新概率1-4.ppt

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1、11.把把C、C、E、E、I、N、S七个字母分别写在七张七个字母分别写在七张 同样的卡片上，并且将卡片放入同一盒中，现从盒中任意同样的卡片上，并且将卡片放入同一盒中，现从盒中任意一张一张地将卡片取出，并将其按取到的顺序排成一列，一张一张地将卡片取出，并将其按取到的顺序排成一列，假设排列结果恰好拼成一个英文单词：假设排列结果恰好拼成一个英文单词：C ISN C EE问：在多大程度上认为问：在多大程度上认为这样的结果是奇怪的，这样的结果是奇怪的，甚至怀疑是一种魔术？甚至怀疑是一种魔术？六六.思考题思考题2而单词而单词S SC CI IE EN NC CE E中中C C，E E各有各有2 2！种排法

2、。！种排法。故该结果出现的概率为：故该结果出现的概率为：这个概率很小，这里算出的概率有如下的实际意义：这个概率很小，这里算出的概率有如下的实际意义：如果多次重复这一抽卡试验，则我们所关心的事如果多次重复这一抽卡试验，则我们所关心的事件在件在12601260次试验中大约出现次试验中大约出现1 1次次 .7 7个字母随机排成一行，若将两个个字母随机排成一行，若将两个C C、两个两个E E分别编成分别编成不同号码，则有不同号码，则有7 7！种排列。！种排列。这样小概率的事件这样小概率的事件在一次抽卡的试验中就发生了，人们有比较大的把握在一次抽卡的试验中就发生了，人们有比较大的把握怀疑这是魔术怀疑这是

3、魔术.具体地说，可以具体地说，可以99.9%99.9%的把握怀疑这是魔术的把握怀疑这是魔术.解：解：C ISN C EE第一章第一章 概率论基础概率论基础第三节第三节 条件概率条件概率1 条件概率条件概率2 乘法公式乘法公式3 事件的独立性事件的独立性4 全概率公式和贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式34 在解决许多概率问题时，往往需要在某些在解决许多概率问题时，往往需要在某些附加条件下附加条件下求事件的概率求事件的概率.如在事件如在事件B B发生的条件下求事件发生的条件下求事件A A发生的概率，发生的概率，将此概率记作将此概率记作P(A|B)P(A|B).一、条件概率一、条件概率引例：引例：考

4、察有两个小孩的家庭，样本空间考察有两个小孩的家庭，样本空间S=(S=(男男,男男),),(男男,女女),(),(女女,男男),(),(女女,女女).).假定一个小孩是男是女是等可能假定一个小孩是男是女是等可能的，那么上述的，那么上述4 4个样本点是等可能的。设个样本点是等可能的。设A=A=有一男一女的家有一男一女的家庭庭,B=,B=至少有一个女孩的家庭至少有一个女孩的家庭，P(A)=2/4=1/2P(A)=2/4=1/2 求求P(A|B)=P(A|B)=？已知事件已知事件B B发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是B B，B B中只有中只有3 3个等可

5、能样本点，使个等可能样本点，使A A发生的有其中发生的有其中2 2个，于是个，于是 P(A|B)=2/3.P(A|B)=2/3.5由此可见，由此可见，条件概率条件概率P(A|B)P(A|B)的实质是的实质是样本空间起了变化样本空间起了变化。在在S S中计算中计算A A的概率就是的概率就是P(A),P(A),在在S SB B中计算中计算A A的概率就是的概率就是P(A|BP(A|B)。P(A|B)P(A|B)在上例中还注意到在上例中还注意到且且在在古典概率场合下都是成立的。古典概率场合下都是成立的。A=A=有一男一女的家庭有一男一女的家庭,B=,B=至少有一个女孩的家庭至少有一个女孩的家庭，P

6、P（ABAB）=2/4=2/4，P(B)=3/4P(B)=3/4，P(A|B)=2/3.P(A|B)=2/3.这就启发我们以这就启发我们以P(AB)P(AB)与与P(B)P(B)之比作为条件概率的一般定义。之比作为条件概率的一般定义。原样本空间原样本空间S S新样本空间新样本空间S SB B=(男男,女女),(),(女女,男男),(),(女女,女女)缩成为缩成为事件事件B B发生发生6设设A A、B B是两个事件，且是两个事件，且P(B)0P(B)0,则称则称为在事件为在事件B B发生的条件下发生的条件下,事件事件A A的的条件概率条件概率.(1)(1)1.1.条件概率的定义条件概率的定义2.

7、2.条件概率的性质条件概率的性质满足概率所有的基本性质。满足概率所有的基本性质。2)2)由题意由题意,在缩减的样本空间中直接根据古典概型求出。在缩减的样本空间中直接根据古典概型求出。3.3.条件概率的计算条件概率的计算1)1)用定义计算用定义计算(在原样本空间中计算在原样本空间中计算P(B),P(AB)P(B),P(AB)7法法1:1:法法2:2:AB=(6,4),(6,5),(6,6)AB=(6,4),(6,5),(6,6)基本事件总数基本事件总数n=6*6=36,n=6*6=36,k kB B=6,=6,k kABAB=3=3在在B中中6个样本点中只有个样本点中只有3个在个在A中中=(4,

8、6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6)=(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6)B=B=第一颗掷出第一颗掷出6 6点点 设设A=A=掷出点数之和不小于掷出点数之和不小于1010=(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)=(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)解解:在在B B发生后的缩减样本空间中计算发生后的缩减样本空间中计算应用定义应用定义掷两颗均匀骰子掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出已知第一颗掷出6 6点点,问问“掷出点数之掷出点数之和不小于和不小于10”10”的概率是多少的概

9、率是多少?例例1 1所求为所求为P(AB)8由条件概率的定义：由条件概率的定义：若若 P(B)0,P(B)0,则则P(AB)=P(B)P(A|B)(2)P(AB)=P(B)P(A|B)(2)由对称性得由对称性得 若若 P(A)0,P(A)0,则则P(AB)=P(A)P(B|A)(3)P(AB)=P(A)P(B|A)(3)二、乘法公式二、乘法公式3 30 0.注意积事件概率注意积事件概率 P P(ABAB)与条件概率与条件概率 P P(A A|B B)的区别！的区别！注注:1 10 0.(2)(2)和和(3)(3)式都称为式都称为乘法公式乘法公式,利用它们可计算两个利用它们可计算两个事件同时发生

10、的概率。事件同时发生的概率。当当P(AP(A1 1A A2 2AAn-1n-1)0)0时，有时，有P(AP(A1 1A A2 2AAn n）=P(A=P(A1 1)P(A)P(A2 2|A|A1 1)P(A)P(An n|A|A1 1A A2 2AAn-1n-1)2 20 0.推广到多个事件的乘法公式推广到多个事件的乘法公式:P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB),P(AB)09 甲、乙两厂共同生产甲、乙两厂共同生产10001000个零件个零件,其中其中300300件是乙厂生产的件是乙厂生产的.而在这而在这300300个零件中，有个零件中，有189189个是标准件个是标准件,现从这现

11、从这10001000个零件中个零件中任取一个，问这个零件是任取一个，问这个零件是乙厂生产乙厂生产的的标准件标准件的概率是多少？的概率是多少？所求为所求为P(AB).P(AB).甲、乙共生产甲、乙共生产1000 1000 个个189189个是个是标准件标准件300300个个乙厂生产乙厂生产300300个个乙厂乙厂生产生产设设B=B=零件是乙厂生产零件是乙厂生产 A=A=是标准件是标准件 例例2 2分析分析 求的是求的是 P(A|B).P(A|B).若改为若改为“发现它是乙厂生产的发现它是乙厂生产的,问它是标准件的概率是多少问它是标准件的概率是多少?”?”10设某种动物由出生算起活到设某种动物由出

12、生算起活到2020年以上的概率为年以上的概率为0.80.8，活到，活到2525年以上的概率为年以上的概率为0.4.0.4.问现年问现年2020岁的这种动物，它能活岁的这种动物，它能活到到2525岁以上的概率是多少？岁以上的概率是多少？解：解：设设A=A=能活能活2020年以上年以上，B=B=能活能活2525年以上年以上 依题意，依题意，P(A)=0.8,P(B)=0.4P(A)=0.8,P(B)=0.4显然显然A A、B B之间有之间有“先后先后”关系，即关系，即A A先发生，先发生，B B后发生，后发生，例例3 3故故所求为所求为P(B|A).P(B|A).BAS11 一个罐子中包含一个罐子

13、中包含b b个白球和个白球和r r个红球个红球.随机地抽取一个球，观看颜色后随机地抽取一个球，观看颜色后放回放回罐罐中中,并且并且再加进再加进c c个个与所抽出的球具有与所抽出的球具有相相同颜色的球同颜色的球.这种手续进行四次，试求这种手续进行四次，试求第一、二次取到白球且第三、四次取到第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率红球的概率.（波里亚罐子模型）波里亚罐子模型）b b个白球个白球,r r个红球个红球例例4 4于是于是W W1 1W W2 2R R3 3R R4 4表示事件表示事件“连续取四个球，第一、第二个连续取四个球，第一、第二个是白球，第三、四个是红球是白球，第三、四个是红球

14、.”解解:设设W Wi i=第第i i次取出是白球次取出是白球,i=1,2,3,4 i=1,2,3,4 R Rj j=第第j j次取出是红球次取出是红球，j=1,2,3,4j=1,2,3,412用乘法公式容易求出用乘法公式容易求出20 0 当当 c0c0时时,由于每次取出球后会增加下一次也取到由于每次取出球后会增加下一次也取到 同色球的概率同色球的概率.这是一个这是一个传染病模型传染病模型.每次发现一每次发现一 个传染病患者个传染病患者,都会增加再传染的概率都会增加再传染的概率.=P(W=P(W1 1)P(W)P(W2 2|W|W1 1)P(R)P(R3 3|W|W1 1W W2 2)P(R)

15、P(R4 4|W|W1 1W W2 2R R3 3)P(WP(W1 1W W2 2R R3 3R R4 4)10 0 没有把要求概率的事件设为没有把要求概率的事件设为A，而是而是把复杂的事件把复杂的事件 表示成简单事件的算式表示成简单事件的算式，然后再求概率。，然后再求概率。注意：注意：b b个白球个白球,r r个红球个红球13用用Ai表示表示“第第i个个人抽到入场券人抽到入场券”，i1,2,3,4,5.显然，显然，P(AP(A1 1)=1/5)=1/5，P()P()4/54/5则则 表示表示“第第i i个人未抽到入场券个人未抽到入场券”解解:同理同理,第第3 3个人要抽到个人要抽到“入场券入

16、场券”,必须第必须第1,21,2个人都没抽个人都没抽到到.(4/5)(3/4)(1/3)=1/5(4/5)(3/4)(1/3)=1/5继续做下去会发现继续做下去会发现,每个人抽到每个人抽到“入场券入场券”的概率都是的概率都是1/5.1/5.抽签不必争先恐后抽签不必争先恐后.也就是说，也就是说，对于第对于第2 2个人，个人，一场精彩的足球赛将要举行，一场精彩的足球赛将要举行，5 5个球迷好不容易才搞到个球迷好不容易才搞到 一张入场券一张入场券.大家都想去大家都想去,只好用抽签的方法来解决只好用抽签的方法来解决.问：抽签先后是否影响抽到问：抽签先后是否影响抽到“入场券入场券”的概率的概率？例例5

17、5若第若第2 2个人抽到了入个人抽到了入场券，同时第场券，同时第1 1个人个人肯定没抽到肯定没抽到.14例例6 6 为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统()和和()，每种系统单独使用时，系统，每种系统单独使用时，系统()和系统和系统()的有效概的有效概率分别为率分别为0.92和和0.93，在系统，在系统()失灵的情况下，系统失灵的情况下，系统()仍有效的概率为仍有效的概率为0.85，求两个报警系统至少有一个有效的概，求两个报警系统至少有一个有效的概率。率。记记A=“系统系统()有效有效”,B=“系统系统()有效有效”,由由已知已知,解解:15 一般地

18、，一般地，P(A)P(A|B)P(A)P(A|B).但是会不会但是会不会出现相等的情形呢？这就是下面要讨论出现相等的情形呢？这就是下面要讨论的事件的独立性问题的事件的独立性问题.注注16 显然显然 P(A|B)=P(A)P(A|B)=P(A)=1/2=1/2即即 事件事件B的发生与否的发生与否,并不影响事件并不影响事件A发生的概率发生的概率,这时称这时称 事件事件A、B独立独立.设设A=A=第二次掷出正面第二次掷出正面，B=B=第一次掷出正面第一次掷出正面，例：例：将一枚均匀硬币连掷两次，将一枚均匀硬币连掷两次，当事件当事件A A、B B独立时独立时,乘法公式就变得简单乘法公式就变得简单,P(

19、AB)=P(A)P(B)P(AB)=P(A)P(B)若事件若事件A A、B B满足满足 P(AB)=P(A)P(B)(1)P(AB)=P(A)P(B)(1)则称则称A A、B B独立，或称独立，或称A A、B B相互独立相互独立.三、事件的独立性三、事件的独立性1.1.两事件独立的定义两事件独立的定义 在实际应用中在实际应用中,往往是根据问题的实际意义去判断事件是否具有相互往往是根据问题的实际意义去判断事件是否具有相互独立性。（即根据一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率）独立性。（即根据一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率）17练习练习1.1.判断下列事件是否为相互独立事件判断下列事件

20、是否为相互独立事件.篮球比赛的篮球比赛的“罚球两次罚球两次”中，中，事件事件A A：第一次罚球，球进了第一次罚球，球进了.事件事件B B：第二次罚球，球进了第二次罚球，球进了.袋中有三个红球，两个白球，采取不放回的取球袋中有三个红球，两个白球，采取不放回的取球.事件事件A A：第一次从中任取一个球是白球第一次从中任取一个球是白球.事件事件B B：第二次从中任取一个球是白球第二次从中任取一个球是白球.袋中有三个红球，两个白球，采取有放回的取球袋中有三个红球，两个白球，采取有放回的取球.事件事件A A：第一次从中任取一个球是白球：第一次从中任取一个球是白球.事件事件B B：第二次从中任取一个球是白

21、球：第二次从中任取一个球是白球.18说明：说明：“两事件两事件A A、B B相互相互独立独立”与与“两事件两事件A A与与B B互不相容互不相容”是是两个两个不同的概念。不同的概念。独立性是相对于概率独立性是相对于概率P而言的；而言的；“互不相互不相容容”是说两个事件不可能同时发生，即它们没有公共的是说两个事件不可能同时发生，即它们没有公共的样样本点，它并不涉及到事件的概率。本点，它并不涉及到事件的概率。并且对于正概率事件并且对于正概率事件（不考虑不可能事件）两者不能同时成立。（不考虑不可能事件）两者不能同时成立。（1）请问：如图的两个事件是独立的吗？请问：如图的两个事件是独立的吗？即即:若若

22、A A、B B互斥且互斥且P(A)0,P(B)0,P(A)0,P(B)0,则则A A与与B B不独立不独立.反之，若反之，若A A与与B B独立，且独立，且P(A)0,P(B)0,P(A)0,P(B)0,则则A A、B B不互斥不互斥.而而P(A)0,P(B)0P(A)0,P(B)0故故 A A、B B不独立不独立可看出可看出 P(AB)=0P(AB)=0P(AB)P(A)P(B)P(AB)P(A)P(B)即即19（2）能否在样本空间能否在样本空间S中找两个事件中找两个事件,它们既相互独立又互斥它们既相互独立又互斥?这两个事件就是这两个事件就是S S和和且且 P(P(S)=P(S)=P()P(

23、S)=0)P(S)=0 与与S S独立且互斥独立且互斥不难发现，不难发现，与任何事件都独立与任何事件都独立.S=解：解：=P(A)1-P(B)=P(A)P()=P(A)-P(AB)P(A )=P(A-AB)A、B独立独立故故A与与 独立独立.概率的性质概率的性质=P(A)-P(A)P(B)证明证明:仅证仅证A与与 独立独立P20Th1：若两事件若两事件A、B独立，则独立，则 也相互独立也相互独立.2.2.两事件独立的性质两事件独立的性质203 3、多个事件的独立性、多个事件的独立性将两事件独立的定义进行推广：将两事件独立的定义进行推广：对于三个事件对于三个事件A A、B B、C C，若若 P(

24、AB)=P(A)P(B)P(AB)=P(A)P(B)四个等式同四个等式同 P(AC)=P(A)P(C)P(AC)=P(A)P(C)时成立时成立,则称则称 P(BC)=P(B)P(C)P(BC)=P(B)P(C)事件事件A A、B B、C C P(ABC)=P(A)P(B)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)相互独立相互独立.请注意多个事件两两独立与相互独立的区别与联系请注意多个事件两两独立与相互独立的区别与联系两两独立两两独立相互独立相互独立对对n(n2)n(n2)个事件个事件?v若事件若事件A1,A2,An 是相是相互独立的，则将互独立的，则将A1,A2,An中的任意中的任意k(1

25、kn)个事件换为各自的个事件换为各自的对立事件后的对立事件后的n个事件仍然个事件仍然是相互独立的。是相互独立的。4 4、独立性的概念在计算概率中的应用、独立性的概念在计算概率中的应用三人三人独立独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为别为1/51/5，1/31/3，1/41/4，问三人中至少有一人能将密码译出，问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？的概率是多少？将三人编号为将三人编号为1,2,31,2,3，所求为所求为P(AP(A1 1AA2 2AA3 3)记记A Ai i=第第i i个人破译出密码个人破译出密码 i=1,2,3i=1,2,

26、3例例7 7解：解：已知已知P(AP(A1 1)=1/5,P(A)=1/5,P(A2 2)=1/3,P(A)=1/3,P(A3 3)=1/4)=1/4P(AP(A1 1AA2 2AA3 3)=1-1-=1-1-P(AP(A1 1)1-P(A)1-P(A2 2)1-P(A)1-P(A3 3)可简化概率计算可简化概率计算n个个独立独立事件事件和的概率公式和的概率公式 也相互独立也相互独立常言道常言道:“:“三个臭皮匠，顶一个诸葛亮三个臭皮匠，顶一个诸葛亮”,你能用概率计算来证实这一说法吗？你能用概率计算来证实这一说法吗？22例例8:8:已知诸葛亮解出问题的概率为已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,0

27、.8,臭皮匠老大解出臭皮匠老大解出问题的概率为问题的概率为0.5,0.5,老二为老二为0.45,0.45,老三为老三为0.4,0.4,且每个人必须且每个人必须独立解题，问三个臭皮匠中至少有一人解出的概率与诸葛独立解题，问三个臭皮匠中至少有一人解出的概率与诸葛亮解出的概率比较，谁大？亮解出的概率比较，谁大？略解略解:三个臭皮匠中至少有一人解出的概率为三个臭皮匠中至少有一人解出的概率为 所以，合三个臭皮匠之力把握就大过诸葛亮所以，合三个臭皮匠之力把握就大过诸葛亮.23四、小结四、小结 需要指出的是，不少复杂事件概率的计算是加法公式需要指出的是，不少复杂事件概率的计算是加法公式和乘法公式的综合运用和

28、推广和乘法公式的综合运用和推广.下一次课将给大家介绍的下一次课将给大家介绍的全概率公式和贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式就是这样的公式就是这样的公式.1、条件概率、条件概率2、乘法公式、乘法公式3、事件的独立性、事件的独立性24（1 1）设）设A A、B B为为互斥互斥事件，且事件，且P(A)0,P(B)0,P(A)0,P(B)0,下面四个结论中，下面四个结论中，正确的是：正确的是：1.P(B|A)0 2.P(A|B)=P(A)1.P(B|A)0 2.P(A|B)=P(A)3.P(A|B)=0 3.P(A|B)=0 4.P(AB)=P(A)P(B)4.P(AB)=P(A)P(B)（2 2）设）

29、设A A、B B为为独立独立事件，且事件，且P(A)0,P(B)0,P(A)0,P(B)0,下面四个结论中，下面四个结论中，正确的是：正确的是：1.P(B|A)0 2.P(A|B)=P(A)1.P(B|A)0 2.P(A|B)=P(A)3.P(A|B)=0 3.P(A|B)=0 4.P(AB)=P(A)P(B)4.P(AB)=P(A)P(B)五、思考题五、思考题 作业作业P28 TP28 T16.18.20.2116.18.20.2126例例1 1 一批零件共一批零件共100100个，其中有个，其中有1010个是次品。今从这批零件个是次品。今从这批零件中随机抽取，每次一件，中随机抽取，每次一件

30、，1 1）若无放回地抽取）若无放回地抽取3 3次，求次，求3 3次都次都取得合格品的概率；取得合格品的概率；2 2）若有放回地抽取）若有放回地抽取2 2次，求次，求2 2次都次都取得合格品的概率。取得合格品的概率。解解：记记 A Ai i=“第第i i次取得合格品次取得合格品”,i=1,2,3i=1,2,3;2）有放回的抽）有放回的抽(略）略）27另一解法：另一解法：1 1）记记 A=A=“三次都取得合格品三次都取得合格品”，在不放回抽样下，从在不放回抽样下，从100100个个零件中取三个，共有零件中取三个，共有 种取法；种取法；三次都取得合格品，三次都取得合格品，有有 种取法。故种取法。故2

31、 2）记记 B=“B=“两次都取得合格品两次都取得合格品”，在放回抽样下，从，在放回抽样下，从100100个零个零件中取两个，共有件中取两个，共有 1001002 2 种取法；种取法；两次都取得合格品，有两次都取得合格品，有 90902 2 种取法。故种取法。故 =908988/1009998=908988/1009998印象：印象：乘法公式只是研究等可能概型的一种手段。其思路是乘法公式只是研究等可能概型的一种手段。其思路是把复杂的事件表示成简单的事件的算式，然后再求其概率，把复杂的事件表示成简单的事件的算式，然后再求其概率，-这是一种常用的手段。这是一种常用的手段。28例例3 3 某地区一工商银行的贷款范围内某地区一工商银行的贷款范围内,有甲、乙两家同类企有甲、乙两家同类企业。设一年内甲申请贷款的概率为业。设一年内甲申请贷款的概率为0.25，乙申请贷款的概率，乙申请贷款的概率为为0.2，当甲未申请贷款时，乙向银行申请贷款的概率为，当甲未申请贷款时，乙向银行申请贷款的概率为0.1，求在乙未申请贷款时，甲向银行申请贷款的概率。求在乙未申请贷款时，甲向银行申请贷款的概率。解解:设事件设事件A=“甲申请贷款甲申请贷款”,事件事件B=“乙申请贷款乙申请贷款”