高等数学1_1映射与函数.ppt

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1、第一章分析基础分析基础 函数函数 极限极限 连续连续 研究对象 研究方法 研究桥梁函数与极限 第一章 二、映射二、映射 三、函数三、函数 一、集合一、集合第一节映射与函数元素 a 属于集合 M,记作元素 a 不属于集合 M,记作一、一、集合集合1.定义及表示法定义及表示法定义定义 1.具有某种特定性质的事物的总体称为集合集合.组成集合的事物称为元素元素.不含任何元素的集合称为空集空集,记作 .(或).注注:M 为数集 表示 M 中排除 0 的集;表示 M 中排除 0 与负数的集.简称集集简称元元表示法表示法表示法表示法：(1)列举法：按某种方式列出集合中的全体元素.例例:有限集合自然数集(2)

2、描述法：x 所具有的特征例例:整数集合或有理数集 p 与 q 互质实数集合 x 为有理数或无理数开区间闭区间无限区间点的 邻域邻域其中,a 称为邻域中心,称为邻域半径.半开区间半开区间去心 邻域邻域左左 邻域邻域:右右 邻域邻域:是 B 的子集子集,或称 B 包含 A,2.2.集合之间的关系及运算集合之间的关系及运算集合之间的关系及运算集合之间的关系及运算定义定义2.则称 A若且则称 A 与 B 相等相等,例如,显然有下列关系:,若设有集合记作记作必有定义定义定义定义 3 3 .给定两个集合给定两个集合 A A,B B,并集交集且差集且定义下列运算:余集直积特例:记为平面上的全体点集或二、二、

3、映射映射某校某校学生的集合学生的集合 学号的集合学号的集合 按一定规则查号某某班学生的集合班学生的集合 某教室座位某教室座位 的集合的集合按一定规则入座引例引例1.引例引例引例引例2.2.引例引例3.(点集)(点集)向 y 轴投影定义定义定义定义4.4.设 X,Y 是两个非空集合,若存在一个对应规则 f,使得有唯一确定的与之对应,则称 f 为从 X 到 Y 的映射映射,记作元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的像像,记作元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的原像原像.集合 X 称为映射 f 的定义域定义域;Y 的子集称为 f 的 值域值域.注意注意:1)映射的三要素 定义域,对应规则,值域

4、.2)元素 x 的像 y 是唯一的,但 y 的原像不一定唯一.对映射若,则称 f 为满射满射;若有 则称 f 为单射单射;若 f 既是满射又是单射,则称 f 为双射双射 或一一映射一一映射.引例引例2,3引例引例2引例引例2例例例例1.1.海伦公式例例2.如图所示,对应阴影部分的面积则在数集自身之间定义了一种映射(满射满射)例例3.如图所示,则有(满射满射)(满射满射)X(数集 或点集)说明说明说明说明:在不同数学分支中有不同的惯用 X()Y(数集)f 称为X 上的泛函X()X f 称为X 上的变换 R f 称为定义在 X 上的函数映射又称为算子.名称.例如,定义域三、函数三、函数1.函数的概

5、念函数的概念 定义定义4.设数集则称映射为定义在D 上的函数,记为称为值域 函数图形函数图形:自变量因变量(对应规则)(值域)(定义域)例如,反正弦主值 定义域定义域 对应规律对应规律的表示方法:解析法、图象法、列表法使表达式或实际问题有意义的自变量集合.定义域值域又如,绝对值函数定义域值 域对无实际背景的函数,书写时可以省略定义域.对实际问题,书写函数时必须写出定义域；例例例例4.4.已知函数已知函数解解:及写出 f(x)的定义域及值域,并求f(x)的定义域 值域 2.2.函数的几种特性函数的几种特性函数的几种特性函数的几种特性设函数且有区间(1)有界性有界性使称 使称 说明说明:还可定义有

6、上界、有下界、无界.(2)单调性单调性为有界函数.在 I 上有界.使若对任意正数 M,均存在 则称 f(x)无界无界.称 为有上界有上界称 为有下界有下界当称 为 I 上的称 为 I 上的单调增函数;单调减函数.(见 P11)(3)(3)奇偶性奇偶性奇偶性奇偶性且有若则称 f(x)为偶函数;若则称 f(x)为奇函数.说明说明:若在 x=0 有定义,为奇函数奇函数时,则当必有例如,偶函数双曲余弦 记又如又如,奇函数双曲正弦 记再如,奇函数双曲正切 记说明:给定 则 偶函数偶函数 奇奇函数函数 (4)(4)周期性周期性周期性周期性且则称为周期函数,若称 l 为周期(一般指最小正周期).周期为 周期

7、为注注:周期函数不一定存在最小正周期.例如,常量函数狄利克雷函数x 为有理数x 为无理数3.3.反函数与复合函数反函数与复合函数反函数与复合函数反函数与复合函数(1)反函数的概念及性质若函数为单射,则存在一新映射习惯上,的反函数记成称此映射为 f 的反函数.,其反函数(减)(减).1)yf(x)单调递增且也单调递增 性质:使其中2)函数与其反函数的图形关于直线对称.例如,对数函数互为反函数,它们都单调递增,其图形关于直线对称.指数函数(2)(2)复合函复合函数数 则设有函数链称为由,确定的复合函数,u 称为中间变量.注意:构成复合函数的条件 不可少.例如,函数链:但可定义复合函数时,虽不能在自

8、然域 R下构成复合函数,可定义复合函数当改两个以上函数也可构成复合函数.例如,可定义复合函数:约定约定:为简单计,书写复合函数时不一定写出其定义域,默认对应的函数链顺次满足构成复合函数的条件.4.4.初等函数初等函数初等函数初等函数(1)基本初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数(2)初等函数由常数及基本初等函数否则称为非初等函数.例如,并可用一个式子表示的函数,经过有限次四则运算和复合步骤所构成,称为初等函数.可表为故为初等函数.又如,双曲函数与反双曲函数也是初等函数.(自学,P17 P20)非初等函数举例非初等函数举例:符号函数当 x 0当 x=0当 x 0取整函数当 设函数 x 换为 f(x)例例例例5.5.解解:例例例例6.6.求求的反函数及其定义域.解解:当时,则当时,则当时,则反函数定义域为内容小结内容小结1.集合及映射的概念定义域对应规律3.函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性4.初等函数的结构 作业作业 P21 4(5),(8),(10);6;8;9;13;16;17;18 2.函数的定义及函数的二要素第二节 且备用题备用题证明证证:令则由消去得时其中a,b,c 为常数,且为奇函数.为奇函数.1.设 2.2.设函数设函数的图形与均对称,求证是周期函数.证证:由的对称性知于是故是周期函数,周期为