAB平面平面PCD.n(1)解解：因因为为CD平平面面PBO，CD平平面面ABCD，且且平平面面ABCD平平面面PBOBO，n所所以以BOCD.又又BCAD，所所以以四四边边形形BCDO为为平平行行四四边边形形，则则BCDO.n 而而AD3BC，故点，故点O的位置的位置满满足足AO2OD.n(2)证明：证明：因因为侧为侧面面PAD底面底面ABCD，nAB底面底面ABCD，且，且AB交交线线AD，所以，所以AB平面平面PAD，则则ABPD.n又又PAPD，且

18、，且PA平面平面PAB，AB平面平面PAB，ABPAA，n所以所以PD平面平面PAB.而而PD平面平面PCD，所以平面，所以平面PAB平面平面PCD.n1分分析析法法也也是是中中学学数数学学证证明明问问题题的的常常用用方方法法，其其主主要要过过程程是是从从结结论论出出发发，逐步，逐步寻寻求使求使结论结论成立的充分条件成立的充分条件n2分分析析法法是是“执执果果索索因因”，它它是是从从要要证证的的结结论论出出发发，倒倒着着分分析析，逐逐渐渐地靠近已知事地靠近已知事实实n 用分析法用分析法证证“若若P则则Q”这这个命个命题题的模式是：的模式是：n 为为了了证证明命明命题题Q为为真，真，n这这只需只

19、需证证明命明命题题P1为为真，从而有真，从而有n这这只需只需证证明命明命题题P2为为真，从而有真，从而有nn这这只需只需证证明命明命题题P为为真真n而已知而已知P为为真，故真，故Q必必为为真真n【例例2】求证求证：logn(n1)log(n1)(n2)，其中其中nN且且n1.n思路点拨：思路点拨：为了便于比较，应等价变形为同底对数为了便于比较，应等价变形为同底对数 nn1，lg n，lg(n1)，lg(n2)均均为为正正数数去去分分母母，则则需需证证不不等等式式lg nlg(n2)log(n1)(n2)，其中其中nN且且n1，n只需证只需证 ，n只需证只需证lg nlg(n2)log(n1)(

20、n2)成立成立n变式变式2：已已知知a、b(0，),2cab.n求证：求证：(1)c2ab；(2)c aab，a、b0，4c2(ab)2a2b22ab2ab2ab4ab.c2ab.n(2)要要证证c ac ，只只需需证证 ac ，n只需只需证证|ac|，只需，只需证证|ac|2()2，n只需只需证证a22acc2a2ab.na0，只需只需证证2cab，这这是是题设题设条件故原不等式成立条件故原不等式成立n反反证证法是法是间间接接证证明明问题问题的一种常用方法，其的一种常用方法，其证证明明问题问题的一般步的一般步骤为骤为：n(1)反反设设：假假定定所所要要证证的的结结论论不不成成立立，而而设设结

21、结论论的的反反面面(否否定定命命题题)成成立立；(否定否定结论结论)n(2)归归谬谬：将将“反反设设”作作为为条条件件，由由此此出出发发经经过过正正确确的的推推理理，导导出出矛矛盾盾与与已已知知条条件件、已已知知的的公公理理、定定义义、定定理理及及明明显显的的事事实实矛矛盾盾或或自自相相矛矛盾盾；(推推导导矛盾矛盾)n(3)结结论论：因因为为推推理理正正确确，所所以以产产生生矛矛盾盾的的原原因因在在于于“反反设设”的的谬谬误误既既然然结论结论的反面不成立，从而肯定了的反面不成立，从而肯定了结论结论成立成立(结论结论成立成立)n【例例3】若若x，y都是正实数都是正实数，且且xy2，n求证求证：2

22、或或 2中至少有一个成立中至少有一个成立n思思路路点点拨拨：本本题题结结论论以以“至至少少”形形式式出出现现，从从正正面面思思考考有有多多种种形形式式，不不易入手，易入手，n 故可用反证法加以证明故可用反证法加以证明n证证明明：假假设设 2和和 0且且n y0，所以所以1x2y，且且1y2x，两式相加两式相加，得得2xy2x2y，n所所以以xy2，这这与与已已知知条条件件xy2矛矛盾盾，因因此此 2和和 2中中至至少少有有一个成立一个成立n变式变式3：设设an是公比为是公比为q的等比数列的等比数列，Sn是它的前是它的前n项和项和.n(1)求求证证：数数列列Sn不不是是等等比比数数列列；(2)数

23、数列列Sn是是等等差差数数列列吗吗？为为什么什么？n(1)证明证明：证法一证法一：反证法：反证法：n若若Sn是是等等比比数数列列，则则S S1S3，即即 (1q)2a1a1(1qq2)na10，(1q)21qq2，即即q0与与q0矛矛盾盾，故故Sn不不是是等等比数列比数列n证证法法二二：只只需需证证明明SnSn2 .Sn1a1q Sn，Sn2a1qSn1，nSnSn2 Sn(a1qSn1)(a1qSn)Sn1a1(SnSn1)a1an10.n(2)解：解：当当q1时时，Sn是等差数列是等差数列n当当q1时时，Sn不不是是等等差差数数列列，否否则则S1，S2，S3成成等等差差数数列列，即即2S2

24、S1S3.n2a1(1q)a1a1(1qq2)a10，2(1q)2qq2，qq2，nq1，q0与与q0矛盾矛盾.n1分析法的特点是：从未知看需知，逐步靠拢已知分析法的特点是：从未知看需知，逐步靠拢已知n2综合法的特点是：从已知看可知，逐步推出未知综合法的特点是：从已知看可知，逐步推出未知n3分分析析法法和和综综合合法法各各有有优优缺缺点点分分析析法法思思考考起起来来比比较较自自然然，容容易易寻寻找找到到解解题题的的思思路路和和方方法法，缺缺点点是是思思路路逆逆行行，叙叙述述较较繁繁；综综合合法法从从条条件件推推出出结结论论，较较简简捷捷地地解解决决问问题题，但但不不便便于于思思考考实实际际证证

25、题题时时常常常常两两法法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来n4应用反证法证明数学命题，一般分下面几个步骤：应用反证法证明数学命题，一般分下面几个步骤：【规律方法总结规律方法总结】n应用反证法证明数学命题，一般有下面几个步骤：应用反证法证明数学命题，一般有下面几个步骤：n第一步：分清命题第一步：分清命题“p pq q”的条件和结论；的条件和结论；n第二步：作出与命题结论第二步：作出与命题结论q q相矛盾的假设綈相矛盾的假设綈q q；n第三步：由第三步：由p p和綈和綈q q出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；出发，应用正确

26、的推理方法，推出矛盾结果；n第第四四步步：断断定定产产生生矛矛盾盾结结果果的的原原因因在在于于开开始始所所作作的的假假设设綈綈q q不不真真，于是原结论于是原结论q q成立，从而间接地证明了命题成立，从而间接地证明了命题p pq q为真为真n第第三三步步所所说说的的矛矛盾盾结结果果，通通常常是是指指推推出出的的结结果果与与已已知知公公理理矛矛盾盾、与与已已知知定定义义矛矛盾盾、与与已已知知定定理理矛矛盾盾、与与已已知知条条件件矛矛盾盾、与与临临时时假假定定矛矛盾以及自相矛盾等各种情况盾以及自相矛盾等各种情况n 【例例4】(本小题满分本小题满分15分分)已知表中的已知表中的对对数数值值有且只有两

27、个是有且只有两个是错误错误的的n n (1)假假设设上表中上表中lg 32ab与与lg 5ac都是正确的，都是正确的，试试判断判断lg 61abc是否正确，是否正确，给给出判断出判断过过程；程；n(2)试试将两个将两个错误错误的的对对数数值值均指出来并加以改正均指出来并加以改正(不要求不要求证证明明)x1.53567lg x3abc2abac1abc2(ac)x891427lg x3(1ac)2(2ab)1a2b3(2ab)n规范解答：规范解答：(1)由由lg 5ac，得得lg 21ac.3分分n所以所以lg 6lg 2lg 31ac2ab1abc.6分分n满满足表中数足表中数值值，也就是，也

28、就是lg 6在假在假设设下是正确的下是正确的.7分分n(2)lg 1.5是是错误错误的，的，9分分n正确正确值应为值应为3abc1.11分分nlg 7是是错误错误的，的，13分分n正确正确值应为值应为2bc.15分分n1在在ABC中中，三三个个内内角角A，B，C的的对对边边分分别别为为a，b，c，且且A，B，C成等差数成等差数n列，列，a，b，c成等比数列，求成等比数列，求证证ABC为为等等边边三角形三角形n分分析析：将将A，B，C成成等等差差数数列列转转化化为为符符号号语语言言就就是是2BAC；A，B，C为为nABC的的内内角角，这这是是一一个个隐隐含含条条件件，明明确确表表示示出出来来是是

29、ABC；a，b，c成等比数列，转化为符号语言就是成等比数列，转化为符号语言就是b2ac.n证明：证明：由由A，B，C成等差数列成等差数列，有有2BAC.n因为因为A，B，C为为ABC的内角的内角，所以所以nABC.n由由得得B .由由a，b，c成等比数列成等比数列，有有b2ac.n由余弦定理由余弦定理，可得可得b2a2c22accos Ba2c2ac，n即即a2c2acac，(ac)20.n因因此此ac，从从而而AC，因因此此得得ABC ，所所以以ABC为为等等边边三三角形角形n2已知函数已知函数f(x)ax (a1)，证证明方程明方程f(x)0没有没有负负数根数根n分分析析：应应根根据据题题目目的的特特征征和和要要求求选选择择证证明明方方法法，本本题题用用反反证证法法入入手手较较为为容容易易，先先假假定定存存在在x00(x01)满满足足f(x0)0，然然后后推推得得结结果果与与假假设设x00矛盾矛盾n证明证明：假：假设设存在存在x00(x01)满满足足f(x0)0，则则ax0 .n0 1，0 1，即即 x02，与与假假设设x00矛矛盾，盾，n故方程故方程f(x)0没有没有负负数根数根