第4章(随机变量的数字特征与极限定理)4.6-1.ppt

《第4章(随机变量的数字特征与极限定理)4.6-1.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第4章(随机变量的数字特征与极限定理)4.6-1.ppt（27页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、 概率论与数理统计是研究随机现象统计概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科规律性的学科.随机现象的规律性只有在相随机现象的规律性只有在相同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出来来.也就是说，要从随机现象中去寻求必也就是说，要从随机现象中去寻求必然的法则，应该研究大量随机现象然的法则，应该研究大量随机现象.研究大量的随机现象，常常采用极限研究大量的随机现象，常常采用极限形式，由此导致对极限定理进行研究形式，由此导致对极限定理进行研究.极极限定理的内容很广泛，其中最重要的有两限定理的内容很广泛，其中最重要的有两种种:与与大数定律大数定律中心极限定理中心

2、极限定理4.6.大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理4.6.1 切比雪夫不等式切比雪夫不等式 设随机变量设随机变量X有期望有期望E(X)和方差和方差 ，则对于，则对于任给任给 0,或或 由切比雪夫不等式可以看出，若由切比雪夫不等式可以看出，若 越越小，则事件小，则事件|X-E(X)|的概率越大，的概率越大，即即随机变量随机变量X集中在期望附近的可能性越集中在期望附近的可能性越大大.由此可体会方差的概率意义：由此可体会方差的概率意义：它刻划了随机变量取值的离散程度它刻划了随机变量取值的离散程度.当方差已知时，切比雪夫不等式给出了当方差已知时，切比雪夫不等式给出了r.v X与它的期望的偏差

3、不小于与它的期望的偏差不小于 的概率的估的概率的估计式计式.如取如取 可见，对任给的分布，只要期望和方差可见，对任给的分布，只要期望和方差 存在，则存在，则 r.v X取值偏离取值偏离E(X)超过超过 3 的的概率小于概率小于0.111.例例1:已知正常男性成人血液中，每一毫升已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是白细胞数平均是7300，均方差是，均方差是700.利用利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在52009400之间的概率之间的概率.解：设每毫升白细胞数为解：设每毫升白细胞数为X依题意，依题意，E(X)=7300,D(X)=7002所求为所求为

4、 P(5200 X 9400)P(5200 X 9400)=P(5200-7300 X-7300 9400-7300)=P(-2100 X-E(X)2100)=P|X-E(X)|2100由切比雪夫不等式由切比雪夫不等式 P|X-E(X)|2100即估计每毫升白细胞数在即估计每毫升白细胞数在52009400之间的之间的概率不小于概率不小于8/9.例例2:在每次试验中，事件在每次试验中，事件A发生的概率为发生的概率为 0.75,利用切比雪夫不等式求：利用切比雪夫不等式求：n需要多么大时，需要多么大时，才能使得在才能使得在n次独立重复试验中次独立重复试验中,事件事件A出现的出现的频率在频率在0.74

5、0.76之间的概率至少为之间的概率至少为0.90?解：设解：设X为为n 次试验中，事件次试验中，事件A出现的次数，出现的次数，E(X)=0.75n,的最小的的最小的n.则则 XB(n,0.75)所求为满足所求为满足D(X)=0.75*0.25n=0.1875n =P(-0.01nX-0.75n 0.01n)=P|X-E(X)|0.01n P(0.74n X0.76n)可改写为可改写为在切比雪夫不等式中取在切比雪夫不等式中取n，则，则=P|X-E(X)|0，证明切比雪夫大数定律主要的数学证明切比雪夫大数定律主要的数学工具是切比雪夫不等式工具是切比雪夫不等式.设随机变量设随机变量X有期望有期望E(

6、X)和方差和方差 ，则对于任给则对于任给 0,切比雪夫大数定律表明，独立随机变切比雪夫大数定律表明，独立随机变量序列量序列Xn，如果方差有共同的上界，则如果方差有共同的上界，则与其数学期望与其数学期望 偏差很小的偏差很小的 概率接近于概率接近于1.随机的了，取值接近于其数学期望的概率接随机的了，取值接近于其数学期望的概率接近于近于1.即当即当n充分大时，充分大时，差不多不再是差不多不再是切比雪夫大数定律给出了切比雪夫大数定律给出了平均值稳定性的科学描述平均值稳定性的科学描述 作为切比雪夫大数定律的特殊情况，作为切比雪夫大数定律的特殊情况，有下面的定理有下面的定理.定理定理2（独立同分布下的大数

7、定律独立同分布下的大数定律）设设X1,X2,是独立同分布的随机变量是独立同分布的随机变量序列，且序列，且E(Xi)=，D(Xi)=，i=1,2,则对任给则对任给 0,下面给出的贝努里大数定律，下面给出的贝努里大数定律，是定理是定理2的一种特例的一种特例.贝努里贝努里 设设Sn是是n重贝努里试验中事件重贝努里试验中事件A发发生的次数，生的次数，p是事件是事件A发生的概率，发生的概率，引入引入i=1,2,n则则 是事件是事件A发生的频率发生的频率 于是有下面的定理：于是有下面的定理：设设Sn是是n重贝努里试验中事件重贝努里试验中事件A发生的发生的 次数，次数，p是事件是事件A发生的概率，则对任给的

8、发生的概率，则对任给的 0，定理定理3（贝努里大数定律贝努里大数定律）或或贝努里贝努里 贝努里大数定律表明，当重复试验次数贝努里大数定律表明，当重复试验次数n充分大时，事件充分大时，事件A发生的频率发生的频率Sn/n与事件与事件A的概率的概率p有较大偏差的概率很小有较大偏差的概率很小.贝努里大数定律提供了通过试验来确贝努里大数定律提供了通过试验来确定事件概率的方法定事件概率的方法.任给任给0，蒲丰投针问题中解法的蒲丰投针问题中解法的理论依据就是大数定律理论依据就是大数定律 当投针次数当投针次数n很大时，用针与线相交的很大时，用针与线相交的频率频率m/n近似针与线相交的近似针与线相交的概率概率p

9、，从而求得从而求得的近的近似值似值.针长针长L线距线距a下面给出的独立同分布下的大数定下面给出的独立同分布下的大数定律，不要求随机变量的方差存在律，不要求随机变量的方差存在.设随机变量序列设随机变量序列X1,X2,独立同独立同分布，具有有限的数学期分布，具有有限的数学期E(Xi)=,i=1,2,，则对任给则对任给 0，定理定理3（辛钦大数定律辛钦大数定律）辛钦辛钦 辛钦大数定律为寻找随机变量的期辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径望值提供了一条实际可行的途径.例如要估计某地区的平均亩产量，要例如要估计某地区的平均亩产量，要收割某些有代表性的地块，例如收割某些有代表性的地块

10、，例如n 块块.计计算其平均亩产量，则当算其平均亩产量，则当n 较大时，可用它较大时，可用它作为整个地区平均亩产量的一个估计作为整个地区平均亩产量的一个估计.下面我们再举一例说明大数定律的下面我们再举一例说明大数定律的应用应用.定积分的概率计算法定积分的概率计算法求求的值的值 我们介绍我们介绍均值法，均值法，步骤是步骤是1)产生在产生在(0,1)上均匀分布的随机数上均匀分布的随机数rn,2)计算计算g(rn)，n=1,2,Nn=1,2,N即即3)用平均值近似积分值用平均值近似积分值求求的值的值因此，当因此，当N充分大时，充分大时，原理是什么呢？原理是什么呢？设设XU(0,1)由大数定律由大数定律应如何近似计算？请思考应如何近似计算？请思考.问：若求问：若求的值的值这一讲我们介绍了大数定律这一讲我们介绍了大数定律 大数定律以严格的数学形式表达了随大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质之一：机现象最根本的性质之一：它是随机现象统计规律的具体表现它是随机现象统计规律的具体表现.大数定律在理论和实际中都有广泛的应用大数定律在理论和实际中都有广泛的应用.平均结果的稳定性平均结果的稳定性休息片刻继续下一讲休息片刻继续下一讲