2向量的正交规范化.ppt

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1、1一、一、一、一、内积内积内积内积的定义与性质的定义与性质的定义与性质的定义与性质1 1 1 1、定义、定义、定义、定义设维设维实实向量向量称实数称实数为向量为向量与与的的内积内积，记作，记作注：注：注：注：内积是向量的一种运算，用矩阵形式表示，有内积是向量的一种运算，用矩阵形式表示，有2、性质、性质、性质、性质（1 1）对称性：）对称性：（2 2）线性性：）线性性：（3 3）正定性：）正定性：当且仅当当且仅当时时3、长度的概念、长度的概念、长度的概念、长度的概念二、向量的长度与夹角二、向量的长度与夹角二、向量的长度与夹角二、向量的长度与夹角令令为维向量为维向量的的长度长度（模模或或范数范数）

2、.特别特别特别特别 长度为的向量称为长度为的向量称为单位向量单位向量.4（1 1）正定性：）正定性：（2 2）齐次性：）齐次性：（3 3）三角不等式：）三角不等式：、性质、性质、性质、性质（4 4）柯西施瓦兹（）柯西施瓦兹（CauchyCauchySchwarzSchwarz）不等式）不等式:当且仅当当且仅当与与的线性相关时，等号成立的线性相关时，等号成立.5注注注注 当当时，时，由非零向量由非零向量得到单位向量得到单位向量是是的的单位向量单位向量.称为把称为把单位化单位化或或规范化规范化.的过程的过程6、夹角、夹角、夹角、夹角设设 与与 为维空间的两个非零向量，为维空间的两个非零向量，与与

3、的夹的夹角的余弦为角的余弦为因此因此 与与 的的夹角夹角为为7例例解解练习练习8三、正交向量组三、正交向量组三、正交向量组三、正交向量组1 1 1 1、正交、正交、正交、正交当当，称，称与与正交正交.注注注注 若若 ，则，则与任何向量都正交与任何向量都正交.对于非零向量对于非零向量与与，92 2 2 2、正交组、正交组、正交组、正交组若向量组中的向量两两正交，且均为非零向量，则若向量组中的向量两两正交，且均为非零向量，则这个向量组称为这个向量组称为正交向量组正交向量组，简称，简称正交组正交组.3 3 3 3、规范正交组、规范正交组、规范正交组、规范正交组由单位向量组成的正交组称为由单位向量组成

4、的正交组称为规范正交组规范正交组.10定理定理定理定理4 4 4 4、性质、性质、性质、性质正交向量组必为线性无关组正交向量组必为线性无关组.115 5 5 5、正交基、正交基、正交基、正交基若若正交向量组正交向量组则称则称为向量空间为向量空间上的一个上的一个正交基正交基.为向量空间为向量空间上的一个基，上的一个基，6 6 6 6、规范正交基、规范正交基、规范正交基、规范正交基若规范若规范正交组正交组则称则称为向量空间为向量空间上的一个上的一个规范正交基规范正交基.为向量空间为向量空间上的一个基，上的一个基，127 7 7 7、施密特（、施密特（、施密特（、施密特（SchmidtSchmidt

5、SchmidtSchmidt）正交化法）正交化法）正交化法）正交化法设设是是向量空间向量空间的一个基，要求向量空的一个基，要求向量空间间的一个规范正交基，就是的一个规范正交基，就是要找到一组两两正交的单要找到一组两两正交的单位向量位向量，使，使与与等价，等价，此问题称为把此问题称为把这组这组基基规范正交化规范正交化.131 1）正交化）正交化令令则则两两正交，且与两两正交，且与等价等价.14就就得到得到的一个规范正交向量组的一个规范正交向量组.的一组规范正交基的一组规范正交基.如果如果上述方法称为施密特上述方法称为施密特（SchmidtSchmidtSchmidtSchmidt）正交化法正交化

6、法.2 2）规范化）规范化令令是是的一组基，则的一组基，则就是就是注注注注上述上述方法中的两个向量组对任意的方法中的两个向量组对任意的与与都是等价的都是等价的.15四、应用举例四、应用举例四、应用举例四、应用举例例例例例1 1 1 1证明：中，勾股定理证明：中，勾股定理成立成立的充要条件是正交的充要条件是正交.解解解解所以所以成立的充要条件是成立的充要条件是即正交即正交.16已知三维向量空间中，已知三维向量空间中，例例例例2 2 2 2正交，正交，试求试求是三维向量空间的一个正交基是三维向量空间的一个正交基.解解解解 设设则则即即17例例例例3 3 3 3已知向量已知向量求的一个标准求的一个标

7、准正交基正交基.解解解解 设非零向量设非零向量 都于正交，都于正交，即满足方程即满足方程或或其基础解系为其基础解系为18令令1 1）正交化）正交化令令192 2）规范化）规范化令令20五、正交矩阵和正交变换五、正交矩阵和正交变换五、正交矩阵和正交变换五、正交矩阵和正交变换五、正交矩阵和正交变换五、正交矩阵和正交变换1 1、定义、定义如果阶矩阵满足：如果阶矩阵满足：则称则称为为正交矩阵正交矩阵.则则可可表示为表示为若若按列分块表示为按列分块表示为亦即亦即其中其中21 的列向量是规范正交组的列向量是规范正交组.的一个规范正交基的一个规范正交基.正交矩阵正交矩阵的个列（行）向量构成向量空间的个列（行）向量构成向量空间2 2 2 2、正交矩阵的充要条件、正交矩阵的充要条件、正交矩阵的充要条件、正交矩阵的充要条件 的行向量是规范正交组的行向量是规范正交组.注注注注223 3 3 3、正交变换、正交变换、正交变换、正交变换若若为正交矩阵，则为正交矩阵，则=线性变换称为线性变换称为正交变换正交变换.设设=为为正交变换正交变换，则有，则有经正交变换后向量的长度保持不变经正交变换后向量的长度保持不变,内积保持不变内积保持不变注注注注23判断下列矩阵是否为正交矩阵判断下列矩阵是否为正交矩阵.2425