第2章 优化设计1.ppt

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1、第第2章章 优化设计优化设计 Optimal Design 优化设计是现代设计方法的重要内容之一。它是以优化设计是现代设计方法的重要内容之一。它是以数学规划论数学规划论为理论基础，以电子计算机为工具，在充分为理论基础，以电子计算机为工具，在充分考虑多种设计约束的前提下，寻求满足某项预定目标的考虑多种设计约束的前提下，寻求满足某项预定目标的最佳设计方案的一种设计方法。最佳设计方案的一种设计方法。本章主要介绍了如下几方面内容：本章主要介绍了如下几方面内容：内容简介内容简介 优化设计的基本概念及数学模型的建立；优化设计的基本概念及数学模型的建立；常用的一维优化方法；常用的一维优化方法；多维无约束优化

2、方法；多维无约束优化方法；约束优化方法；约束优化方法；多目标优化方法；多目标优化方法；机械优化设计的一般步骤及设计应用实例。机械优化设计的一般步骤及设计应用实例。2.1 概述概述2.1.1 优化设计基本概念优化设计基本概念优化设计优化设计（Optimal Design）是）是20世纪世纪60年代发展起年代发展起来的一种现代设计方法。它是将来的一种现代设计方法。它是将最优化原理最优化原理和和计算机技计算机技术术应用于设计领域，为应用于设计领域，为工程设计提供一种重要的科学设工程设计提供一种重要的科学设计方法。计方法。利用这一设计方法，设计者就可从众多的设计方案利用这一设计方法，设计者就可从众多的

3、设计方案中寻找出中寻找出最佳设计方案最佳设计方案，从而大大提高设计效率和质量，从而大大提高设计效率和质量，因此优化设计是现代设计理论和方法的一个重要领域，因此优化设计是现代设计理论和方法的一个重要领域，它已广泛应用于各个工业设计领域和各种产品设计中。它已广泛应用于各个工业设计领域和各种产品设计中。所谓优化设计，所谓优化设计，就是在规定的设计限制条件下，运用就是在规定的设计限制条件下，运用最优化原理最优化原理和和方法方法将实际工程设计问题转化为将实际工程设计问题转化为最优化问题最优化问题，然后以计算机为工具进行寻优计算，在全部可行设计方案然后以计算机为工具进行寻优计算，在全部可行设计方案中，寻求

4、满足预定设计目标的中，寻求满足预定设计目标的最佳设计方案最佳设计方案。进行最优化设计时：进行最优化设计时：首先必须将实际问题加以数学描述，形成一组由数学首先必须将实际问题加以数学描述，形成一组由数学表达式组成的表达式组成的数学模型数学模型；然后选择一种最优化数值计算方法和计算机程序，在然后选择一种最优化数值计算方法和计算机程序，在计算机上进行寻优运算求解，得到一组最佳的设计参数。计算机上进行寻优运算求解，得到一组最佳的设计参数。这组设计参数就是设计的这组设计参数就是设计的最优解最优解。与传统设计方法不同，优化设计过程与传统设计方法不同，优化设计过程一般分为一般分为如下四步如下四步：（）设设计计

5、课课题题分分析析：通通过过对对设设计计课课题题的的分分析析，提提出出设设计计目目标标，它它可可以以是是单单项项设设计计指指标标，也也可可以以是是多多项项设设计计指指标标的的组合。组合。从从技技术术经经济济的的观观点点出出发发，对对机机械械设设计计而而言言，机机器器的的运运动动学学和和动动力力学学性性能能、体体积积、重重量量、效效率率、成成本本、可可靠靠性性等等都都可可以作为设计追求的目标。以作为设计追求的目标。然然后后分分析析设设计计应应满满足足的的要要求求，主主要要的的有有：某某些些参参数数的的取取值值范范围围；某某种种设设计计性性能能或或指指标标按按设设计计规规范范推推导导出出的的技技术术

6、性性能能；还有工艺条件对设计参数的限制等。还有工艺条件对设计参数的限制等。（）（）建立数学模型建立数学模型：将工程优化设计问题用数学方程将工程优化设计问题用数学方程式的形式予以全面地、准确地描述，即建立优化数学模型。式的形式予以全面地、准确地描述，即建立优化数学模型。（）选择（）选择优化设计方法优化设计方法：根据所建立的数学方程式：根据所建立的数学方程式的性质、设计精度的要求等选用合适的优化设计方法，并的性质、设计精度的要求等选用合适的优化设计方法，并做出相应的程序设计。做出相应的程序设计。（）（）上机电算求解上机电算求解：将所编程序及有关数据上机运：将所编程序及有关数据上机运算，自动得出最优

7、值。然后对计算结果做出分析和判断，算，自动得出最优值。然后对计算结果做出分析和判断，则得出最优设计方案。则得出最优设计方案。上述上述优化设计过程的四步优化设计过程的四步其核心是进行如下其核心是进行如下两项工作两项工作：一是分析设计任务一是分析设计任务，将实际问题转化为一个最优化问，将实际问题转化为一个最优化问题，即题，即建立优化问题的建立优化问题的数学模型数学模型；二是二是选用选用适用的优化方法适用的优化方法在计算机上求解数学模型，在计算机上求解数学模型，寻求最优设计方案寻求最优设计方案。下面通过三个简单的优化设计实例，说明优化数学模型下面通过三个简单的优化设计实例，说明优化数学模型的一般形式

8、及其有关概念。的一般形式及其有关概念。2.1.2 优化设计的数学模型优化设计的数学模型例例2-1 如如图图2-1所所示示，有有一一圆圆形形等等截截面面的的销销轴轴，一一端端 固固 定定，一一 端端 作作 用用 着着 集集 中中 载载 荷荷 F=10000N和和 转转 矩矩T=100NM。由由于于结结构构需需要要，轴轴的的长长度度l不不得得小小于于8cm，已已知知销销轴轴材材料料的的许许用用弯弯曲曲应应力力w=120MPa，许许用用扭扭转转切切应应力力=80MPa，允允许许挠挠度度f=0.01cm，密密度度=7.8t/m3，弹性模量，弹性模量E=2105MPa。现要求在满足使用要求的条件下，试设

9、计一个用现要求在满足使用要求的条件下，试设计一个用料最省（销轴质量最轻）的方案。料最省（销轴质量最轻）的方案。图图2-1 圆形等截面的销轴圆形等截面的销轴解解：根根据据上上述述问问题题，该该销销轴轴的的力力学学模模型型是是一一个个悬悬臂臂梁梁。设设销销轴轴直直径径为为d，长长度度为为l，体体积积为为V，则则该问题的物理表达式如下：该问题的物理表达式如下：可见销轴用料取决于其直径可见销轴用料取决于其直径d 和长度和长度l。这是一个合理选择。这是一个合理选择d 和和l而使体积而使体积V 最小的优化设计问题。最小的优化设计问题。(2)满足的满足的条件条件：强度强度条件：条件：弯曲强度弯曲强度表达式表

10、达式扭转强度扭转强度表达式表达式刚度刚度条件：条件：挠度表达挠度表达式式(1)销轴销轴用料最省用料最省（即体积最小）：（即体积最小）：结构尺寸结构尺寸边界边界条件：条件：将题意的有关已知数值代入，按优化数学模型的规范形式，将题意的有关已知数值代入，按优化数学模型的规范形式，可归纳为如下数学模型：可归纳为如下数学模型：设设：设计变量设计变量：目标函数的极小化目标函数的极小化：约束条件约束条件：综上所述，这是一个具有综上所述，这是一个具有4 4个约束条件的二元非线性的约个约束条件的二元非线性的约束优化问题。束优化问题。例例2-2 现用薄钢板制造一体积为现用薄钢板制造一体积为5，长度不小于，长度不小

11、于4m的无上盖的的无上盖的立方体货箱。要求该货箱的钢板耗费量最少，试确定货箱的长、宽和立方体货箱。要求该货箱的钢板耗费量最少，试确定货箱的长、宽和高的尺寸。高的尺寸。解：解：分析可知，钢板的耗费量与货箱的表面积成正比。分析可知，钢板的耗费量与货箱的表面积成正比。设货箱的长、宽、高分别为，货箱的表面积为设货箱的长、宽、高分别为，货箱的表面积为S S，则该，则该问题的物理表达式为：问题的物理表达式为：(1)货箱的货箱的钢板耗费量钢板耗费量（即货箱的表面积用料）最少（即货箱的表面积用料）最少：可见货箱的表面积取决于货箱的长度、宽度和高度可见货箱的表面积取决于货箱的长度、宽度和高度 。(2)满足的满足

12、的条件条件：按优化数学模型的规范形式，可归纳为如下数学模型：按优化数学模型的规范形式，可归纳为如下数学模型：设计变量设计变量：目标函数的极小化目标函数的极小化：约束条件约束条件：由等式约束条件可知，三个设计变量中只有两个是独立变量，即由等式约束条件可知，三个设计变量中只有两个是独立变量，即。所以，该问题的优化数学模型应写为：。所以，该问题的优化数学模型应写为：设计变量设计变量：目标函数的极小化目标函数的极小化：约束条件约束条件：这样，使该优化问题的数学模型更为准确、精炼。这样，使该优化问题的数学模型更为准确、精炼。例例2-3某车间生产甲、乙两种产品。生产甲种产品每件需使用材某车间生产甲、乙两种

13、产品。生产甲种产品每件需使用材料料9kg、3个工时、个工时、4kw电，可获利润电，可获利润60元。生产乙种产品每件需用材元。生产乙种产品每件需用材料料4kg、10个工时、个工时、5kw电，可获利电，可获利120元。若每天能供应材料元。若每天能供应材料360kg，有有300个工时，能供个工时，能供200kw电。试确定两种产品每天的产量，以使每天电。试确定两种产品每天的产量，以使每天可能获得的利润最大。可能获得的利润最大。每天实际消耗的材料、工时和电力可分别用以下约束函数表示：每天实际消耗的材料、工时和电力可分别用以下约束函数表示：解：解：这是一个生产计划问题，可归结为既满足各项生产条件，又这是一

14、个生产计划问题，可归结为既满足各项生产条件，又使每天所能获得的利润达到最大的优化设计问题。使每天所能获得的利润达到最大的优化设计问题。设每天生产的甲、乙两种产品分别为设每天生产的甲、乙两种产品分别为 件，每天获得的利润可件，每天获得的利润可用函数用函数 表示，即表示，即于是上述生产计划问题于是上述生产计划问题的的优化数学模型优化数学模型应写为：应写为：设计变量设计变量：目标函数的极小化目标函数的极小化：约束条件约束条件：（工时约束）（工时约束）（电力约束）（电力约束）（材料约束）（材料约束）由于目标函数和所有约束函数均为设计变量的线性函数，故此优由于目标函数和所有约束函数均为设计变量的线性函数

15、，故此优化问题属线性约束优化问题。化问题属线性约束优化问题。【例2-1】欲用薄钢板制造一体欲用薄钢板制造一体积为积为6m3，高度为，高度为1m，长度不小于，长度不小于3m的无的无盖货箱盖货箱(如图如图2-1所示所示)，试确定货箱的长，试确定货箱的长x1和宽和宽x2，使耗费的，使耗费的钢钢板最少板最少。图2-1 货箱【例2-2】试设计一试设计一重量最轻重量最轻的空心传动轴。的空心传动轴。空心传动轴的轴横截面形状如图空心传动轴的轴横截面形状如图2-2所示，图中所示，图中D、d分别为轴的分别为轴的外径和内径。轴的长度不得小于外径和内径。轴的长度不得小于3m。轴的材料为。轴的材料为45钢，密度钢，密度

16、为为7.810-6kg/mm3，弹性模量，弹性模量E=2105MPa，许用切应力，许用切应力=60MPa。轴所受扭矩为。轴所受扭矩为M=1.5106Nmm。图2-2 空心传动轴的轴横截面形状【例2-3】某厂因生产需要，欲购进五种配件，其个数分别某厂因生产需要，欲购进五种配件，其个数分别为为x1、x2、x3、x4、x5。每种配件的单价分别为。每种配件的单价分别为60元、元、80元、元、85元、元、100元、元、120元。要求元。要求x1不少于不少于20个，个，x3不少于不少于40个，其余每种配件不少于个，其余每种配件不少于30个，个，x1、x2之和不少于之和不少于80个，个，x3、x4之和不少于

17、之和不少于200个，个，x1、x3、x4、x5之和不少于之和不少于400个。问每种配件为个。问每种配件为多少个，配件多少个，配件总总的的进价进价才才最低最低。影响总进价的因素是每种配件的个数。本例是要影响总进价的因素是每种配件的个数。本例是要求一组参数求一组参数x1、x2、x3、x4、x5，这组参数应在满，这组参数应在满足一定的条件下，使所有配件的总进价最低。足一定的条件下，使所有配件的总进价最低。【例2-4】制造一批设备，需用毛坯长度分别为制造一批设备，需用毛坯长度分别为2.5m，1.5m和和1.3m的同型号槽钢各的同型号槽钢各120根、根、240根和根和300根。根。这些不同长度的槽钢都将

18、用长度为这些不同长度的槽钢都将用长度为6m的槽钢截得。的槽钢截得。问如何下料问如何下料用料最省用料最省。本例中，下料的方案有若干个，要求找出其中最本例中，下料的方案有若干个，要求找出其中最佳的方案，该方案应在满足设备所需不同规格槽佳的方案，该方案应在满足设备所需不同规格槽钢根数的条件下，使用料最省。钢根数的条件下，使用料最省。【例2-5】图图2-3为一圆弹簧丝的螺旋扭转弹簧。已知，弹簧在垂直为一圆弹簧丝的螺旋扭转弹簧。已知，弹簧在垂直于其轴线的平面内受到一个扭矩于其轴线的平面内受到一个扭矩T作用，所产生的变形即作用，所产生的变形即扭角为扭角为，弹簧的许用弯曲应力为，弹簧的许用弯曲应力为b，弹性

19、模量为，弹性模量为E。弹。弹簧的结构尺寸要求为：钢丝直径簧的结构尺寸要求为：钢丝直径dminddmax，外径，外径DminDDmax，弹簧圈数，弹簧圈数nn1，旋绕比，旋绕比4C8。试设计该。试设计该弹簧，要求其弹簧，要求其重量最轻重量最轻。图2-3 螺旋扭转弹簧的受力分析【例2-6】试设计一闭式直齿圆锥齿轮传动。已知：小锥齿试设计一闭式直齿圆锥齿轮传动。已知：小锥齿轮悬臂支承，大锥齿轮两端支承，轴交角轮悬臂支承，大锥齿轮两端支承，轴交角=90，小锥齿轮传递扭矩小锥齿轮传递扭矩T1=40Nm，转速，转速n1=960r/rnin，齿数比，齿数比u=3，精度等级为，精度等级为7级，电动机驱动，工级

20、，电动机驱动，工作机载荷稳定，两班制工作，使用期限为作机载荷稳定，两班制工作，使用期限为8年。小年。小锥齿轮选用锥齿轮选用40Cr，调质处理，硬度为，调质处理，硬度为241286HB，大锥齿轮选用，大锥齿轮选用42SiMn，调质处理，硬度为，调质处理，硬度为217255HB。要求所设计的圆锥齿轮传动。要求所设计的圆锥齿轮传动体积小体积小。【例2-7】某一带式运输机中的第一级采用普通某一带式运输机中的第一级采用普通V带传动。带传动。已知动力机为已知动力机为Y系列三相异步电动机，其额定功系列三相异步电动机，其额定功率率P=7.5kW，转速，转速n1=1440r/min，从动带轮的转，从动带轮的转速

21、速n2=630r/min，允许误差为，允许误差为5%，两班制工作，两班制工作，运输装置工作时有轻度冲击。试设计此带传动，运输装置工作时有轻度冲击。试设计此带传动，要求带传动的要求带传动的轮廓尺寸最小轮廓尺寸最小。【例2-7】(续)带传动的设计参数主要有带的型号、带的根数带传动的设计参数主要有带的型号、带的根数z、小带轮直径小带轮直径D1、大带轮直径、大带轮直径D2、带的长度、带的长度L、中、中心距心距a、小带轮包角、小带轮包角1、带的张紧力、带的张紧力F0以及作用在以及作用在轴上的载荷轴上的载荷FQ。由于参数。由于参数D2、a、1、F0、FQ可可由参数传动比由参数传动比i(i=n1/n2=D2

22、/D1)、D1、L、z通过有通过有关公式确定，所以本例的独立设计参数只有关公式确定，所以本例的独立设计参数只有带的带的型号型号、D1、L、z。本例是要通过优选带的型号、本例是要通过优选带的型号、D1、L、z这组参数这组参数得到具有最小轮廓且满足得到具有最小轮廓且满足V带根数、小带轮包角带根数、小带轮包角等限制条件的带传动。等限制条件的带传动。【例2-8】右图所示的人字架由两个钢管构右图所示的人字架由两个钢管构成，其顶点受外力成，其顶点受外力2F=3105N。人字架的跨度人字架的跨度2B=152cm，钢管，钢管壁厚壁厚T=0.25cm，钢管材料的弹性，钢管材料的弹性模量模量E=2.1105Mpa

23、，材料密度，材料密度=7.8 103Kg/m3，许用压应力，许用压应力 y=420MPa。求在钢管压应力。求在钢管压应力不超过许用压应力不超过许用压应力y和失稳临界和失稳临界应力应力e的条件下，人字架的高的条件下，人字架的高h和钢管平均直径和钢管平均直径D，使钢管总质，使钢管总质量量m为最小。为最小。图2-人字架的受力人字架的优化设计问题归结为：使结构质量但应满足强度约束条件稳定约束条件钢管所受的压力失稳的临界力钢管所受的压应力钢管的临界应力强度约束条件可以写成稳定约束条件可以写成人字架的总质量这个优化问题是以D和h为设计变量的二维问题，且只有两个约束条件，可以用解析法求解。除了解析法外，还可

24、以采用作图法求解。图2-人字架优化设计的图解从以上三个实例可以看出，从以上三个实例可以看出，优化设计的数学模型需优化设计的数学模型需要用要用设计变量设计变量、目标函数目标函数和和约束条件约束条件等基本概念才能予等基本概念才能予以完整的描述，可以写成以下统一形式：以完整的描述，可以写成以下统一形式：求设计变量求设计变量：(2-1)使极小化函数使极小化函数：(2-2)满足约束条件满足约束条件：其中，称为不等式约束条件，称为等式约束条件。其中，称为不等式约束条件，称为等式约束条件。若用向量表示设计变量，若用向量表示设计变量，表示向量表示向量X 属于属于n 维实欧氏空间；维实欧氏空间；用用min、ma

25、x表示极小化和极大化，表示极小化和极大化，s.t.（subjected to的英文缩写）表示的英文缩写）表示“满足于满足于”，m、p分别表示不等式约束和等式约束的个数。分别表示不等式约束和等式约束的个数。则优化数学模型可以写成以下向量形式：则优化数学模型可以写成以下向量形式：(2-3)上式就是上式就是优化数学模型优化数学模型的一般表达式。这一优化数学模型，的一般表达式。这一优化数学模型，称为称为约束优化设计问题约束优化设计问题。(2-4)这一优化问题不受任何约束，称为这一优化问题不受任何约束，称为无约束优化设计问题无约束优化设计问题。式（式（2-42-4）即为无约束优化问题的）即为无约束优化问

26、题的数学模型表达式数学模型表达式。若上式所列若上式所列数学模型数学模型内内 m m =p=p=0=0，则成为，则成为当涉及问题要求当涉及问题要求极大化极大化目标函数时，只要将式中目标函数时，只要将式中目标函数目标函数改改写为即可。因为和具有相同的解。写为即可。因为和具有相同的解。同样，当同样，当不等式约束不等式约束为：为：“”时，只要将不等式两端同乘以时，只要将不等式两端同乘以“1”，即可得到，即可得到“”的一般形式。的一般形式。一个完整的规格化的一个完整的规格化的优化数学模型优化数学模型应包含有应包含有三部分内容三部分内容：即设计：即设计变量变量X、目标函数、约束条件和。它们又称、目标函数、

27、约束条件和。它们又称为优化数学模型的为优化数学模型的三要素三要素。建立出的优化数学模型，在计算机上求得的解称为建立出的优化数学模型，在计算机上求得的解称为优化问题的最优化问题的最优解优解，它包括：，它包括：最优方案最优方案：最优目标函数值最优目标函数值：即即优化问题的最优解优化问题的最优解由由最优设计方案最优设计方案X*（或称最优点）和（或称最优点）和最优目标函最优目标函数值数值两部分组成。最优目标函数值是最优点两部分组成。最优目标函数值是最优点X*带入目标带入目标函数所求得的最优函数值，它是评价设计方案优劣程度的一个标函数所求得的最优函数值，它是评价设计方案优劣程度的一个标量值。量值。下面就

28、下面就优化数学模型优化数学模型三要素三要素的有关问题说明如下的有关问题说明如下:在在优化设计优化设计过程中需要调整和优选的参数，称为过程中需要调整和优选的参数，称为设计变量设计变量。可表可表示为：示为：由于实际工程由于实际工程设计对象设计对象的不同，则选取的的不同，则选取的设计变量设计变量也就不同。也就不同。它可以是它可以是几何参数几何参数：如零件外形尺寸、截面尺寸、机构的运动尺：如零件外形尺寸、截面尺寸、机构的运动尺寸等；也可以是寸等；也可以是某些物理量某些物理量：如零部件的重量、体积、力与力矩、惯：如零部件的重量、体积、力与力矩、惯性矩等；还可以是性矩等；还可以是代表机器工作性能的导出量代

29、表机器工作性能的导出量：如应力、变形等。：如应力、变形等。总之，总之，设计变量设计变量必须是对该项设计性能指标必须是对该项设计性能指标优劣优劣有影响的有影响的参数参数。设计变量是一组相互独立的基本参数。一般用向量设计变量是一组相互独立的基本参数。一般用向量X 来表示。来表示。设计变量的每一个分量都是相互独立的。设计变量的每一个分量都是相互独立的。以以n个设计变量为坐标轴所构成的实数空间称为个设计变量为坐标轴所构成的实数空间称为设计空间设计空间，或称，或称n维实欧式空间，维实欧式空间，用用Rn表示表示。1.设计变量设计变量 当当 n=2 时，时，X=x1,x2T 是二维设计向量；是二维设计向量；

30、当当 n=3 时，时，X=x1,x2,x3T 为三维设计向量，设计变量为三维设计向量，设计变量x1,x2,x3组成一个三维空间；组成一个三维空间；当当 n3 时，设计空间是一个想象的超越空间，称时，设计空间是一个想象的超越空间，称n维维实数空间。其中二维和三维设计空间如实数空间。其中二维和三维设计空间如图图2-2所示。所示。图图2-2设计空间设计空间(a)(b)设计变量设计变量可分为连续变量和离散变量。可分为连续变量和离散变量。在工程设计中，当有些设计变量的取值要求是离散在工程设计中，当有些设计变量的取值要求是离散型量，则称型量，则称离散设计变量离散设计变量，如齿轮的齿数、模数，钢管，如齿轮的

31、齿数、模数，钢管的直径、钢板的厚度等。的直径、钢板的厚度等。对于对于离散设计变量离散设计变量，在优化设计过程中常是先把它，在优化设计过程中常是先把它视为连续量，在求得连续量的优化结果后再进行圆整或视为连续量，在求得连续量的优化结果后再进行圆整或标准化，以求得一个实用的最优设计方案。标准化，以求得一个实用的最优设计方案。设计变量的设计变量的个数个数，称为，称为自由度（维数）自由度（维数），它决定了，它决定了优化问题的优化问题的大小范围大小范围，当：，当：n210 为小型优化问题为小型优化问题；n1050 为中型优化问题；为中型优化问题；n 50 为大型优化问题为大型优化问题。2.目标函数目标函数

32、 目标函数目标函数是用来评价设计方案优劣的标准，又称是用来评价设计方案优劣的标准，又称评价评价函数函数。它。它是设计变量的函数，常记为是设计变量的函数，常记为 确定目标函数，是优化设计中最重要的决策之一。因确定目标函数，是优化设计中最重要的决策之一。因为这不仅直接影响优化方案的质量，而且还影响到优化过为这不仅直接影响优化方案的质量，而且还影响到优化过程。程。目标函数可以根据工程问题的要求从不同角度来建立，目标函数可以根据工程问题的要求从不同角度来建立，例如：例如：机械零件设计中的重量、体积、效率、可靠性、机械零件设计中的重量、体积、效率、可靠性、几几何尺寸、何尺寸、承载能力；机械设计中的运动误

33、差、承载能力；机械设计中的运动误差、功率、应力、功率、应力、动力特性；产品设计中的成本、寿命等。动力特性；产品设计中的成本、寿命等。优化设计就是要寻求一个最优设计方案，即优化设计就是要寻求一个最优设计方案，即最优点最优点X*，从而使目标函数达到，从而使目标函数达到最优值最优值。在优化设计中，一。在优化设计中，一般取最优值为般取最优值为目标函数的最小值目标函数的最小值。一个优化问题，可以用一个目标函数来衡量，称之为一个优化问题，可以用一个目标函数来衡量，称之为单目标优化问题单目标优化问题；也可以用多个目标函数来衡量，称之为；也可以用多个目标函数来衡量，称之为多目标优化问题多目标优化问题。如如图图

34、2-3所示，所示，当目标函数当目标函数 f(x)等于等于某一值时，就可得到某一值时，就可得到一条等一条等值线值线，它是在设计平面上由，它是在设计平面上由 f(x)Ci 的的无数个设计点无数个设计点X 所连成，当所连成，当 f(x)为不等为不等的函数值的函数值时，可以得到一族等时，可以得到一族等值线。值线。目标函数可以通过目标函数可以通过等值线（面）等值线（面）在设计空间中表现出来。在设计空间中表现出来。现以现以二维优化问题二维优化问题为例，来说明为例，来说明目标函数的等值线目标函数的等值线(面面)的几何意义。的几何意义。图图2-3二维目标函数的等值线二维目标函数的等值线ci(i=1,2,)由于

35、由于每一条曲线上的各点都具有每一条曲线上的各点都具有相相等的目标函数值等的目标函数值，所以，所以这些曲线这些曲线称为目称为目标函数的等值线。标函数的等值线。所谓所谓目标函数的等值线（面）目标函数的等值线（面），就是当就是当目标函数目标函数 f(X)的值的值依次等于一依次等于一系列系列常数常数 (i=1,2,)时，设计变量时，设计变量X 取得一系列值的集合。取得一系列值的集合。对于对于一个目标函数一个目标函数来说，它可来说，它可以有以有无穷多条无穷多条的的等值线等值线。可以说等。可以说等值线充满了设计空间。值线充满了设计空间。由图可见，由图可见，等值线族等值线族反映了目反映了目标函数值的变化规律

36、，等值线越向标函数值的变化规律，等值线越向里面，目标函数值越小。里面，目标函数值越小。对于对于有中心的曲线族有中心的曲线族来说，等来说，等值线族的值线族的共同中心共同中心就是目标函数的就是目标函数的无约束极小点无约束极小点X*。故从几何意义上。故从几何意义上来说，求目标函数无约束来说，求目标函数无约束极小点极小点也也就是求其等值线族的就是求其等值线族的共同中心共同中心。等值线等值线有以下有以下几个特点几个特点：(1)不同值的等值线不相交；不同值的等值线不相交；(2)除极值点外，在设计空间内，等值线不会中断；除极值点外，在设计空间内，等值线不会中断；(3)等值线充满整个设计空间；等值线充满整个设

37、计空间；(4)等值线分布的疏或密，反应出函数值变化的慢或快等值线分布的疏或密，反应出函数值变化的慢或快；(5)一般来说，在极值点附近，等值线近似是同心椭圆一般来说，在极值点附近，等值线近似是同心椭圆族，极值点就是椭圆的中心点。族，极值点就是椭圆的中心点。在设计空间内，在设计空间内，目标函数值相等点目标函数值相等点的连线的连线：对于二维优化问题，构成了对于二维优化问题，构成了等值线等值线；对于三维优化问题，构成了对于三维优化问题，构成了等值面等值面；对于四维以上的优化问题，则构成了对于四维以上的优化问题，则构成了等值超曲面等值超曲面。3.约束条件约束条件 约束条件约束条件是设计变量选取的限制条件

38、，或称是设计变量选取的限制条件，或称设计约束设计约束。按照约束条件的形式不同，约束有不等式和等式约束两按照约束条件的形式不同，约束有不等式和等式约束两类，一般表达式为类，一般表达式为：不等式约束不等式约束等式约束等式约束按照按照设计约束设计约束的性质不同，约束又可分为如下两类：的性质不同，约束又可分为如下两类：（）性能约束：（）性能约束：是根据设计性能或指标要求而确定的是根据设计性能或指标要求而确定的一种约束条件，例如零件的工作应力、变形的限制条件以及一种约束条件，例如零件的工作应力、变形的限制条件以及对运动学参数如位移、速度、加速度值的限制条件均属性能对运动学参数如位移、速度、加速度值的限制

39、条件均属性能约束。约束。（）边界约束：（）边界约束：则是对设计变量取值范围的限制，例则是对设计变量取值范围的限制，例如对齿轮的模数、齿数的上、下限的限制以及对构件长度尺如对齿轮的模数、齿数的上、下限的限制以及对构件长度尺寸的限制都是边界约束。寸的限制都是边界约束。任何一个任何一个不等式约束方程不等式约束方程的图形将的图形将设计空间设计空间划分为划分为两两部分部分：一部分满足约束，即一部分满足约束，即 gj(X)0；另一部分则不满足约束，即另一部分则不满足约束，即 gj(X)0。故将故将该分界线该分界线或分界面称为或分界面称为约束边界约束边界（或约束面）。（或约束面）。等式约束等式约束本身也是约

40、束边界，不过此时只有约束边界本身也是约束边界，不过此时只有约束边界上的点满足约束，而边界两边的所有部分都不满足约束。上的点满足约束，而边界两边的所有部分都不满足约束。以二维问题为例，如以二维问题为例，如图图2-4所示，其中所示，其中阴影方向部分阴影方向部分表表示不满足约束的区域。示不满足约束的区域。图图2-4约束边界约束边界(2-5)图图2-5二维问题的可行域二维问题的可行域不满足约束条件的设计点构成该优化问题的不满足约束条件的设计点构成该优化问题的不可行域不可行域。可行域可行域也可看做满足所有约束条件的设计点的也可看做满足所有约束条件的设计点的集合集合，因此，可用，因此，可用集合集合表示如下

41、：表示如下：约束的几何意义约束的几何意义是它将是它将设计空间设计空间一分一分为二，形成了为二，形成了可行域可行域和和非可行域非可行域。每一个不等式约每一个不等式约束或等式约束都将设束或等式约束都将设计空间分为两部分，计空间分为两部分，满足所有约束的部分满足所有约束的部分形成一个形成一个交集交集，该交该交集集称为此约束问题的称为此约束问题的可行域可行域，记做，记做 D，见，见图图2-5。综综上上所所述述，优优化化数数学学模模型型是是对对实实际际问问题题的的数数学学描描述述和和概概括括，是是进进行行优优化化设设计计的的基基础础。因因此此，根根据据设设计计问问题题的的具具体体要要求求和和条条件件建建

42、立立完完备备的的数数学学模模型型是是关关系系优优化化设设计计成败的关键。成败的关键。这这是是因因为为优优化化问问题题的的计计算算求求解解完完全全是是围围绕绕数数学学模模型型进进行行的的。也也就就是是说说，优优化化计计算算所所得得的的最最优优解解实实际际上上只只是是数数学学模模型型的的最最优优解解。此此解解是是否否满满足足实实际际问问题题的的要要求求，是是否否就就是是实实际际问问题题的的最最优优解解，完完全全取取决决于于数数学学模模型型和和实实际际问题的问题的符合程度符合程度。建立优化数学模型是一项重要而复杂的工作：建立优化数学模型是一项重要而复杂的工作：一方面希望建立一个一方面希望建立一个尽可

43、能完善尽可能完善的数学模型，以的数学模型，以求精确地表达实际问题，得到满意的结果；求精确地表达实际问题，得到满意的结果；另一方面又力求使所建立的数学模型另一方面又力求使所建立的数学模型尽可能简单尽可能简单，以便于计算与求解。以便于计算与求解。前前者者是是指指总总体体布布局局、结结构构或或系系统统的的类类型型以以及及几几何何形形式式的的优优化化设设计计；后后者者是是在在总总体体方方案案选选定定后后，对对具具体体设设计计参参数数（几几何何参参数数、性性能能参数等）的优化设计。参数等）的优化设计。总总体体方方案案设设计计是是一一种种创创造造性性活活动动，必必须须依依靠靠思思考考与与推推理理，综综合合

44、运运用用多多学学科科的的专专门门知知识识和和丰丰富富的的实实践践经经验验，才才能能获获得得正正确确、合合理理的的设设计计。因因此此，总总体体方方案案优优化化其其大大量量工工作作是是依依据据知知识识和和经经验验进进行行演演绎绎和和推推理理，可可用用人人工工智智能能方方法法（特特别别是是专专家家系系统统技技术术）适适宜宜于于求求解解这这类问题。类问题。设设计计参参数数优优化化是是择择优优确确定定具具体体的的设设计计参参数数，属属于于数数值值计计算算型型工工作作，比比较较容容易易总总结结出出可可供供计计算算分分析析用用的的数数学学模模型型，因因而而一一般般采采用用数数学规划方法来求解。学规划方法来求

45、解。本章本章主要介绍主要介绍设计参数优化问题设计参数优化问题。工程设计的工程设计的类型类型很多，总的来说，它可以分为很多，总的来说，它可以分为两个层次两个层次：2.1.3 优化问题的分类优化问题的分类 总体方案优化总体方案优化；设计参数优化设计参数优化。这两者这两者之间有着密切的联系，但也存在着实质性的区别之间有着密切的联系，但也存在着实质性的区别。根根据据优优化化问问题题的的数数学学模模型型是是否否含含有有设设计计约约束束，可可将将工程优化问题工程优化问题分为分为：工程优化设计问题中的绝大多数问题都是工程优化设计问题中的绝大多数问题都是约束约束优化问题优化问题。工程优化问题工程优化问题约束优

46、化问题约束优化问题无约束优化问题无约束优化问题一维优化问题一维优化问题多维无约束优化问题多维无约束优化问题非线性规划问题非线性规划问题线性规划问题线性规划问题二次规划问题二次规划问题凸规划问题凸规划问题对于优化问题对于优化问题数学模型数学模型的求解，目前可采用的的求解，目前可采用的求解方法求解方法有三种：有三种：数学解析法数学解析法：就是把优化对象用数学模型描述出来后，用：就是把优化对象用数学模型描述出来后，用数学数学解析法（解析法（如微分、变分法等）来求出如微分、变分法等）来求出最优解最优解，如高等数学中求函数极，如高等数学中求函数极值或条件极值的方法。值或条件极值的方法。数学解析法数学解析

47、法是优化设计的理论基础。但它仅限于是优化设计的理论基础。但它仅限于维数较少维数较少且易求且易求导的优化问题的求解。导的优化问题的求解。数学解析法数学解析法 图解法图解法 数值迭代法数值迭代法图解法图解法：就是直接用就是直接用作图的方法作图的方法来求解优化问题，通过画出目来求解优化问题，通过画出目标函数和约束函数的图形，求出最优解。标函数和约束函数的图形，求出最优解。此法的特点此法的特点是简单直观，但仅限于是简单直观，但仅限于n2的低维优化问题的求解。的低维优化问题的求解。2.1.4 优化设计的迭代算法优化设计的迭代算法图图2-6 所示为采用所示为采用图解法图解法来求解如下来求解如下二维优化问题

48、二维优化问题：min f(X)=x12+x224x1+4 s.t.g1(X)=x2x120 g2(X)=x12x2+10 g3(X)=x10 g4(X)=x20该问题的目标函数、约束函数的该问题的目标函数、约束函数的立体图立体图如如图图2-6(a)所示；所示；该问题的该问题的设计空间关系图设计空间关系图如如图图2-6(b)所示，阴影线部分即为所示，阴影线部分即为由所有约束边界围成的由所有约束边界围成的可行域可行域。该问题的该问题的约束最优点约束最优点为图中的为图中的X*点，即点，即 X*=x1*,x2*T=0.58,1.34 T；约束最优值约束最优值为：为：的的最优解最优解的结果。的结果。f(

49、X*)=0.38。(a)问题的立体图问题的立体图 (b)设计空间关系图设计空间关系图图图2-6 二维优化问题的几何解二维优化问题的几何解数数值值迭迭代代法法：完完全全是是依依赖赖于于计计算算机机的的数数值值计计算算特特点点而而产产生生的的，它它是是具具有有一一定定逻逻辑辑结结构构并并按按一一定定格格式式反反复复迭迭代代计计算算，逐逐步步逼逼近近优优化化问问题最优解的一种方法。采用题最优解的一种方法。采用数值迭代法数值迭代法可以求解各种优化问题可以求解各种优化问题。1.数值迭代法的迭代格式数值迭代法的迭代格式数值迭代法数值迭代法的基本思想基本思想是：搜索、迭代、逼近。是：搜索、迭代、逼近。为了求

50、得目标函数为了求得目标函数 的的极小点极小点 ，其，其迭代过程迭代过程如下：如下：在设计空间给出一初始迭代点在设计空间给出一初始迭代点 ；从从 出发，按照确定的搜索方向出发，按照确定的搜索方向 和迭代步长和迭代步长 ，求，求得第一个改进设计点得第一个改进设计点 ，它应该满足：，它应该满足：；再以再以 为新的初始点，重复上述步骤，求得为新的初始点，重复上述步骤，求得 ，如，如此反复迭代，从而得到一个不断改进的此反复迭代，从而得到一个不断改进的点列点列 及一相应及一相应的递减函数值数列的递减函数值数列 。这一这一迭代过程迭代过程用数学式子表达，得用数学式子表达，得数值迭代法数值迭代法的的基本迭代格