第三章 线性系统的时域分析法.ppt

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1、第三章 线性系统的时域分析法 第三章 线性系统的时域分析法 3.1 系统的时域性能指标系统的时域性能指标 3.2 一阶系统的时域分析一阶系统的时域分析 3.3 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析 3.4 高阶系统的时域分析高阶系统的时域分析 3.5 线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析 3.6 控制系统的稳态误差控制系统的稳态误差 3.7 线性系统时域分析的线性系统时域分析的MATLAB方法方法 第三章 线性系统的时域分析法 时域分析法时域分析法:直直接接求求出出系系统统输输出出随随时时间间变变化化的的规规律律，并并以以此此评评价价系系统的性能。统的性能。时域分析的主要手段：时域分析的主

2、要手段：系统输出的时间函数借助拉氏变换或者数值计算求得系统输出的时间函数借助拉氏变换或者数值计算求得 时域分析的特点：时域分析的特点：直直观观，物物理理概概念念比比较较清清晰晰，准准确确程程度度高高。但但是是，在在分分析系统性能变化趋势方面不如图解法。析系统性能变化趋势方面不如图解法。第三章 线性系统的时域分析法 3.1 系统的时域性能指标系统的时域性能指标 一般以典型输入信号作为系统的输入信号进行时域分析 1、典型输入信号典型输入信号 1）阶跃函数阶跃函数 阶跃函数的时域表达式为 式中,R为常数,当R1时,称r(t)=1(t)为单位阶跃函数。tr(t)01输入量r(t)=1(t)时，系统输出

3、特性称为单位阶跃响应。用h(t)表示 MATLAB指令：step(Gs)第三章 线性系统的时域分析法 2）斜坡函数斜坡函数(速度函数速度函数)斜坡函数,也称速度函数(见图3-1(b)，其时域表达式为 式中,R为常数。当R1时,称r(t)=t为单位斜坡函数。因为dr(t)/dt=R,所以斜坡函数代表匀速变化的信号。tr(t)0MATLAB没有专用的斜坡响应指令，用任意输入的响应指令：n=1;t=0:0.1:9;u=t.n;%n=0、1、2分别为阶跃、斜坡加速度函数lsim(Gs,u,t)第三章 线性系统的时域分析法 3）加速度函数）加速度函数加速度函数(见图3-1(c)的时域表达式为 式中，R为

4、常数。当R1时,称r(t)=t2/2为单位加速度函数。因为d2r(t)/dt2=R,所以加速度函数代表匀加速变化的信号。tr(t)0第三章 线性系统的时域分析法 4）脉冲函数）脉冲函数脉冲函数的时域表达式为 式中,h称为脉冲宽度,脉冲的面积为1。若对脉冲的宽度取趋于零的极限,则有 称此函数为理想脉冲函数,又称函数函数。tr(t)0h1h(t)第三章 线性系统的时域分析法 因函数的面积为1，即5）正弦函数）正弦函数正弦函数的时域表达式为正弦函数的时域表达式为 式中,A为振幅,为角频率。所以，函数的拉氏变换为：L(t)=1另外，tr(t)0AMATLAB的单位脉冲响应专用指令为：单位脉冲响应专用指

5、令为：impulse(Gs)输入量r(t)=(t)时，系统输出函数称为单位脉冲响应。用g(t)表示 第三章 线性系统的时域分析法 2、动态过程和稳态过程、动态过程和稳态过程 1）动态过程动态过程 动态过程又称过渡过程或瞬态过程,指系统在典型输入信号作用下,系统输出量从开始状态到最终稳定状态的响应过程。系统的模态（响应形式）由闭环极点确定，闭环零点只影响响应的幅值。闭环极点的不同取值，动态过程有单调上升，衰减振荡、发散振荡和等幅振荡四种形式。动态过程包含了系统的稳定性、快速性、平稳性等信息。第三章 线性系统的时域分析法 2）稳态过程稳态过程 稳态过程是指时间 t 趋近于无穷大时,系统输出状态的表

6、现形式。它表征系统输出量最终复现输入量的程度。稳态过程包含系统的稳态误差等信息。3 动态性能指标动态性能指标 系统性能指标的计算只有系统是稳定的情况下才有意义，特别是稳态误差的计算，应检验系统的稳定性。动态性能指标通常根据系统的阶跃响应曲线定义。第三章 线性系统的时域分析法 vv动态性能指标动态性能指标动态性能指标动态性能指标 1.延迟时间延迟时间td：响应响应曲线第一次达到其终值曲线第一次达到其终值一半所需时间。一半所需时间。2.上升时间上升时间tr：响应响应从终值从终值10%上升到终值上升到终值90%所需时间；对有振荡系统亦可定义为响应从零第一次上升所需时间；对有振荡系统亦可定义为响应从零

7、第一次上升到终值所需时间。上升时间是响应速度的度量。到终值所需时间。上升时间是响应速度的度量。p tr0.5 y(t)td tp01 tst稳态误差稳态误差第三章 线性系统的时域分析法 3.峰值时间峰值时间tp：响应超过其：响应超过其终值到达第一个峰值所需时间。终值到达第一个峰值所需时间。4.调节时间调节时间ts：响应到达并：响应到达并保持在终值保持在终值内所需时间。内所需时间。5.超调量超调量%：响应的最大：响应的最大输出量输出量h(tp)与终值与终值h()之差的百分比，即之差的百分比，即 p tr0.5 y(t)td tp01 tst稳稳 态态 误误差差第三章 线性系统的时域分析法 6.振

8、荡次数振荡次数N:在在0tts内内,阶跃响应曲线穿越稳态值阶跃响应曲线穿越稳态值h()次次数数的的一一半半称称为为振振荡荡次次数数。p tr0.5 y(t)td tp01 tst稳态误差稳态误差 上述动态性能指标中上述动态性能指标中,常用的指标有常用的指标有tr、ts和和。上升时间上升时间tr评价系统的响应速度评价系统的响应速度;%评价系统的运行平稳性或阻尼程度评价系统的运行平稳性或阻尼程度;ts是同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。是同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。应当指出应当指出,除简单的一、二阶系统外除简单的一、二阶系统外,要精确给出这些指标要精确给出这些指标的解析表达式是很

9、困难的。的解析表达式是很困难的。第三章 线性系统的时域分析法 4.稳态性能指标稳态性能指标 稳稳态态误误差差：时时间间趋趋于于无无穷穷时时,系系统统输输出出与与输输入入量量或或输输入入函函数数确定的量之间的差值确定的量之间的差值,称为系统的稳态误差。称为系统的稳态误差。稳稳态态误误差差通通常常在在阶阶跃跃函函数数、斜斜坡坡函函数数或或加加速速度度函函数数作作用用下下进行测定或计算。进行测定或计算。动态误差系数：动态误差系数：稳态误差与时间稳态误差与时间t（t ts）的关系。）的关系。系系统统类类型型：开开环环传传递递函函数数中中有有一一个个积积分分环环节节，称称为为型型系系统统，型型系系统统可

10、可完完全全跟跟踪踪位位置置信信号号，又又叫叫一一阶阶无无差差系系统统；有有两两个个积积分分环环节节，称称为为型型系系统统，型型可可完完全全跟跟踪踪速速度度信信号号，又又叫叫二阶无差系统二阶无差系统，依此类推。，依此类推。第三章 线性系统的时域分析法 3.2 一阶系统的时域分析一阶系统的时域分析 微分方程：微分方程：闭环传递函数：闭环传递函数：标准形式标准形式第三章 线性系统的时域分析法 3.2.1 一阶系统的单位阶跃响应一阶系统的单位阶跃响应 对于单位阶跃输入对于单位阶跃输入 有有 由拉氏反变换可以得到一阶系统的单位阶跃响应由拉氏反变换可以得到一阶系统的单位阶跃响应c(t)为为 第三章 线性系

11、统的时域分析法 j 0P=-1/TS平面平面(a)零极点分布零极点分布 y(t)0.6320.8650.950.982初始斜率为初始斜率为1/T h(t)=1-e-t/T0 tT2T3T4T1(b)单位阶跃响应曲线单位阶跃响应曲线 cs(t)=1是稳态分量是稳态分量,由输入信号决定。由输入信号决定。ct(t)=-e-t/T是是瞬瞬态态分分量量(暂暂态态分分量量),它它的的变变化化规规律律由由闭闭环环传传递递函函数数的的极极点点 P=-1/T 决决定定。当当t时时,瞬瞬态态分分量量按按指指数数规规律律衰减到零。衰减到零。T越小，响应曲线上升速度越快。越小，响应曲线上升速度越快。第三章 线性系统的

12、时域分析法 一阶系统的单位阶跃响应的特点：一阶系统的单位阶跃响应的特点：1）时间常数反映系统的快速性）时间常数反映系统的快速性；2）初始斜率为）初始斜率为1/T；3）无超调。稳态输出为无超调。稳态输出为1。稳态误差。稳态误差ess=0。4)若闭环传函的分子为若闭环传函的分子为K，则稳态输出为，则稳态输出为K，响应速度不变，响应速度不变性能指标：性能指标：延迟时间：延迟时间：td=0.69T 上升时间：上升时间：tr=2.2T 调节时间：调节时间：ts=3T(=5%)或或 ts=4T(=2%)MATLAB指令：指令：G1=tf(1,5 1),G2=tf(1,1 1),G3=tf(2,1 1),s

13、tep(G1,G2,G3)第三章 线性系统的时域分析法 输输出出为为传传递递函函数数的的原原函函数数c(t)=g(t)=L-1G(s)。一一阶阶系系统统的的单单位脉冲响应为位脉冲响应为 输出量的拉氏变换与系统输出量的拉氏变换与系统传递函数相同传递函数相同,即即 3.2.2 一阶系统的单位脉冲响应一阶系统的单位脉冲响应 单位脉冲函数输入：单位脉冲函数输入：r(t)=(t),R(s)=1t0.135/T0.018/TT2T3T4T初始斜率为初始斜率为0.368/T0.05/T0g(t)impulse(1,1 1)单位脉冲响应可由单位阶跃响应求导得到单位脉冲响应可由单位阶跃响应求导得到:g(t)=d

14、 h(t)/dt第三章 线性系统的时域分析法 3.2.3 一阶系统的单位斜坡响应一阶系统的单位斜坡响应 对于单位斜坡函数对于单位斜坡函数 可求得系统输出信号的拉氏变换为可求得系统输出信号的拉氏变换为 取拉氏反变换可得系统的单位斜坡响应为取拉氏反变换可得系统的单位斜坡响应为 (t0)MATLAB指令：指令：t=0:0.1:9;u=t;lsim(1,1 1,u,t)第三章 线性系统的时域分析法 零初始条件下，单位斜坡响应可由单位阶跃响应积分得到。零初始条件下，单位斜坡响应可由单位阶跃响应积分得到。系统的误差信号系统的误差信号e(t)为为 当当t时时,。即即一一阶阶系系统统的的单单位位斜斜坡坡响响应

15、应的的误差误差为误差误差为T。MATLAB指令：指令：t=0:0.1:9;r=t.2/2;lsim(1,1 1,r,t)跟踪误差：跟踪误差：e(t)=r(t)-c(t)=Tt-T2(1-e-t/T)随时间推移而增长，随时间推移而增长，直至无穷。因此一阶系统不能跟踪加速度函数。直至无穷。因此一阶系统不能跟踪加速度函数。3.2.4 一阶系统的单位加速度响应一阶系统的单位加速度响应第三章 线性系统的时域分析法 结论：结论：一阶系统的典型响应与时间常数一阶系统的典型响应与时间常数T密切相关。密切相关。时间常数越小时间常数越小,响应越快响应越快,跟踪误差越小跟踪误差越小,输出信号的滞后时间也越短，输出信

16、号的滞后时间也越短，一阶系统不能跟踪加速度函数。一阶系统不能跟踪加速度函数。线性定常系统的等价关系：线性定常系统的等价关系：对输入信号导数的响应对输入信号导数的响应,等于对等于对输入信号响应的导数输入信号响应的导数;对输入信号积分的响应对输入信号积分的响应,等于输入信号响等于输入信号响应的积分应的积分,积分常数由零初始条件确定。积分常数由零初始条件确定。因此因此,研究线性定常系统的时间响应研究线性定常系统的时间响应,不必对每种输入信号不必对每种输入信号进行测定和计算进行测定和计算,往往往往以一种典型输入进行研究。以一种典型输入进行研究。第三章 线性系统的时域分析法 解解:(1)与标准形式对比得

17、：与标准形式对比得：T=0.1s，ts（5）=3T=0.3s 例例3.1 某一阶系统如图。某一阶系统如图。（1）求调节时间）求调节时间ts（5）（）（2）若要求若要求 ts=0.1s,求反馈系数求反馈系数 Kh.(2)要求要求ts=0.1s，即即3T=0.1s,即即 ,得得 0.1C(s)R(s)E(s)100/s(-)解题关键：解题关键：化闭环传递函数为标准形式。化闭环传递函数为标准形式。Kh第三章 线性系统的时域分析法 3.3 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析 3.3.1 二阶系统的标准形式二阶系统的标准形式 控制系统的运动方程为二阶微控制系统的运动方程为二阶微分方程，称为二阶系统。分

18、方程，称为二阶系统。令令2n=K/T,1/T=2n,则可将二则可将二阶系统化为分析暂态性能的阶系统化为分析暂态性能的标准形式：标准形式：R(s)C(s)(-)标准形式标准形式R(s)C(s)(-)闭环传递函数：闭环传递函数：其中：其中：n n自然振荡频率；自然振荡频率；阻尼比。阻尼比。标准形式标准形式第三章 线性系统的时域分析法 单位阶跃输入单位阶跃输入r(t)=1(t)时，时，其二阶的输出的拉氏变换为其二阶的输出的拉氏变换为3.3.2 二阶系统的阶跃响应二阶系统的阶跃响应显然，显然，随着阻尼比随着阻尼比的不同的不同,二阶系统特征根二阶系统特征根(极点极点)也不相同，也不相同，系统的响应形式也

19、不同系统的响应形式也不同 。二阶系统的特征方程及二阶系统的特征方程及系统的两个特征根系统的两个特征根(极点极点)为为 第三章 线性系统的时域分析法(a)闭环极点分布闭环极点分布 j 11223345 05二阶系统的阶跃响应性能仿真定性分析二阶系统的阶跃响应性能仿真定性分析66n 一定，一定，与系统性能的关系：与系统性能的关系：a.0 1过阻尼，单调上升过阻尼，单调上升 d.=0无阻尼，等幅振荡无阻尼，等幅振荡 取不同值的取不同值的MATLAB程序：程序：G1=tf(4,1 2*0 *2 4)G2=tf(4,1 2*0.4*2 4)G3=tf(4,1 2*0.8*2 4)G4=tf(4,1 2*

20、1 *2 4)G5=tf(4,1 2*2 *2 4)step(G1,G2,G3,G4,G5);axis(0,8,0,2)第三章 线性系统的时域分析法 0123456789101112 nt c(t)0.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0=00.10.20.30.40.50.60.70.81.02.0结论：结论：越大，平稳性越好，但是，上升速度越慢，快速性越差。越大，平稳性越好，但是，上升速度越慢，快速性越差。0.4 0.8，快速性和平稳性均较好。，快速性和平稳性均较好。第三章 线性系统的时域分析法 一定时，一定时，n 与系统性能的关系：与系统性能的关系：MATLAB程序：

21、程序：G1=tf(16,1 2*0.3*4 16)G2=tf(4,1 2*0.3*2 4)step(G1,G2)结论：结论：n越大，上升速度越大，上升速度和调节速度越快，且和调节速度越快，且n 的变化不改变系统的平的变化不改变系统的平稳性。稳性。1n4n2第三章 线性系统的时域分析法 1.欠阻尼情况欠阻尼情况(01)在这种情况下在这种情况下,系统有一对共轭复极点：系统有一对共轭复极点：式中式中,称为称为阻尼自振角频率阻尼自振角频率。输出的时间函数。输出的时间函数为为：C(s)可以展成如下部分分式形式可以展成如下部分分式形式:=cos 0 s1 n-n s2 j j d=二阶系统的解析定量分析二

22、阶系统的解析定量分析第三章 线性系统的时域分析法 上式还可以改写为上式还可以改写为 式中式中,=cos 0 s1 n-n s2 j j d 阻尼角阻尼角第三章 线性系统的时域分析法 欠阻尼二阶系统的单位阶响应由欠阻尼二阶系统的单位阶响应由稳态稳态稳态稳态和和瞬态瞬态瞬态瞬态两部分组成：两部分组成：a.瞬态部分瞬态部分是衰减的正弦振荡曲线，衰减速度取决于特征根是衰减的正弦振荡曲线，衰减速度取决于特征根实部的绝对值实部的绝对值 n(即即，特征根实部），特征根实部）的大小的大小,b.振荡角频率为阻尼振荡角频率振荡角频率为阻尼振荡角频率 d（特征根虚部），其值（特征根虚部），其值由阻尼比由阻尼比和自然

23、振荡角频率和自然振荡角频率 n 决定。决定。c.振荡周期：振荡周期：d.稳态部分等于稳态部分等于1，表明不存在稳态误差；，表明不存在稳态误差；第三章 线性系统的时域分析法 2.无阻尼情况无阻尼情况(=0)=0时，时，系统有两个纯虚根：系统有两个纯虚根：s1、s2=j n 系统的单位阶跃响应为系统的单位阶跃响应为 二二阶阶系系统统在在无无阻阻尼尼情情况况下下的的阶阶跃跃响响应应是是等等幅幅正正(余余)弦弦振振荡荡曲曲线线，振荡振荡角频率是角频率是n。-j j n0 s1 s2 j j n 第三章 线性系统的时域分析法 3.临界阻尼情况临界阻尼情况(=1)当当=1时时,系统有两个相等的负实数极点：

24、系统有两个相等的负实数极点：s1、s2=-n 对上式进行拉氏反变换得对上式进行拉氏反变换得 二二阶阶系系统统临临界界阻阻尼尼情情况况下下的的单单位位阶阶跃跃响响应应是是一一条条无无超超调调的的单单调调上升曲线上升曲线。是振荡与不振荡的临界点。是振荡与不振荡的临界点。调节时间调节时间ts4.7/n 0 s1-n s2 j 第三章 线性系统的时域分析法 4.过阻尼情况过阻尼情况(1)这种情况下这种情况下,系统存在两个不等的实根系统存在两个不等的实根,即即 系统输出的拉氏变换系统输出的拉氏变换C(s)为为 0 s1 s2 j 第三章 线性系统的时域分析法 式中式中,取拉氏反变换可得过阻尼情况下二阶系

25、统的单位阶跃响应为取拉氏反变换可得过阻尼情况下二阶系统的单位阶跃响应为(t0)第三章 线性系统的时域分析法 a.过阻尼二阶系统无超调，系统很平稳。过阻尼二阶系统无超调，系统很平稳。b.当当2时时,二阶系统可近似为一个以靠近虚轴的极点二阶系统可近似为一个以靠近虚轴的极点s1所所表示的一阶系统。表示的一阶系统。过阻尼二阶系统的特点：过阻尼二阶系统的特点：c.过阻尼二阶系统的响应速度很慢。过阻尼二阶系统的响应速度很慢。调节时间近似值为调节时间近似值为 第三章 线性系统的时域分析法 阶跃响应从零第一次升到稳态所需的的时间。阶跃响应从零第一次升到稳态所需的的时间。1.动态性能指标计算动态性能指标计算 上

26、升时间上升时间 tr单位阶跃响应单位阶跃响应 即即 得得 此时此时3.3.3 欠阻尼二阶系统的欠阻尼二阶系统的动态性能指标动态性能指标动态性能指标动态性能指标第三章 线性系统的时域分析法 单位单位阶跃响应超过稳态值达到第一个峰值所需要的时间。阶跃响应超过稳态值达到第一个峰值所需要的时间。峰值时间峰值时间 tp 由由 得得单位单位阶跃响应中最大超出量与稳态值之比。阶跃响应中最大超出量与稳态值之比。超调量超调量%由由第三章 线性系统的时域分析法 单位单位阶跃响应进入阶跃响应进入 误差带的最小时间。误差带的最小时间。调节时间调节时间 ts 欠阻尼二阶系统的一对包络线如图欠阻尼二阶系统的一对包络线如图

27、 c(t)t01包络线包络线（=5%时）时）工程上通常用工程上通常用包络线代替实际曲线来估算。包络线代替实际曲线来估算。解得（=2%时）时）第三章 线性系统的时域分析法 振荡次数振荡次数N 根据振荡次数的定义,有 2.结构参数结构参数对单位阶跃响应性能的影响对单位阶跃响应性能的影响 阻尼比阻尼比越小，超调量越大，平稳性越差，调节时间越小，超调量越大，平稳性越差，调节时间t ts s长；长；过大时，系统响应迟钝，调节时间过大时，系统响应迟钝，调节时间t ts s也长，快速性差；也长，快速性差；=0.7=0.7，调节时间最短，快速性最好，而超调量调节时间最短，快速性最好，而超调量%5%02)古尔维

28、茨行列式全部为正，即古尔维茨行列式全部为正，即1.古尔维茨稳定判据古尔维茨稳定判据设特征方程为设特征方程为主对角线元素为主对角线元素为每列从主对角线元素开始，上到每列从主对角线元素开始，上到an，下到，下到a0，其余填，其余填0。第三章 线性系统的时域分析法 设控制系统的特征方程式为设控制系统的特征方程式为 必必要要条条件件:控控制制系系统统特特征征方方程程式式的的所所有有系系数数ai(i=0,1,2,n)均大于零，小于零或者等于零均大于零，小于零或者等于零（缺项）系统必不稳定。（缺项）系统必不稳定。充充分分条条件件:劳劳斯斯表表中中第第一一列列的的元元素素均均大大于于零零时时，系系统统稳稳定

29、定；反反之之，如如果果第第一一列列出出现现小小于于零零的的元元素素时时，系系统统就就不不稳稳定定。第第一一列列元元素素符符号号的的改改变变次次数数，代代表表特特征征方方程程的的正正实实部部根根的的个个数数。第第一列出现一列出现0元素，系统临界稳定元素，系统临界稳定。2.劳斯判据劳斯判据第三章 线性系统的时域分析法 劳斯表劳斯表:用一个正整数去除或乘某一行用一个正整数去除或乘某一行,不改变稳定性结论。不改变稳定性结论。第三章 线性系统的时域分析法 第第一一列列元元素素的的符符号号变变化化了了两两次次,因因此此该该方方程程中中有有两两个个根根在在复复平面的右半平面平面的右半平面,故故系统不稳定。系

30、统不稳定。impulse(1 2,1 2 3 4 5)例例3.4 设系统特征方程为设系统特征方程为s4+2s3+3s2+4s+5=0;试用劳斯稳定判据试用劳斯稳定判据判别系统稳定性。判别系统稳定性。解：解：列出劳斯表列出劳斯表1234500第三章 线性系统的时域分析法 例例 3-4 设有一个三阶系统的特征方程设有一个三阶系统的特征方程 式中所有系数均为正数。试证明该系统稳定的条件是式中所有系数均为正数。试证明该系统稳定的条件是a1a2a0a3。证明证明 上式对应的劳斯表为上式对应的劳斯表为 根据劳斯判据根据劳斯判据,系统稳定系统稳定的充要条件是劳斯表第一列的充要条件是劳斯表第一列系数均大于零。

31、系数均大于零。所以有所以有 a1a2a0a3 第三章 线性系统的时域分析法 例例 3-5 考虑图示的系统考虑图示的系统,确定使确定使系统稳定的系统稳定的K的取值范围。的取值范围。解解 系统的闭环传递函数为系统的闭环传递函数为 所以系统的特征方程为所以系统的特征方程为 由稳定的必要条件可知由稳定的必要条件可知,K0。第三章 线性系统的时域分析法 列劳斯表如下列劳斯表如下:根据劳斯判据根据劳斯判据,系统稳定必须满足：系统稳定必须满足：因此因此,使系统闭环稳定的使系统闭环稳定的K的取值范围为的取值范围为 当当K=14/9时时,系统处于临界稳定状态。系统处于临界稳定状态。impulse(14/9,1

32、3 3 2 14/9)第三章 线性系统的时域分析法 例例 3-6 对例对例3-5，要求所有闭环极点距虚轴有，要求所有闭环极点距虚轴有0.1个单位的个单位的稳定裕量，稳定裕量，确定确定K的取值范围。的取值范围。解解 将将 S=W-0.1代入特征方程，在代入特征方程，在w域使用域使用劳斯判据，若稳定，则在劳斯判据，若稳定，则在s域至少有一个域至少有一个单位的稳定裕量。单位的稳定裕量。sw0.1w4+2.6 w3+2.16 w2+1.486 s+K-0.1729=0第三章 线性系统的时域分析法 0.1729K1.08pzmap(1,1 3 3 2 0.1729)pzmap(1,1 3 3 2 1.0

33、8)第三章 线性系统的时域分析法 需需要要指指出出,在在运运用用劳劳斯斯稳稳定定判判据据分分析析系系统统的的稳稳定定性性时时,有有时会遇到下列两种特殊情况时会遇到下列两种特殊情况:(1)在在劳劳斯斯表表的的某某一一行行中中,出出现现第第一一个个元元为为零零,而而其其余余各各元元均不为零均不为零,或部分不为零的情况或部分不为零的情况;(2)在劳斯表的在劳斯表的某一行均为零某一行均为零。在在这这两两种种情情况况下下,表表明明系系统统在在复复平平面面内内存存在在两两个个大大小小相相等等符符号号相相反反的的实实根根或或两两个个共共轭轭纯纯虚虚根根,系系统统处处在在临临界界稳稳定定状状态态或或不稳定状态

34、。不稳定状态。第三章 线性系统的时域分析法 例如例如,系统的特征方程为系统的特征方程为 劳斯表为劳斯表为 因为劳斯表第一因为劳斯表第一列元素的符号改列元素的符号改变了两次变了两次,所以所以系统不稳定系统不稳定,且且有两个正实部的有两个正实部的特征根。特征根。roots(1 2 3 6 1)第三章 线性系统的时域分析法 例如例如,系统的特征方程为系统的特征方程为 劳斯表为劳斯表为 辅助方程辅助方程2s2+2=0 辅助方程求导后辅助方程求导后4s+0=0 由以上可以看出由以上可以看出,劳斯表第一列元素符号均大于零劳斯表第一列元素符号均大于零,故系统不故系统不含具有正实部的根含具有正实部的根,而含一

35、对而含一对纯虚根纯虚根,可由辅助方程可由辅助方程2s2+2=0解解出出s1、2=j。roots(1 2 1 2)ans=-2,j,-j4第三章 线性系统的时域分析法 3.6.1 误差与稳态误差误差与稳态误差3.6 控制系统的稳态误差控制系统的稳态误差 稳态误差是衡量系统最终控制精度的重要性能指标。稳态稳态误差是衡量系统最终控制精度的重要性能指标。稳态误差计算的前提条件是系统稳定。误差计算的前提条件是系统稳定。系统误差是系统输出量的系统误差是系统输出量的期望值与实际值之差期望值与实际值之差,即即 cr(t)是与系统设定输入量是与系统设定输入量r(t)相应的期望输出量。相应的期望输出量。这种定义物

36、理意义明确这种定义物理意义明确,但在实际系统中往往不可测量。但在实际系统中往往不可测量。E(s)G(s)C(s)H(s)R(s)B(s)(-)E(s)G(s)C(s)R(s)E1(s)(-)H(s)1/H(s)Cr(s)第三章 线性系统的时域分析法 作作用用误误差差可可用用系系统统结结构构图图中中相相应应的的量量表表示示,便便于于进进行行理理论论分分析析,在实际系统中也可以测量。在实际系统中也可以测量。需需要要时时，可可按按下下式式计计算算出出期期望望输输出出值值Cr(s)和和系系统统误误差差E1(s)：Cr(s)R(s)/H(s)E1(s)=E(s)/H(s)作用误差是系统设定输入量与主反馈

37、量之差作用误差是系统设定输入量与主反馈量之差,即即 e(t)=r(t)-b(t)在单位负反馈情况下在单位负反馈情况下,两种误差的定义是一致的。两种误差的定义是一致的。第三章 线性系统的时域分析法 稳稳态态误误差差:指指一一个个稳稳定定的的系系统统在在设设定定的的输输入入或或扰扰动动作作用用下下,经历过渡过程进入稳态后的误差经历过渡过程进入稳态后的误差,即即 3.6.2 稳态误差计算稳态误差计算E(s)G(s)C(s)H(s)R(s)B(s)(-)若满足若满足sE(s)的极点均位于的极点均位于s左半平面。根据左半平面。根据终值定理终值定理 当当sE(s)在坐标原点具有极点在坐标原点具有极点 时，

38、结果正巧与实际应有的结果一致，时，结果正巧与实际应有的结果一致，公式仍可使用。公式仍可使用。误差传递函数误差传递函数为：为：第三章 线性系统的时域分析法 1）,符合终值定理应用条件。符合终值定理应用条件。2）,符合终值定理应用条件。符合终值定理应用条件。为为 1）r(t)=t，2)r(t)=t2/2，3)r(t)=sint，求系统稳态误差。求系统稳态误差。解：解：误差传递函数为误差传递函数为例例3.7 设单位反馈系统开环传递函数为设单位反馈系统开环传递函数为G(s)=1/Ts,输入信号分别输入信号分别第三章 线性系统的时域分析法 一、影响稳态误差的因素一、影响稳态误差的因素 一般开环传递函数可

39、以写成如下形式：一般开环传递函数可以写成如下形式：3.6.3 系统类型与静态误差系数系统类型与静态误差系数3）,不符合条件不符合条件 结论结论ess0错误错误。本题说明：本题说明：1）使用终值定理要注意条件）使用终值定理要注意条件2）稳态误差与输入有关。）稳态误差与输入有关。t=0:0.1:40;u=sin(t);lsim(1,1 1,u,t)第三章 线性系统的时域分析法 q 显然，系统的稳态误差取决于原点处开环极点的显然，系统的稳态误差取决于原点处开环极点的阶次阶次、开环、开环增增益益K以及输入信号的形式。以及输入信号的形式。式中，式中，K为开环增益。为开环增益。为开环系统在为开环系统在s平

40、面坐标原点的极平面坐标原点的极点重数，点重数，=0,1,2时，系统分别称为时，系统分别称为 0 型、型、型、型、型系统。型系统。第三章 线性系统的时域分析法 二、阶跃输入下稳态误差及静态位置误差系数二、阶跃输入下稳态误差及静态位置误差系数第三章 线性系统的时域分析法 三、斜坡输入下稳态误差及静态速度误差系数三、斜坡输入下稳态误差及静态速度误差系数第三章 线性系统的时域分析法 四、加速度输入下稳态误差及静态加速度误差系数四、加速度输入下稳态误差及静态加速度误差系数第三章 线性系统的时域分析法 五、系统型别、静态误差系数与输入信号行式之间的关系五、系统型别、静态误差系数与输入信号行式之间的关系 0

41、 型系统对位置信号也不能完全跟踪，称为有差系统型系统对位置信号误差为0，称为度度无差系统型系统对速度信号误差为0，称为度度无差系统型系统对加速度信号误差为0，称为度度无差系统第三章 线性系统的时域分析法 六、具有干扰时的稳态误差计算六、具有干扰时的稳态误差计算C(s)G1(s)G2(s)R(s)N(s)(-)H(s)由叠加原理，系统的误差为由叠加原理，系统的误差为输入引起的误差输入引起的误差Er(s)的计算，如前。的计算，如前。干扰引起的输出均为误差，根据作用误差的定义干扰引起的输出均为误差，根据作用误差的定义即干扰引起的作用误差等于干扰引起的反馈量的负值。即干扰引起的作用误差等于干扰引起的反

42、馈量的负值。误差为负表示输出大于输入，一般干扰使输出降低，误差为负表示输出大于输入，一般干扰使输出降低，N(s)0。第三章 线性系统的时域分析法 例例3.8求求r(t)=1(t)+2t,n(t)=-1(t)时系统稳态误差。时系统稳态误差。解：解：r(t)作用时：作用时：Kp=,Kv=K=10,essr=0+2/10=0.2。C(s)G1(s)G2(s)R(s)N(s)(-)n(t)作用时：作用时：第三章 线性系统的时域分析法 例例3.9 系统输入系统输入r(t)=(+t+t2/2)1(t)，求，求0 型、型、型、型、型系统的稳态误差。型系统的稳态误差。解：解：利用叠加原理，可得系统的稳态误差为

43、：利用叠加原理，可得系统的稳态误差为：第三章 线性系统的时域分析法 七、提高稳态精度的措施七、提高稳态精度的措施1)加放大器，即增大开环增益加放大器，即增大开环增益 K2)加积分环节，即提高开环积分环节的阶次加积分环节，即提高开环积分环节的阶次 3)以上两种方法，会使系统的暂态性能产生很大变化。以上两种方法，会使系统的暂态性能产生很大变化。C(s)G1(s)G2(s)R(s)N(s)(-)对扰动来讲，应在扰动作用点之前加放大器和积分环节对扰动来讲，应在扰动作用点之前加放大器和积分环节，否则无效。，否则无效。在在扰动作用点之后加积分环节扰动作用点之后加积分环节：在在扰动作用点之前加积分环节扰动作

44、用点之前加积分环节：仅使分母少仅使分母少1，对稳态误差影响对稳态误差影响不大。不大。S0，稳态误，稳态误差可从有差变差可从有差变成无差。成无差。第三章 线性系统的时域分析法 C(s)R(s)(-)Gr(s)G(s)a.按参考输入补偿按参考输入补偿3)补偿控制补偿控制补偿控制可以提高稳态精度，且暂态性能变化不大。补偿控制可以提高稳态精度，且暂态性能变化不大。全补偿全补偿一般设计成欠补偿：一般设计成欠补偿：第三章 线性系统的时域分析法 2.按扰动输入补偿按扰动输入补偿C(s)R(s)(-)Gf(s)G1(s)G2(s)N(s)第三章 线性系统的时域分析法 C(s)R(s)(-)Gr(s)G(s)型

45、变为型变为型。型。3.用补偿控制提高用补偿控制提高系统的类型系统的类型第三章 线性系统的时域分析法 型变为型变为型。型。结论：复合控制能提高系统型别而不改变其稳定性。结论：复合控制能提高系统型别而不改变其稳定性。第三章 线性系统的时域分析法 3.5.4 动态误差系数法动态误差系数法 动态误差系数法适用于研究输入信号为任意时间函数时的系动态误差系数法适用于研究输入信号为任意时间函数时的系统稳态误差。统稳态误差。设误差传递函数在设误差传递函数在s s邻域展开成泰勒级数为：邻域展开成泰勒级数为：第三章 线性系统的时域分析法 其中其中 C0，C1，C2，为动态误差系数。为动态误差系数。终终值值定理不能

46、表示暂态过程结束后稳态误差随时间变化的定理不能表示暂态过程结束后稳态误差随时间变化的规律。假设规律。假设 t ts 对对E(s)取拉式反变换，得误差的时间函数取拉式反变换，得误差的时间函数动态误差系数也可由误差传递函数的分子多项式除分母多项式，动态误差系数也可由误差传递函数的分子多项式除分母多项式，得到一个得到一个s 的升幂级数，其中的系数就是动态误差系数。的升幂级数，其中的系数就是动态误差系数。第三章 线性系统的时域分析法 例例3.9 单位反馈系统开环传递函数为单位反馈系统开环传递函数为求求r(t)=sin(5t)时系统稳态误差时系统稳态误差ess(t)。解 误差传递函数为第三章 线性系统的时域分析法 级数求和，得