材料力学第六章.ppt

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1、材材 料料 力力 学学武汉生物工程学院机电工程系武汉生物工程学院机电工程系 机械教研机械教研室室材材 料料 力力 学学第六章第六章 梁的应力分析与强度计算梁的应力分析与强度计算6-1 应力分析相关的截面图形几何性质应力分析相关的截面图形几何性质6-2 平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力6-3 梁的强度计算梁的强度计算6-4 弯曲剪应力分析弯曲剪应力分析6-5 斜弯曲的应力计算与强度设计斜弯曲的应力计算与强度设计6-6 斜弯矩与轴力同时作用时横截斜弯矩与轴力同时作用时横截 面上的正应力面上的正应力6-7 结论与讨论结论与讨论第六章第六章 梁的应力分析与强度计算梁的应力分析与

2、强度计算材材 料料 力力 学学第六章第六章 梁的应力分析与强度计算梁的应力分析与强度计算6.1 与与应力分析相关的截面图形几何性质应力分析相关的截面图形几何性质横截面上内力均匀分布横截面上内力均匀分布横截面上存在弯矩时，其上应力不是均匀分布的，横截面上存在弯矩时，其上应力不是均匀分布的，但应力表达式与横截面上的内力分量以及横截面的几何量有关。但应力表达式与横截面上的内力分量以及横截面的几何量有关。根据内力与应力的静力学关系，计算公式根据内力与应力的静力学关系，计算公式：MMyxs s s smaxmax压压压压s s s smaxmax拉拉拉拉MM 材材 料料 力力 学学上图中梁的正应力沿横截

3、面的高度方向线性分布时，即上图中梁的正应力沿横截面的高度方向线性分布时，即根据应力与内力的静力学关系，应力分布将组成弯矩根据应力与内力的静力学关系，应力分布将组成弯矩Mz 为截面对于z轴的惯性矩(moment of inerita of an area)或二次轴矩，其单位为m4。分析弯曲正应力时将涉及到与横截面大小和形状有关的量。包括形心、静矩、惯性矩、惯性积和主轴等。第六章第六章 梁的应力分析与强度计算梁的应力分析与强度计算材材 料料 力力 学学 其中，图形几何形状中心为形心zc yc为形心坐标，则 为截面对于z轴的静矩或一次矩，其单位为m3。为截面对于y轴和z轴的惯性积，其单位为m4。为截

4、面对于z轴的惯性矩或二次轴矩，其单位为m4。第六章第六章 梁的应力分析与强度计算梁的应力分析与强度计算材材 料料 力力 学学极惯性矩 惯性矩 惯性积 设设任意形状截面如图所示。任意形状截面如图所示。1.1.极惯性矩（或截面极惯性矩（或截面二次极矩）二次极矩）2.惯性矩（或截面二次惯性矩（或截面二次轴矩）轴矩）（为（为正值，单位正值，单位m4 或或 mm4)所以所以（即截面对一点的极惯性矩，等于截面对以该点为原（即截面对一点的极惯性矩，等于截面对以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和。）点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和。）OxyyxrdA材材 料料 力力 学学3.惯性积惯性积（其值可（其值可

5、为正、负或为正、负或0，单位，单位:m4 或或 mm4)4.4.惯性半径惯性半径（单位单位m 或或 mm）OxyyxrdA材材 料料 力力 学学简单截面对于形心轴的简单截面对于形心轴的惯性矩惯性矩(1)矩形截面矩形截面第六章第六章 梁的应力分析与强度计算梁的应力分析与强度计算材材 料料 力力 学学(2)圆截面圆截面在等直圆杆扭转问题(3-4)中已求得：zoyyzdA而由图可见，2=y2+z2,从而知第六章第六章 梁的应力分析与强度计算梁的应力分析与强度计算材材 料料 力力 学学 根据对称性可知，原截面对于形心轴z和y的惯性矩Iz和Iy是相等的，Iz=Iy，于是得zoyyzdA第六章第六章 梁的

6、应力分析与强度计算梁的应力分析与强度计算材材 料料 力力 学学(3)空心圆截面空心圆截面(负面积法）负面积法）由于空心圆截面的面积等于大圆的面积AD减去小圆(即空心部分)的面积Ad故有式中，。dOyzD根据对称性可知：第六章第六章 梁的应力分析与强度计算梁的应力分析与强度计算材材 料料 力力 学学6.2 平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力6.2.1 梁弯曲的若干定义与概念梁弯曲的若干定义与概念 所有外力（包括力偶）所有外力（包括力偶）都作用于梁的同一主轴平面都作用于梁的同一主轴平面内时，梁的轴线弯曲后内时，梁的轴线弯曲后将弯曲成平面曲线，即将弯曲成平面曲线，即梁变形后轴线

7、所在平面梁变形后轴线所在平面与外力所在平面相重合，与外力所在平面相重合，这种弯曲称之为这种弯曲称之为平面弯曲平面弯曲。FA AF1F2 B对称轴对称轴纵对称面纵对称面FB 第六章第六章 梁的应力分析与强度计算梁的应力分析与强度计算材材 料料 力力 学学 纯弯曲纯弯曲(pure bending)梁或梁上的某段内各横截面上无剪力而只有弯矩，横截面上只有与弯矩对应的正应力。MeM第六章第六章 梁的应力分析与强度计算梁的应力分析与强度计算材材 料料 力力 学学 横向弯曲横向弯曲(bending by transverse force)梁的横截面上既有弯矩又有剪力；相应地，横截面既有正应力又有切应力。第

8、六章第六章 梁的应力分析与强度计算梁的应力分析与强度计算材材 料料 力力 学学纯弯曲：纯弯曲：横力弯曲：横力弯曲：FS xF F xMFa F alaF 第六章第六章 梁的应力分析与强度计算梁的应力分析与强度计算材材 料料 力力 学学6.2.2 6.2.2 纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力计算公式的推导计算公式的推导 (1)几何方面几何方面 藉以找出与横截面上正应力相对应的纵向线应变在该横截面范围内的变化规律。表面变形情况 在竖直平面内发生纯弯曲的梁(图a)：(a)第六章第六章 梁的应力分析与强度计算梁的应力分析与强度计算材材 料料 力力 学学 1.弯曲前画在梁的侧面上相邻

9、横向线mm和nn间的纵向直线段aa和bb(图b)，在梁弯曲后成为弧线(图a)，靠近梁的顶面的线段aa缩短，而靠近梁的底面的线段bb则伸长；第六章第六章 梁的应力分析与强度计算梁的应力分析与强度计算材材 料料 力力 学学 2.相邻横向线mm和nn(图b)在梁弯曲后仍为直线(图a)，只是相对旋转了一个角度，且与弧线aa和bb保持正交。第六章第六章 梁的应力分析与强度计算梁的应力分析与强度计算材材 料料 力力 学学 根据表面变形情况，并设想梁的侧面上的横向线mm和nn是梁的横截面与侧表面的交线，可作出如下推论(假设)：平面假设：平面假设：梁在纯弯曲时，其原来的横截面仍保持为平面，只是绕垂直于弯曲平面

10、(纵向平面)的某一轴转动，转动后的横截面与梁弯曲后的轴线保持正交。此假设已为弹性力学的理论分析结果所证实。第六章第六章 梁的应力分析与强度计算梁的应力分析与强度计算材材 料料 力力 学学 横截面的转动使梁凹入一侧的纵向线缩短，凸出一侧的纵向线伸长，从而根据变形的连续性可知，中间必有一层纵向线只弯曲而无长度改变的中性层(图f)，而中性层与横截面的交线就是梁弯曲时横截面绕着它转动的轴 中性轴中性轴(neutral axis)。（f)第六章第六章 梁的应力分析与强度计算梁的应力分析与强度计算材材 料料 力力 学学令中性层的曲率半径为r(如图c)，则根据曲率的定义 有纵向线应变在横截面范围内的变化规律

11、纵向线应变在横截面范围内的变化规律 图c为由相距d x的两横截面取出的梁段在梁弯曲后的情况，两个原来平行的横截面绕中性轴相对转动了角dq。梁的横截面上距中性轴 z为任意距离 y 处的纵向线应变由图c可知为(c)第六章第六章 梁的应力分析与强度计算梁的应力分析与强度计算材材 料料 力力 学学 即梁在纯弯曲时，其横截面上任一点处的纵向线应变e与该点至中性轴的距离 y 成正比。(c)弯曲变形弯曲变形第六章第六章 梁的应力分析与强度计算梁的应力分析与强度计算材材 料料 力力 学学 小变形时纯弯曲情况下可假设梁的各纵向线之间无挤压，认为梁内各点均处于单轴应力状态。(2)物理方面物理方面 藉以由纵向线应变

12、在横截面范围内的变化规律 找出横截面上正应力的变化规律。梁的材料在线弹性范围内工作，且拉、压弹性模量相同时，有 这表明，直梁的横截面上的正应力沿垂直于中性轴的方向按直线规律变化(如图)。M第六章第六章 梁的应力分析与强度计算梁的应力分析与强度计算材材 料料 力力 学学 (3)静力学方面静力学方面 藉以找出确定中性轴位置的条件以及横截面上正应力的计算公式。梁的横截面上与正应力相应的法向内力元素sdA(图d)不可能组成轴力()，也不可能组成对于与中性轴垂直的y 轴(弯曲平面内的轴)的内力偶矩()，只能组成对于中性轴 z 的内力偶矩，即(d)第六章第六章 梁的应力分析与强度计算梁的应力分析与强度计算

13、材材 料料 力力 学学将 代入上述三个静力学条件，有(a)(b)(c)以上三式中的Sz，Iyz，Iz都是只与截面的形状和尺寸相关的几何量，统称为截面的几何性质。第六章第六章 梁的应力分析与强度计算梁的应力分析与强度计算材材 料料 力力 学学 由于式(a)，(b)中的 不可能等于零，因而该两式要求：1.横截面对于中性轴 z 的静矩等于零，；显然这是要求中性轴 z 通过横截面的形心；2.横截面对于 y 轴和 z 轴的惯性积等于零，；在对称弯曲情况下，y 轴为横截面的对称轴，因而这一条件自动满足。(a)(b)(c)第六章第六章 梁的应力分析与强度计算梁的应力分析与强度计算材材 料料 力力 学学由式(

14、c)可知，直梁纯弯曲时中性层的曲率为 上式中的EIz称为梁的弯曲刚度。显然，由于纯弯曲时，梁的横截面上的弯矩M 不随截面位置变化，故知对于等截面的直梁包含在中性层内的那根轴线将弯成圆弧。将上式代入得出的式子 即得弯曲正应力计算公式：(c)第六章第六章 梁的应力分析与强度计算梁的应力分析与强度计算材材 料料 力力 学学 中性轴 z 为横截面对称轴的梁(图a，b)其横截面上最大拉应力和最大压应力的值相等；中性轴 z 不是横截面对称轴梁(图c)，其横截面上最大拉应力和最大压应力的值不相等。dzyo(b)yc,max yt,maxyz bd1 hOd2(c)hbzyo(a)第六章第六章 梁的应力分析与

15、强度计算梁的应力分析与强度计算材材 料料 力力 学学 中性轴z为横截面的对称轴时，横截面上最大拉、压应力的值smax为式中，Wz为截面的几何性质，称为弯曲截面系数(section modulus in bending)，其单位为m3。hbzyodzyo第六章第六章 梁的应力分析与强度计算梁的应力分析与强度计算材材 料料 力力 学学 中性轴 z 不是横截面的对称轴时(参见图c)，其横截面上最大拉应力值和最大压应力值为第六章第六章 梁的应力分析与强度计算梁的应力分析与强度计算材材 料料 力力 学学简单截面对于形心轴的惯性矩和弯曲截面系数简单截面对于形心轴的惯性矩和弯曲截面系数(1)矩形截面矩形截面

16、第六章第六章 梁的应力分析与强度计算梁的应力分析与强度计算材材 料料 力力 学学(2)圆截面圆截面在等直圆杆扭转问题(3-4)中已求得：zoyyzdA而由图可见，2=y2+z2,从而知第六章第六章 梁的应力分析与强度计算梁的应力分析与强度计算材材 料料 力力 学学而弯曲截面系数为 根据对称性可知，原截面对于形心轴z和y的惯性矩Iz和Iy是相等的，Iz=Iy，于是得zoyyzdA第六章第六章 梁的应力分析与强度计算梁的应力分析与强度计算材材 料料 力力 学学型钢截面及其几何性质型钢截面及其几何性质：参见型钢表 需要注意的是，型钢规格表中所示的x轴是我们所标示的z轴。第六章第六章 梁的应力分析与强

17、度计算梁的应力分析与强度计算材材 料料 力力 学学6.2.3 纯弯曲正应力公式的应用与推广纯弯曲正应力公式的应用与推广 工程中实际的梁大多发生横力弯曲，此时梁的横截面由于切应力的存在而发生翘曲(warping)。此外，横向力还使各纵向线之间发生挤压(bearing)。因此，对于梁在纯弯曲时所作的平面假设和纵向线之间无挤压的假设实际上都不再成立。但弹性力学的分析结果表明，受满布荷载的矩形截面简支梁，当其跨长与截面高度之比 大于5时，梁的跨中横截面上按纯弯曲理论算得的最大正应力其误差不超过1%，故在工程应用中就将纯弯曲时的正应力计算公式用于横力弯曲情况，即第六章第六章 梁的应力分析与强度计算梁的应

18、力分析与强度计算材材 料料 力力 学学 例题例题6-1 图a所示简支梁由56a号工字钢制成，其截面简化后的尺寸见图b。已知F=150 kN。试求危险截面上的最大正应力smax和同一横截面上翼缘与腹板交界处a点处(图b)的正应力sa。第六章第六章 梁的应力分析与强度计算梁的应力分析与强度计算材材 料料 力力 学学 解：解：在不考虑梁的自重()的情况下，该梁的弯矩图如图所示，截面C为危险截面，相应的最大弯矩值为第六章第六章 梁的应力分析与强度计算梁的应力分析与强度计算材材 料料 力力 学学由型钢规格表查得56a号工字钢截面于是有危险截面上点a 处的正应力为第六章第六章 梁的应力分析与强度计算梁的应

19、力分析与强度计算材材 料料 力力 学学 该点处的正应力sa亦可根据直梁横截面上的正应力在与中性轴z垂直的方向按直线变化的规律，利用已求得的该横截面上的smax=160 MPa来计算：第六章第六章 梁的应力分析与强度计算梁的应力分析与强度计算材材 料料 力力 学学 等直梁横截面上的最大正应力发生在最大弯矩所在横截面上距中性轴最远的边缘处，而且在这些边缘处，即使是横力弯曲情况，由剪力引起的切应力也等于零或其值很小(详见下节)，至于由横向力引起的挤压应力可以忽略不计。因此可以认为梁的危险截面上最大正应力所在各点系处于单轴应力状态。于是可按单向应力状态下的强度条件形式来建立梁的正应力强度条件：式中，s

20、为材料的许用弯曲正应力。6.3 梁的强度计算梁的强度计算第六章第六章 梁的应力分析与强度计算梁的应力分析与强度计算材材 料料 力力 学学对于中性轴为横截面对称轴的梁，上述强度条件可写作 由拉、压许用应力st和sc不相等的铸铁等脆性材料制成的梁，为充分发挥材料的强度，其横截面上的中性轴往往不是对称轴，以尽量使梁的最大工作拉应力st,max和最大工作压应力sc,max分别达到(或接近)材料的许用拉应力st和许用压应力sc。第六章第六章 梁的应力分析与强度计算梁的应力分析与强度计算材材 料料 力力 学学(a)(b)例题例题6-2 图a所示工字钢制成的梁，其计算简图可取为如图b所示的简支梁。钢的许用弯

21、曲正应力s=152 MPa。试选择工字钢的号码。第六章第六章 梁的应力分析与强度计算梁的应力分析与强度计算材材 料料 力力 学学解：在不计梁的自重的情况下，弯矩图如图所示第六章第六章 梁的应力分析与强度计算梁的应力分析与强度计算材材 料料 力力 学学强度条件 要求：此值虽略小于要求的Wz但相差不到1%，故可以选用56b工字钢。由型钢规格表查得56b号工字钢的Wz为第六章第六章 梁的应力分析与强度计算梁的应力分析与强度计算材材 料料 力力 学学 例题例题6-3 图a所示为横截面如图b所示的槽形截面铸铁梁，该截面对于中性轴z 的惯性矩Iz=5493104 mm4。已知图a中，b=2 m。铸铁的许用

22、拉应力st=30 MPa，许用压应力sc=90 MPa。试求梁的许可荷载F。(a)(b)第六章第六章 梁的应力分析与强度计算梁的应力分析与强度计算材材 料料 力力 学学 解：最大负弯矩所在B截面处，若截面的上边缘处最大拉应力st,max达到st，则下边缘处最大压应力sc,max为 根据 可知此sc,max并未达到许用压应力sc，也就是说，就B截面而言，梁的强度由最大拉应力控制。第六章第六章 梁的应力分析与强度计算梁的应力分析与强度计算材材 料料 力力 学学 最大正弯矩在C截面处，若截面的下边缘处最大拉应力st,max达到st，则上边缘处的最大压应力sc,max为 ，它远小于sc故就C截面而言，

23、梁的强度也由最大拉应力控制。第六章第六章 梁的应力分析与强度计算梁的应力分析与强度计算材材 料料 力力 学学 由以上分析可知，该梁的强度条件系受最大拉应力控制。至于究竟是B截面上还是C 截面上的最大拉应力控制了梁的强度，可进一步分析如下：显然，B截面上的最大拉应力控制了梁的强度。B截面：C截面：第六章第六章 梁的应力分析与强度计算梁的应力分析与强度计算材材 料料 力力 学学 于是由B截面上最大拉应力不得超过铸铁的许用拉应力st的条件来求该梁的许可荷载F：由此得F19200 N，亦即该梁的许可荷载为F=19.2 kN。第六章第六章 梁的应力分析与强度计算梁的应力分析与强度计算材材 料料 力力 学

24、学第六章第六章 梁的应力分析与强度计算梁的应力分析与强度计算6.4 弯曲剪应力分析弯曲剪应力分析6.4.1 梁弯曲时横截面上的剪应力分析梁弯曲时横截面上的剪应力分析dx(1)矩形截面梁矩形截面梁从发生横力弯曲的梁中取出长为dx的微段，如图所示。hbzyO材材 料料 力力 学学矩形截面梁横力弯曲时切应力计算公式矩形截面梁横力弯曲时切应力计算公式zyyy1式中，FS为横截面上的剪力；Iz 为整个横截面对于中性轴的惯性矩；b为矩形截面的宽度(与剪力FS垂直的截面尺寸)；Sz*为横截面上求切应力t 的点处横线以外部分面积对中性轴的静矩，。上式就是矩形截面等直梁在对称弯曲时横截面上任一点处切应力的计算公

25、式。第六章第六章 梁的应力分析与强度计算梁的应力分析与强度计算材材 料料 力力 学学梁的合理设计及提高梁强度的措施梁的合理设计及提高梁强度的措施.合理配置梁的荷载和支座第六章第六章 梁的应力分析与强度计算梁的应力分析与强度计算材材 料料 力力 学学第六章第六章 梁的应力分析与强度计算梁的应力分析与强度计算材材 料料 力力 学学.合理选取截面形状 (1)尽可能使横截面上的面积分布在距中性轴较远处，以使弯曲截面系数Wz增大。由四根100 mm80 mm10 mm不等边角钢按四种不同方式焊成的梁(角钢的长肢均平放，故四种截面的高度均为160 mm)，他们在竖直平面内弯曲时横截面对于中性轴的惯性矩Iz

26、和弯曲截面系数Wz如下：第六章第六章 梁的应力分析与强度计算梁的应力分析与强度计算材材 料料 力力 学学图a所示截面图b所示截面图c所示截面图d所示截面第六章第六章 梁的应力分析与强度计算梁的应力分析与强度计算材材 料料 力力 学学 (2)对于由拉伸和压缩许用应力值相等的材料(例如建筑用钢)制成的梁，其横截面应以中性轴为对称轴。对于在压缩强度远高于拉伸强度的材料(例如铸铁)制成的梁，宜采用T形等对中性轴不对称的截面，并将其翼缘置于受拉一侧，如下图。dzyO(b)yc,max yt,maxyz bd1 hOd2(c)hbzyO(a)第六章第六章 梁的应力分析与强度计算梁的应力分析与强度计算材材 料料 力力 学学例 4-18 图为充分发挥材料的强度，最合理的设计为因即第六章第六章 梁的应力分析与强度计算梁的应力分析与强度计算材材 料料 力力 学学.合理设计梁的外形 可将梁的截面高度设计成考虑各截面弯矩大小变化的变截面梁；若使梁的各横截面上的最大正应力都相等，并均达到材料的许用应力，则这种变截面梁称为等强度梁。第六章第六章 梁的应力分析与强度计算梁的应力分析与强度计算材材 料料 力力 学学第六章 完第六章第六章 梁的应力分析与强度计算梁的应力分析与强度计算