第八章 状态变量分析法.ppt

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1、第八章第八章 状态变量分析法状态变量分析法 contents连续时间系统状态方程的求解连续时间系统状态方程的求解8-4状态和状态变量状态和状态变量8-1连续时间系统状态方程的建立连续时间系统状态方程的建立8-2离散时间系统的状态方程离散时间系统的状态方程8-3离散时间系统状态方程的求解离散时间系统状态方程的求解8-5由状态方程判定系统的稳定性由状态方程判定系统的稳定性8-6系统的能控性和可观测性系统的能控性和可观测性8-78-1 状态和状态变量状态和状态变量 状态变量法是以系统内部变量为基础建立的系统方程。状态变量法是以系统内部变量为基础建立的系统方程。由于它可以引用控制系统理论的概念、方法，

2、又适宜于由于它可以引用控制系统理论的概念、方法，又适宜于计算机的数值求解，所以不仅对于单输入单输出系统的计算机的数值求解，所以不仅对于单输入单输出系统的分析，而且更适用于多输入多输出系统、非线性系统以分析，而且更适用于多输入多输出系统、非线性系统以及时变电路的分析及时变电路的分析8-1-1 状态方程的引出状态方程的引出状态变量分析法定义：状态变量分析法定义：第一，用任意瞬时的状态值和此以后的激励可以唯一地第一，用任意瞬时的状态值和此以后的激励可以唯一地确定的任意时的状态。确定的任意时的状态。第二，用任意瞬时的状态值和此瞬时以后的激励值就可第二，用任意瞬时的状态值和此瞬时以后的激励值就可以唯一地

3、确定此瞬时电路中所有变量的值。以唯一地确定此瞬时电路中所有变量的值。用来定义电路状态的变量，则称为状态变量。用来定义电路状态的变量，则称为状态变量。【例题例题8-1】图图8-1所示的电路中，列些其状态方程和输出所示的电路中，列些其状态方程和输出方程。方程。图图8-1 一个二阶电路一个二阶电路即可最后求得即可最后求得 。所以所以 满满足上述条件一；足上述条件一；将状态方程组写成如下形式将状态方程组写成如下形式输出方程输出方程一个电路的状态变量不是唯一的，但必须是独立的，且一个电路的状态变量不是唯一的，但必须是独立的，且是最少个数的是最少个数的在在 已知后，使用已知后，使用KCL或者或者KVL等关

4、系等关系8-1-2 状态变量分析法的名词状态变量分析法的名词状态：状态：对对于一个于一个动态动态系系统统的状的状态态是表示系是表示系统统的一的一组组最少最少变变量量（称（称为为状状态变态变量）。只要知道量）。只要知道 时这组变时这组变量和量和 时时的的输输入，那么就能完全确定系入，那么就能完全确定系统统在任何在任何时间时间 的的行行为为。状态变量：状态变量：能够表示系统状态的那么变量称为状态变量。能够表示系统状态的那么变量称为状态变量。状态矢量：状态矢量：能够完全描述一个系统行为的能够完全描述一个系统行为的n个状态变量构成了状态个状态变量构成了状态矢量。如一个二维矢量矢量。如一个二维矢量状态空

5、间：状态空间：状态矢量状态矢量(t)所在的空间。如果一个系统需要所在的空间。如果一个系统需要n个状态变个状态变量来描述，则状态矢量是量来描述，则状态矢量是n维矢量，对应的状态空间就维矢量，对应的状态空间就是是n维空间。维空间。状态轨迹：状态轨迹：在状态空间中状态矢量端点随时间变化所描出的路径称在状态空间中状态矢量端点随时间变化所描出的路径称为状态轨迹。为状态轨迹。8-1-3 状态变量分析法的优点状态变量分析法的优点用状态变量分析系统的优点在于：用状态变量分析系统的优点在于：(1)便于研究系统内部的一些物理量的变化规律，这便于研究系统内部的一些物理量的变化规律，这些物理量可以用状态矢量的一个分量

6、来表示。些物理量可以用状态矢量的一个分量来表示。(2)这种以矢量和矩阵表示的系统的数学模型适用于这种以矢量和矩阵表示的系统的数学模型适用于描述多输入描述多输入-多输出系统。多输出系统。(3)由于系统的状态方程都是一阶微分方程或一阶差由于系统的状态方程都是一阶微分方程或一阶差分方程，便于采用数值解法，便于计算机求解。分方程，便于采用数值解法，便于计算机求解。【例题例题8-2】如果在例题如果在例题8-1中，取中，取 ，。并且。并且 ，。分析在。分析在 和和 的两种情况下状态轨迹。的两种情况下状态轨迹。解解：当当 时，可解出时，可解出根据结果很容易画出的根据结果很容易画出的，波形以及状态轨迹。波形以

7、及状态轨迹。图图8-2 时，时，的波形的波形图图8-3 时状态矢量时状态矢量 的轨迹图的轨迹图当当 时，可解出时，可解出图图8-4 时，时，的波形的波形图图8-5 时状态矢量时状态矢量 的轨迹图的轨迹图8-2 连续时间系统状态方程的建立连续时间系统状态方程的建立8-2-1 连续时间系统状态方程的普遍形式连续时间系统状态方程的普遍形式如果系统是线性时不变的，则状态方程和输出方程是状态如果系统是线性时不变的，则状态方程和输出方程是状态变量和输入信号的线性组合。即：变量和输入信号的线性组合。即：其中，其中，C为为rn的输出矩阵，的输出矩阵，D为为rm的矩阵的矩阵如果用矢量矩阵表示，即状态方程为：如果

8、用矢量矩阵表示，即状态方程为：其中，其中，A为为nn的系的系统统矩矩阵阵，B为为nm的控制矩的控制矩阵阵。8-2-2 直接列写系统的状态方程直接列写系统的状态方程建立建立动态电动态电路的状路的状态态方程的步方程的步骤骤：我我们们一般以独立一般以独立电电容容电压电压及独立及独立电电感感电电流作流作为为状状态变态变量；量；需要需要对对含有一个含有一个电电容同容同时时允允许许包含包含电电感、感、电电阻及阻及电电流流源的源的节节点（或者割集）列写点（或者割集）列写KCL方程。方程。对对含有一个含有一个电电感同感同时时允允许许包括包括电电容、容、电电阻和阻和电压电压源的源的回路列些回路列些KVL方程，即

9、可列出系方程，即可列出系统统的状的状态态方程。方程。因因为为状状态态方程的左方程的左边边是状是状态变态变量的量的导导函数函数 ，从从元件的伏安特性可知，元件的伏安特性可知，与与电电容的容的电电流有关，流有关，与与电电感的感的电压电压有关。有关。上述所列方程中，若含有除激励以外的非状态变量，上述所列方程中，若含有除激励以外的非状态变量，则利用适当的节点电流方程或回路电压方程将它们消去则利用适当的节点电流方程或回路电压方程将它们消去然后整理成一般形式。然后整理成一般形式。【例题例题8-3】对图对图8-6列些电路的状态方程。列些电路的状态方程。图图8-6 例题例题8-3的电路的电路解：解：取取 为状

10、态变量，参考方向如图所示。为状态变量，参考方向如图所示。写出节点写出节点的的KCL方程：方程：回路回路的的KVL方程：方程：经过整理，得到矩阵形式的状态方程：经过整理，得到矩阵形式的状态方程：若已知系统的微分方程，则先画出信号流图或模拟框图。若已知系统的微分方程，则先画出信号流图或模拟框图。由信号流图或模拟框图列写状态方程的步骤：由信号流图或模拟框图列写状态方程的步骤：选取积分器（或一阶系统）的输出端信号选取积分器（或一阶系统）的输出端信号 作为状态作为状态变量变量,则其输入端信号就可用相应状态变量的一阶导数则其输入端信号就可用相应状态变量的一阶导数 表示。表示。如果一阶子系统的系统函数为如果

11、一阶子系统的系统函数为 ，设其输出端，设其输出端信号作为状态变量信号作为状态变量 ，则其输入端信号与，则其输入端信号与 的关系为：的关系为：在积分器（或一阶系统）的输入输出端列写状态方程，在积分器（或一阶系统）的输入输出端列写状态方程，然后整理成一般形式。然后整理成一般形式。8-2-3 间接列写系统的状态方程间接列写系统的状态方程8-3 离散时间系统的状态方程离散时间系统的状态方程离散系统的状态方程形式为：离散系统的状态方程形式为：输出方程为：输出方程为：如果系统是线性时不变系统，则状态方程和输出方程是状如果系统是线性时不变系统，则状态方程和输出方程是状态变量和输入信号的线形组合。态变量和输入

12、信号的线形组合。状态方程：状态方程：输出方程：输出方程：状态方程和输出方程可以看出，这是由输入量、输出量。状态方程和输出方程可以看出，这是由输入量、输出量。状态变量以及联系它们之间关系的状态变量以及联系它们之间关系的A、B、C、D矩阵组成。矩阵组成。即，状态方程和输出方程可以简写为：即，状态方程和输出方程可以简写为：从状态方程可以看出，系统在从状态方程可以看出，系统在时刻的状态变量是时刻的状态变量是时刻状态变量和输入信号的函数。时刻状态变量和输入信号的函数。【例题例题8-5】设某系统的输入输出方程为设某系统的输入输出方程为写出该系统的状态写出该系统的状态空间表达式。空间表达式。解解:对差分方程

13、取对差分方程取z z变换有变换有画出其系统框图如图画出其系统框图如图8-8所示所示图图8-8 例题例题8-5的系统框图的系统框图其状态方程为其状态方程为写出矩阵形式为写出矩阵形式为其输出方程为其输出方程为写出矩阵形式为写出矩阵形式为【例例题题8-6】宏宏观经济观经济模型一。模型一。设设y(n)、C(n)、I(n)、U(n)分分别别表示第表示第n季度的国民收入、消季度的国民收入、消费费、投、投资资和政府支出，而且和政府支出，而且这这四个四个变变量之量之间间有如下的关系式：有如下的关系式：（1）（2 2）（3 3）其中，其中，a a、b b为已知常数。下面将其化成输入输出表达式和为已知常数。下面将

14、其化成输入输出表达式和状态空间表达式。状态空间表达式。解：解：首先将首先将(2)和和(3)式代入式代入(1)式，得到系统的输入输出表达式式，得到系统的输入输出表达式（4 4）即即为了得到状态空间表达式，将为了得到状态空间表达式，将(3)式变换为式变换为或或（5 5）再由再由(1)和和(2)式得到式得到或者：或者：（6 6）令令即即（7 7）则，状态变量为则，状态变量为将将(7)式代入式代入(5)、(6)式，得式，得（8 8）整理得，整理得，将将(7)式代入式代入(1)式，得式，得（9 9）将将(8)(9)式整理成矩阵形式，得到系统的状态空间表示式式整理成矩阵形式，得到系统的状态空间表示式其中，

15、其中，如果令如果令其中，其中，8-4 连续时间系统状态方程的求解连续时间系统状态方程的求解求解状态方程有时域和变换域两种解法，这里只介绍变换求解状态方程有时域和变换域两种解法，这里只介绍变换域求解。域求解。(1)矩阵形式的状态方程为矩阵形式的状态方程为 (8-19)(8-20)经整理得经整理得(8-21)其中其中I是是nn的单位矩阵。如果的单位矩阵。如果(sI-A)是可逆的，则有是可逆的，则有(8-22)令令则则对上式进行拉普拉斯反变换得对上式进行拉普拉斯反变换得(2)输出方程的一般形式为输出方程的一般形式为对上式两边进行拉普拉斯变换得对上式两边进行拉普拉斯变换得将将带入上式，经整理得带入上式

16、，经整理得（3）系统函数）系统函数当当，由上式可知系统的零状态响应的拉普拉斯，由上式可知系统的零状态响应的拉普拉斯变换为变换为 所以系统函数矩阵所以系统函数矩阵 为为矩矩阵阵H(s)第第l行第行第k列元素列元素Hlk(s)确定了系确定了系统统第第k个个输输入入对对第第l个个输输出的出的贡贡献献【例题例题8-8】已知某连续时间系统的状态方程和输出方程为已知某连续时间系统的状态方程和输出方程为其初始状态和输入分别为其初始状态和输入分别为解：解：从状态方程和输出方程中得到系数从状态方程和输出方程中得到系数利用变换域解法求状态变量时域解。利用变换域解法求状态变量时域解。首先要计算矩阵首先要计算矩阵其相

17、应的行列式其相应的行列式伴随矩阵伴随矩阵则则则则则取拉普拉斯逆变换得到系统的状态变量则取拉普拉斯逆变换得到系统的状态变量电路的输出方程电路的输出方程则输出变量为则输出变量为8-5 离散时间系统状态方程的求解离散时间系统状态方程的求解已知离散时间系统的状态方程和输出方程为已知离散时间系统的状态方程和输出方程为经整理得经整理得将上式两边取将上式两边取z变换，得变换，得其中其中I是是nn的的单单位矩位矩阵阵。如果。如果(zI-A)是可逆的，是可逆的，令令则有则有对上式进行逆反变换得对上式进行逆反变换得(2)输出方程的一般形式为输出方程的一般形式为将上式两边取将上式两边取z变换，得变换，得将将 带入上

18、式，经整理得带入上式，经整理得由上式可知，系由上式可知，系统统的零的零输输入响入响应应的的z变换为变换为系系统统的零状的零状态态响响应应的的z变变化化为为【例题例题8-9】已知一个离散时间系统的状态方程和输出方程已知一个离散时间系统的状态方程和输出方程为为初始状态为初始状态为 ，激励，激励求求(1)状状态态方程的解和系方程的解和系统统的的输输出。出。(2)求系求系统统函数函数H(z)和和单单位位样值样值响响应应h(n)。解：解：（1）先求）先求对上式两边取逆对上式两边取逆z变换，得变换，得因为因为(2)对上式两边取逆对上式两边取逆z变换，得变换，得8-6 由状态方程判定系统的稳定性由状态方程判

19、定系统的稳定性1、连续系统稳定性判别、连续系统稳定性判别则上式的根在则上式的根在s平面上的位置决定了系统的稳定情况。只要平面上的位置决定了系统的稳定情况。只要知道它的根落在知道它的根落在s平面的左半平面，系统就是稳定的。平面的左半平面，系统就是稳定的。【例题例题8-10】已知系统的状态方程为已知系统的状态方程为判断判断k取何值时，系统是稳定的。取何值时，系统是稳定的。解：解：从状态方程可知从状态方程可知系统的特征多项式系统的特征多项式根据罗斯根据罗斯-霍尔维兹准则可以知道，为了保证上列三次多项霍尔维兹准则可以知道，为了保证上列三次多项式的根都落于式的根都落于s左半平面，必须满足左半平面，必须满

20、足解得解得 ,即即k值在此范围内系统稳定。值在此范围内系统稳定。2、离散系统稳定性判别、离散系统稳定性判别如果系统稳定，则要求矩阵如果系统稳定，则要求矩阵A的特征值的特征值,即系统的即系统的特征根位于单位圆内。特征根位于单位圆内。采用特征根判别系统的稳定性时，需要求解系统的特征采用特征根判别系统的稳定性时，需要求解系统的特征根。如果遇到高阶方程，求解特征根的计算有一定的复杂根。如果遇到高阶方程，求解特征根的计算有一定的复杂性。对于二阶线性定常系统，可以不要求出特征根而直接性。对于二阶线性定常系统，可以不要求出特征根而直接判别二阶线性定常系统稳定性的充要条件。判别二阶线性定常系统稳定性的充要条件

21、。【定理定理】如果一个特征多项式为如果一个特征多项式为当二阶线性定常系统的两个特征根全部位于平面的单位圆当二阶线性定常系统的两个特征根全部位于平面的单位圆中时，系统稳定的充分必要条件为中时，系统稳定的充分必要条件为【例题例题8-11】给定图给定图8-9系统，已知系统，已知 ，问，问此系统是否稳定此系统是否稳定?解：解：列出系统的状态方程列出系统的状态方程在给定在给定 的范围内，只有满足的范围内，只有满足 才可保证才可保证系统式稳定的。此时，特征根落于单位圆内。系统式稳定的。此时，特征根落于单位圆内。写成矩阵形式有写成矩阵形式有系统的多项式系统的多项式则根据定理则根据定理8-1判断系统的稳定性，

22、可知有判断系统的稳定性，可知有【例题例题8-12】在自由资本主义时期，政府一般对经济部进在自由资本主义时期，政府一般对经济部进行干涉，这是以家庭、厂商构成的二部门经济系统模型。行干涉，这是以家庭、厂商构成的二部门经济系统模型。但是自从但是自从20世纪世纪30年代世界经济危机以来，为了解决年代世界经济危机以来，为了解决“市市场失灵场失灵”，政府对经济的调节日益加强，因此应该把政府，政府对经济的调节日益加强，因此应该把政府部门引入到经济系统模型中，即包括家庭、厂商和政府构部门引入到经济系统模型中，即包括家庭、厂商和政府构成的三部门经济系统。这里，主要考虑政府用于提供公共成的三部门经济系统。这里，主

23、要考虑政府用于提供公共服务和发展社会福利的支出，称为政府支出或政府购买。服务和发展社会福利的支出，称为政府支出或政府购买。定定义变义变量如下：量如下：Y(n)为为第第n年国民生年国民生产总值产总值C(n)为为第第n年个人消年个人消费总额费总额G(n)为为第第n年政府支出年政府支出I(n)为为第第n年投年投资总额资总额。国民生国民生产总值产总值与消与消费费及投及投资资的方程的方程为为：(1)这这里假里假设经济发设经济发展平展平稳稳，银银行利率行利率变变化率化率为为0。即。即假假设设第第n年的个人消年的个人消费总额费总额与上一年的生与上一年的生产总值产总值有关，即有关，即(2)为为常数，常数，为为

24、基本消基本消费费水平，水平，为边际为边际消消费倾费倾向。向。假假设设第第n年的投年的投资额资额与人与人们们的消的消费费需求及需求及银银行利率有关。行利率有关。为常数，为常数，为自发投资，是由外部因素引发的为自发投资，是由外部因素引发的投资，与国民收入变动无关。投资，与国民收入变动无关。为加速系数，为加速系数，表示表示消费增量大于消费增量大于0时，投资加速增加。时，投资加速增加。(3)因此因此(1)、(2)、(3)式构成了三部门的宏观经济系统。式构成了三部门的宏观经济系统。将将(2)代入代入(3)式，得到式，得到(4)将将(2)和和(4)式代入代入式代入代入(1)式，得到式，得到(5)假设政府支

25、出各期相同，假设政府支出各期相同，为已知常数。为已知常数。因此因此(5)式可以化为二阶差分方程式可以化为二阶差分方程(6)令状态变量令状态变量,则则写出状态方程写出状态方程写出矩阵形式写出矩阵形式式中，式中，则根据定理则根据定理8-1判断系统的稳定性，即讨论特征方程式的系判断系统的稳定性，即讨论特征方程式的系数。由于经济系统加速数数。由于经济系统加速数 ，边际消费倾向，边际消费倾向 当当成立时，三部门经济系统模型是稳定的。成立时，三部门经济系统模型是稳定的。其特征多项式为其特征多项式为8-7 系统的能控性和可观测性系统的能控性和可观测性系统的可控制性也称为能控制性，简称为可控性或能控系统的可控

26、制性也称为能控制性，简称为可控性或能控性。性。系统的可观测性也称为能观测性，简称为可观性或能观系统的可观测性也称为能观测性，简称为可观性或能观性。性。系统的能控性和能观测性是动态系统进行状态估计、系系统的能控性和能观测性是动态系统进行状态估计、系统辨识以及实现最优化控制的基础。可以应用在经济系统辨识以及实现最优化控制的基础。可以应用在经济系统中，为经济体制改革提供理论依据。统中，为经济体制改革提供理论依据。8-7-1 系统的能控性系统的能控性对于一个实际系统，总希望输入信号能够对状态实行完全对于一个实际系统，总希望输入信号能够对状态实行完全控制，从而使系统具有预期的动态特性。对于经济系统来控制

27、，从而使系统具有预期的动态特性。对于经济系统来说，能控性是指一个经济系统的外生变量对经济系统的内说，能控性是指一个经济系统的外生变量对经济系统的内生变量能产生多大影响的问题。生变量能产生多大影响的问题。1、状态能控性、状态能控性【定义定义】当系统用状态方程描述时，给定系统的任意初始当系统用状态方程描述时，给定系统的任意初始状态，可以找到容许的输入量（即控制矢量），在有限时状态，可以找到容许的输入量（即控制矢量），在有限时间之内把系统的所有状态引向状态空间的原点。如果可以间之内把系统的所有状态引向状态空间的原点。如果可以做到这一点，则称系统式完全可控的。如果只有部分主体做到这一点，则称系统式完全

28、可控的。如果只有部分主体变量可以做到这一点，则称系统部完全可控制的。变量可以做到这一点，则称系统部完全可控制的。【判据判据】系统状态能控的充分必要条件是矩阵系统状态能控的充分必要条件是矩阵满秩，即满秩，即 。称为系统的能控性矩阵。称为系统的能控性矩阵。【例题例题8-13】设某一经济系统的状态方程为设某一经济系统的状态方程为 解：解：系统能控性矩阵的秩为系统能控性矩阵的秩为rank =因此，系统能控。因此，系统能控。要求判断系统的能控性要求判断系统的能控性其中，其中，是是k个状个状态态向量。向量。为为一已知常向量。一已知常向量。8-7-2 系统的能观测性系统的能观测性能观测性事动态系统的又一重要

29、的基本属性，它与能观测性事动态系统的又一重要的基本属性，它与能控性有着密切的联系。能观测性问题研究的是能否根据能控性有着密切的联系。能观测性问题研究的是能否根据系统的输出来确定系统状态的问题，它反映的是从系统的系统的输出来确定系统状态的问题，它反映的是从系统的输出中能够获得多少系统信息的问题。输出中能够获得多少系统信息的问题。设经济系统为设经济系统为【定定义义】如果如果对对某个正整数某个正整数N，初始状，初始状态态 能由能由输输出向出向量量【定理定理】系系统统能能观测观测的充分必要条件是矩的充分必要条件是矩阵阵满秩，即秩满秩，即秩rank 。称为系统的能控性矩阵。称为系统的能控性矩阵。(n=1,2,.,N-1)，唯一确定，唯一确定，则则称系称系统统是能是能观测观测的。的。【例题例题8-16】判定例题判定例题8-14系统的能观测性系统的能观测性解：解：由于能观测矩阵由于能观测矩阵rank ，根据定理可知，系统能观测。，根据定理可知，系统能观测。