大学概率统计教程第6章.ppt

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1、第六章第六章 极限定理极限定理6.1大数定律大数定律12/31/202216.1.1切比雪夫不等式切比雪夫不等式n定理定理6.1 设随机变量设随机变量X的数学期望与的数学期望与方差都存在，则对任意的方差都存在，则对任意的有有或者等价的形式或者等价的形式证：我们就连续型的情形证明；证：我们就连续型的情形证明；12/31/20222切比雪夫不等式切比雪夫不等式可见，当可见，当E(X)，D(X)已知时，可对事件已知时，可对事件发生的概率进行估计。发生的概率进行估计。12/31/20223例例6.112/31/20224例例6.1注注：由于不知道由于不知道X的分布，故本题只能的分布，故本题只能采用且比

2、雪夫不等式估计概率，如果采用且比雪夫不等式估计概率，如果X分布已知，估计的概率误差较大。但分布已知，估计的概率误差较大。但切比雪夫不等式在理论中有非常重要切比雪夫不等式在理论中有非常重要的应用的应用.12/31/20225随机变量序列的收敛性随机变量序列的收敛性n定义定义6.1（依概率收敛）设（依概率收敛）设 是随是随机变量序列，机变量序列，a是一个常数；若对任意是一个常数；若对任意0,有有:则称则称依概率收敛于依概率收敛于a记为：记为：12/31/20226n定理定理6.2 随机变量序列随机变量序列切比雪夫不等式的应用切比雪夫不等式的应用若若存在，且存在，且满足满足证：由切比雪夫不等式证：由

3、切比雪夫不等式两边取极限即可两边取极限即可12/31/20227n定理定理6.3（切比雪夫大数定律）对独立的（切比雪夫大数定律）对独立的随机变量序列随机变量序列6.1.2大数定律大数定律（1）都存在；都存在；若满足若满足（2）方差有限，即存在常数）方差有限，即存在常数 ，使得，使得则有则有12/31/20228定理定理6.312/31/20229定理定理6.312/31/202210两个推论两个推论n推论推论1（独立同分布大数定律）设（独立同分布大数定律）设则则注注:是独立的随机变量序列，且是独立的随机变量序列，且12/31/202211n推论推论2在在n次贝努利试验中，事件次贝努利试验中，事

4、件A发生发生且且A发生的概率为发生的概率为，则，则贝努利大数定律贝努利大数定律的频率为的频率为证证:12/31/202212推论推论2由推论由推论1有有此定理说明了频率的稳定性。此定理说明了频率的稳定性。12/31/202213例例6.212/31/202214例例6.212/31/202215例例6.312/31/202216例例6.312/31/202217课堂练习课堂练习12/31/2022186.2 中心极限定理中心极限定理n定理定理6.4（林德伯格（林德伯格-列维）设随机变量序列列维）设随机变量序列独立同分布，且独立同分布，且记记则对任意则对任意，有，有12/31/202219定理含

5、义（渐近正态性）定理含义（渐近正态性）独立同分布的随机变量之和独立同分布的随机变量之和将将标准化：标准化：得到新的随机得到新的随机变量变量，的分布函数的极限函数是的分布函数的极限函数是标准正态分布。也就是说，可近似地认为：标准正态分布。也就是说，可近似地认为：12/31/202220独立同分布中心极限定理独立同分布中心极限定理12/31/202221独立同分布中心极限定理独立同分布中心极限定理12/31/202222棣莫佛拉普拉斯定理棣莫佛拉普拉斯定理 定理定理6.5 设随机变量设随机变量 服从参数服从参数n n，p(0p1)p(0p1)二项分布，则对任意二项分布，则对任意x x，有，有上述定

6、理说明，二项分布的渐近正态性。上述定理说明，二项分布的渐近正态性。12/31/202223证明：因为证明：因为其其中中Y1，Y2，Yn相相互互独独立立且且都都服服从从于于(0-1)分分布布。且且有有EY k=p，DY k=pq，k=1，2，n.由由中中心心极极限限定定理理知知结结论论成立成立.12/31/202224推论推论充分大时，有充分大时，有12/31/202225例例6.4n计算机在进行数值计算时，其取整误差计算机在进行数值计算时，其取整误差若在一项计算中进行了若在一项计算中进行了100次数值计算，求平均取整误差绝对值次数值计算，求平均取整误差绝对值小于小于0.1的概率。的概率。解：令解：令表示各次数值计算表示各次数值计算的取整误差，则的取整误差，则独立同分独立同分布于布于且且平均误差为平均误差为12/31/202226例例6.4n由中心极限定理，近似地有由中心极限定理，近似地有于是于是12/31/202227例例6.512/31/202228例例6.512/31/202229例例6.512/31/20223012/31/202231