ch4-1函数的单调性和极值最值.ppt

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1、第四章第四章 导数的应用导数的应用 4.1 函数的单调性、极值与最值函数的单调性、极值与最值函数的单调性函数的单调性函数的极值函数的极值最大值与最小值最大值与最小值方程根的个数方程根的个数一、函数的单调性一、函数的单调性定理1证应用拉氏定理,得说明：（1）对无穷区间定理也成立.且等号在有限点处成立，则结论也成立，如（2）若定理设函数 f(x)在 a,b上连续,(a,b)上可导,且 ,x(a,b),则,xa,b例1解注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性二、单调区间求法二、单调区间求法问题:如上例1，函数在定义区间

2、上不是单调的，但在各个部分区间上单调定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点方法:例2解单调区间为例3解单调区间为例5 证明：当时，证明：设所以当时，单调递增，又所以当时，即可以利用函数的单调性证明不等式三、函数极值的定义三、函数极值的定义定义函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.(1)极值是局部概念，最值是整体概念；极值是局部概念，最值是整体概念；(2)极值点肯定不会是端点；极值点肯定不会是端点；(3)极小值可能会大于极大值；极小值可能会大于极大值；(4)区间内的最值点必为极值点。区间内的

3、最值点必为极值点。极大点极大点极小点极小点四、函数极值的求法四、函数极值的求法定理2(必要条件)定义注意:例如,函数的驻点和导数不存在的点通称为函数的临界点.上面的定理也可以叙述为：函数的极值点必为临界点.定理2(必要条件)定理3(一阶充分条件)(不是极值点情形)求极值的步骤:例6解列表讨论极大值极小值图形如下例7解定理4(二阶充分条件)证同理可证(2).例8解图形如下注意:即 是 f(x)的极大值点处取得极值,是极大值还是极小值?并求出其极值例 试问a为何值时,在 因为 f (x)是可微函数,故 是 f(x)的驻点,当 a=2 时,极大值:解即注：注：极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极

4、小值,极小值可能大于极大值.函数的极值必在临界点取得.判别法第一充分条件;第二充分条件;(注意使用条件)五、最大值和最小值五、最大值和最小值步骤:1.求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,哪个大哪个就是最大值,哪个小哪个就是最小值;注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)例9解计算比较得 x=1是 f(x)在(0,2)中的唯一极值点且为极小值点原不等式令 ,则由又 x=1是 最小值点 f(x)f(1)=0,x(0,2)求 0 x 0 时，设 ,考虑 f(x)性质 驻点：x=2确定方程 实根的个数例解原方程x-02+f (x)+-0+f(x)-a+(1)当 时,方程有唯一实根在(-,0)内;(3)当 时,方程有三个实根,分别在(-,0)(0,2),(2,+)内(2)当 时,方程有两个实根,一个为2,另一个在(-,0)内;