北师大版高中数学选修2-2第三章《导数应用》导数与函数的最大(小)值 课件.ppt

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1、12/31/2022一、教学目标：一、教学目标：1、知识与技能：会求函数的、知识与技能：会求函数的最大值与最小值。最大值与最小值。2、过程与方法：通过具体、过程与方法：通过具体实例的分析，会利用导数求函数的最值。实例的分析，会利用导数求函数的最值。3、情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到抽象，由特殊到一般的思想方法。抽象，由特殊到一般的思想方法。二、教学重点：二、教学重点：函数最大值与最小值的求法函数最大值与最小值的求法 教学难点：教学难点：函数最大值与最小值的求法函数最大值与最小值的求法三、教学方法：三、教学方法：探究归纳，讲练结合探究归纳，讲练结合四

2、、教学过程：四、教学过程：12/31/2022必要条件必要条件函函数数极极值值与与导导数数函数极值的定义函数极值的定义函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得极值的点称为使函数取得极值的点称为极值点极值点.函数极值的求法函数极值的求法求极值的步骤求极值的步骤:1.求导，求导，2.求极值点，求极值点，3.列表，列表，4.求极值求极值（一）、知识回顾（一）、知识回顾:12/31/2022xyoaby=f(x)xxbf(x)+0-f(x)单调单调递增递增极大值极大值单调单调递减递减f(a)f(b)xxaf(x)-0+f(x)单调单调递减递减极小值极小值单调单调递增递增

3、极大值点和极小值点极大值点和极小值点统称为极值点统称为极值点极大值和极小值极大值和极小值统称为极值统称为极值函数极值的判定定理函数极值的判定定理12/31/2022结合课本练习思考结合课本练习思考 极大值一定比极小值大吗？极大值一定比极小值大吗？极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念结论：不一定结论：不一定极极大大值值极极小小值值极极小小值值12/31/2022导数的应用之三导数的应用之三:求函数最值求函数最值.在某些问题中，往往关心的是函数在整在某些问题中，往往关心的是函数在整个定义域区间上，哪个值最大或最小的问题，个定义域区间上，哪个值最大或最小的问题，这就是我们通常所说的这就是我们

4、通常所说的最值问题最值问题.（二）、新课引入（二）、新课引入问：最大值与最小值可能在何处取得？问：最大值与最小值可能在何处取得？怎样求最大值与最小值？怎样求最大值与最小值？观察极值与最值的关系：观察极值与最值的关系：12/31/2022函数的最值函数的最值x xX X2 2o oa aX X3 3b bx x1 1y y 观察右边一个定义观察右边一个定义在区间在区间a,b上的函数上的函数y=f(x)的图象，你能找的图象，你能找出函数出函数y=f（x）在区）在区间间a，b上的最大值、上的最大值、最小值吗？最小值吗？发现图中发现图中_是极小值，是极小值，_是极大值，是极大值，在区间上的函数的最大值

5、是在区间上的函数的最大值是_，最小值是，最小值是_。f(x1)、f(x3)f(x2)f(b)f(x3)问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出样才能判断出f(x3)是最小值，而是最小值，而f(b)是最大值呢？是最大值呢？12/31/2022 在在闭区间闭区间 a,ba,b 上的函数上的函数y=y=f(xf(x)的图象是一条的图象是一条连续不断连续不断的曲线的曲线,则它则它必有必有最大值和最小值最大值和最小值.x xy y0a ab bx x1 1x x2 2x x3 3x x4 4f(af(a)f(xf(x3 3)f(bf(b)f(xf(

6、x1 1)f(xf(x2 2)12/31/2022 (2)将将y=f(x)的的各各极极值值与与f(a)、f(b)比比较较，其其中中最大的一个为最大值，最小的一个最小值最大的一个为最大值，最小的一个最小值 求求f(x)在在闭区间闭区间a,b上的最值的步骤：上的最值的步骤：(1)求求f(x)在区间在区间(a,b)内极值内极值(极大值或极小值极大值或极小值)（三）、新课探析（三）、新课探析:求函数的最值时求函数的最值时,应注意以下几点应注意以下几点:(1)函数的函数的极值是极值是在局部范围内讨论问题在局部范围内讨论问题,是一个是一个局部概局部概 念念,而函数的而函数的最值最值是对整个定义域而言是对整

7、个定义域而言,是在整体范围是在整体范围 内讨论问题内讨论问题,是一个是一个整体性的概念整体性的概念.(2)闭区间闭区间a,b上的连续函数一定有最值上的连续函数一定有最值.开区间开区间(a,b)内内 的可导函数不一定有最值的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值但若有唯一的极值,则此极则此极 值必是函数的最值值必是函数的最值.12/31/2022 (3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个一个,而函数的极值则可能不止一个而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值也可能没有极值,并且极大值并且极大值(极小值极小值)不一定就是最大值不一定就是最大值(最

8、小值最小值),但但除端点外在区间内部的最大值除端点外在区间内部的最大值(或最小值或最小值),则一定是则一定是极大值极大值(或极小值或极小值).(4)如果函数不在闭区间如果函数不在闭区间a,b上可导上可导,则在确定函数则在确定函数的最值时的最值时,不仅比较该函数各导数为零的点与端点处不仅比较该函数各导数为零的点与端点处的值的值,还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值.12/31/2022o ox xy ya ab bo ox xy ya ab bo ox xy ya ab bo ox xy ya ab by=y=f(xf(x)y=y=f(xf(x)y=y

9、=f(xf(x)y=y=f(xf(x)在闭区间上的连续函数必有最大值与最小值在闭区间上的连续函数必有最大值与最小值,在开区间内的连续函数不一定有最大值与在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值最小值.12/31/2022例例1、求函数求函数f(x)=x2-4x+6在区间在区间1，5内内 的最大值和最小值的最大值和最小值.法法一一、将将二二次次函函数数f(x)=x2-4x+6配配方方，利利用用二二次函数单调性处理次函数单调性处理（四）、知识运用（四）、知识运用:一一是是利利用用函函数数性性质质；二二是是利利用用不不等等式；式；三是利用导数。三是利用导数。注：注：求函数最值的一般方法：求函数最值

10、的一般方法：12/31/2022例例1、求函数、求函数f(x)=x2-4x+6在区间在区间1，5内内 的极值与最值的极值与最值 故函数故函数f(x)在区间在区间1，5内有极小值为内有极小值为2，最大值为最大值为11，最小值为，最小值为2 法二、法二、解、解、f(x)=2x-4令令f(x)=0，即，即2x-4=0，得得x=2。x1（1，2）2（2，5）50y-+311212/31/2022xO y yf(x)abxO y yf(x)ab 如如果果函函数数 f(x)在在a,b上上单单调调增增加加(减减少少)，则则 f(a)是是 f(x)在在a,b上上的的最最小小值值(最最大大值值)，f(b)是是

11、f(x)在在a,b上的最大值上的最大值(最小值最小值)。函数的最值一般有两种情况：函数的最值一般有两种情况：（1）12/31/2022xO y f(x0)yf(x)ax0bxO y f(x0)yf(x)ax0b 如如果果函函数数在在区区间间(a,b)内内有有且且仅仅有有一一个个极极大大(小小)值值，而而没没有有极极小小(大大)值值，则则此此极极大大(小小)值值就就是是函数在区间函数在区间a,b上的最大上的最大(小小)值。值。函数的最值一般分为两种情况：函数的最值一般分为两种情况：(2)如如果果函函数数在在区区间间(a,b)内内有有极极值值,将将y=f(x)的的各各极极值值与与f(a)、f(b)

12、比比较较，其其中中最最大大的的一一个个为为最大值，最小的一个最小值最大值，最小的一个最小值.12/31/2022求函数在闭区间内的最值的步骤求函数在闭区间内的最值的步骤(1)求出函数求出函数 y=f(x)在在(a,b)内的内的全部驻点全部驻点和和 驻点处的函数值驻点处的函数值；(2)求出区间求出区间端点处的函数值端点处的函数值；(3)比较以上各函数值，其中最大的就是函数 的最大值，最小的就是函数的最小值。12/31/2022求函数求函数 y=x+3 x9x在上在上4,4 的最大值和最小值。的最大值和最小值。解解 (1)由由 f(x)=3x+6x9,(2)区间端点区间端点4,4 处的函数值为处的

13、函数值为 f(4)=20,f(4)=76(3)比较以上各函数值，比较以上各函数值，例例2得驻点为得驻点为 x1=3，x2=1 驻点处的函数值为驻点处的函数值为f(3)=27,f(1)=4可知函数在可知函数在4,4 上的上的最大值为最大值为 f(4)=76，最小值为，最小值为 f(3)=27 12/31/2022思考思考:你能作出函数你能作出函数f(x)的大致图象吗的大致图象吗?例例3 求求f(x)=x/2 +sinx在区间在区间0,2上的最值上的最值.12/31/2022例题讲解例题讲解 例例1 求函数求函数 在区间在区间 上的最大值与上的最大值与最小值最小值解：解：令令，有，有，解得，解得1

14、345413y+00+02(1,2)1(0,1)0(-1,0)-1(-2,-1)-2x当当x 变化时，变化时，的变化情况如下表：的变化情况如下表：从表上可知，最大值是从表上可知，最大值是13，最小值是，最小值是412/31/2022例例2 2解解12/31/2022计算计算比较得比较得12/31/2022求下列函数在指定区间内的最大值和最小值求下列函数在指定区间内的最大值和最小值。答 案最大值最大值 f(/2)=/2，最小值，最小值 f(/2)=/2最大值最大值 f(3/4)=5/4，最小值，最小值 f(5)=5+最大值最大值 f(1)=29，最小值，最小值 f(3)=61课堂练习：课堂练习：12/31/2022求函数求函数 在在 内的极值；内的极值；1.求求 在在 上的最大值与最小值的步骤上的最大值与最小值的步骤:求函数求函数 在区间端点在区间端点 的值；的值；将函数将函数 在各极值与在各极值与 比较，其中最大的一比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值个是最大值，最小的一个是最小值 小结小结2.2.求函数最值的一般方法：求函数最值的一般方法：.是利用函数性质；是利用函数性质；.是利用是利用不等式；不等式；.是利用导数是利用导数作业布置：作业布置：课本课本P69页习题页习题3-2A组组2、412/31/202212/31/2022