第3章弹性与塑性应力应变关系(修改).ppt

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1、第三章第三章 弹性与塑性应力应变关系弹性与塑性应力应变关系 前面两章分别从静力学和几何学的角度出发，导出了平衡（微分）方程和几何方程，这些方程均与物体的材料性质（物理性质）无关，因而适用于任何连续介质。但仅用这些方程还不能求解土木工程领域的实际力学（弹塑性）问题。对土木工程领域的一个实际力学问题（正问题），需要求解的未知量通常包括应力、内力和位移。由于平衡方程仅建立了力学参数（应力分量与外力分量）之间的联系，而几何方程也仅建立了运动学参数（位移分量与应变分量）之12/21/2022周书敬1第三章第三章 弹性与塑性应力应变关系弹性与塑性应力应变关系间的联系，所以，平衡方程和几何方程是两类完全相互

2、独立的方程，它们之间还缺乏必要的联系。对于所求解的问题来讲，因为未知量数目多于任何一类方程的个数，所以，无法利用这两类方程求得全部未知量。为了求解具体的力学问题，还必须引进一些关系式，这些关系式即是所谓的本构关系。本构关系反映可变形固体材料的固有特性，故也称为物理关系，它实际上是一组联系力学参数和运动学参数的方程式，即本构方程。也就是反映可变形固体材料应力和应变之间关系的方程。下面我们仅以简单拉压为例来介绍一下本构方程。12/21/2022周书敬2第三章第三章 弹性与塑性应力应变关系弹性与塑性应力应变关系第一节第一节第一节第一节 拉伸和压缩时的应力应变曲线拉伸和压缩时的应力应变曲线拉伸和压缩时

3、的应力应变曲线拉伸和压缩时的应力应变曲线 一、一、低碳钢的拉伸实验低碳钢的拉伸实验 图图3-1为简单拉伸时的应力应变曲线。为简单拉伸时的应力应变曲线。1、比例变形阶段、比例变形阶段：OA段段 在在此此阶阶段段中中，应应力力和和应应变变之之间间的的关关系系是是线线性性的的，即即可可用用胡胡克克定律定律(Hooke)表示。表示。（31）式中：式中：E弹性模量（弹性模量（moculus of elastics）；12/21/2022周书敬3第三章第三章 弹性与塑性应力应变关系弹性与塑性应力应变关系A点对应的应力称为比例极限（点对应的应力称为比例极限（Propotional limit）2、弹性变形阶

4、段、弹性变形阶段：AB段段 这这时时，与与 之之间间的的关关系系不不再再是是线线性性，但但变变形形仍仍然然是是弹弹性性的的；B点点对对应应的的应应力力称称为为弹弹性性极极限限(elastic limit)。注注：对对许许多多材材料料来来讲讲，A A，B B 两两点点非非常常接接近近，所所以以工工程程上对弹性极限和比例极限并不严格区分上对弹性极限和比例极限并不严格区分。3、屈服阶段、屈服阶段：BD段段 当应力超过弹性极限之后，将出现应变增加很快，而应当应力超过弹性极限之后，将出现应变增加很快，而应12/21/2022周书敬4第三章第三章 弹性与塑性应力应变关系弹性与塑性应力应变关系力力则则在在很

5、很小小范范围围内内波波动动，这这种种应应力力变变化化不不大大而而应应变变显显著著增增加加的现象称为的现象称为屈服屈服或或流动流动。C点点和和D点点对对应应的的应应力力分分别别称称为为材材料料的的上上屈屈服服极极限限和和下下屈屈服服极极限限，但但在在实实际际应应用用中中一一般般都都采采用用下下屈屈服服极极限限作作为为材材料料的的屈服极限屈服极限(yield limit)记作记作 。4、塑性流动阶段、塑性流动阶段：DH段段 在在这这一一阶阶段段中中，虽虽然然应应力力没没有有增增加，应变却在不断增加加，应变却在不断增加。HbHb段：段：强化阶段强化阶段 由由H点点开开始始出出现现强强化化现现象象，即

6、即试试件上只有应力增加时，应变才能增加件上只有应力增加时，应变才能增加。12/21/2022周书敬5第三章第三章 弹性与塑性应力应变关系弹性与塑性应力应变关系 如如果果在在材材料料的的屈屈服服阶阶段段或或强强化化阶阶段段卸卸载载，则则卸卸载载线线为为图图3-1中中的的 ，可可以以看看出出当当逐逐渐渐卸卸除除拉拉力力，应应力力和和应应变变关系将沿着与关系将沿着与OB平行的斜线平行的斜线 和和 回到回到 点和点和 点。点。如如果果由由点点 开开始始再再加加载载，则则加加载载过过程程仍仍沿沿 线线进进行行，直直到到H点点后后材材料料才才开开始始屈屈服服，因因此此材材料料的的比比例例极极限限得得到到了

7、了提提高高。5、局部变形阶段、局部变形阶段：b点点以后以后 在在b b点点之之前前，试试件件处处于于均均匀匀的的应应变变状状态态，到到达达b b点点之之后后，试试件件出出现现颈颈缩缩现现象象，如如果果再再继继续续拉拉伸伸，则则变变形形将将集集中中在在颈缩区进行，最后试件将被拉断。颈缩区进行，最后试件将被拉断。12/21/2022周书敬6第三章第三章 弹性与塑性应力应变关系弹性与塑性应力应变关系 二、没有明显屈服阶段的材料的拉伸实验（图二、没有明显屈服阶段的材料的拉伸实验（图3-2）如：中碳钢、高碳钢、黄铜，对于没有明显屈服阶段的如：中碳钢、高碳钢、黄铜，对于没有明显屈服阶段的材材料料，通通常常

8、以以产产生生0.2%的的塑塑性性应应变变时时所所对对应应的的应应力力作作为为屈屈服服极极限限，并并称称为为名名义屈服极限义屈服极限用用 表示。表示。12/21/2022周书敬7第三章第三章 弹性与塑性应力应变关系弹性与塑性应力应变关系三、包辛格三、包辛格 效应效应：见图：见图3-3。若若自自点点 继继续续卸卸载载（即即压压缩缩），则则反反向向加加载载时时屈屈服服极极限限 不不仅仅比比 小小，而而且且还还比比初初始始屈屈服服极极限限 小小，这这里里的的 是是自自点点 点点拉拉伸伸到到屈屈服服时时的的屈屈服服极极限限，这这种种具具有有强强化化性性质质的的材材料料随随着着塑塑性性变变形形的的增增加加

9、，屈屈服服极极限限在在一一个个方方向向上上提提高高，而而在在相相反反方方向向降降低的效应低的效应称为称为包辛格反应包辛格反应。12/21/2022周书敬8第三章第三章 弹性与塑性应力应变关系弹性与塑性应力应变关系 一一般般认认为为“包包辛辛格格效效应应”是是由由多多晶晶材材料料晶晶界界间间的的残残余余应应力引起的。力引起的。“包辛格效应包辛格效应”使材料具有各向异性性质使材料具有各向异性性质。理理想想包包辛辛格格效效应应：若若一一个个方方向向屈屈服服极极限限提提高高的的数数值值和和相相反方向屈服极限降低的数值相等，则称为理想包辛格效应。反方向屈服极限降低的数值相等，则称为理想包辛格效应。包包辛

10、辛格格效效应应的的数数学学描描述述比比较较复复杂杂，因因而而在在塑塑性性力力学学中中，对这一效应的数学描述经常要进行相应的简化。对这一效应的数学描述经常要进行相应的简化。四、名义应力与真实应力四、名义应力与真实应力 在一般的拉伸实验中，设在一般的拉伸实验中，设 为初始截面积，为初始截面积，P为外载，为外载，则有：则有：名义应力：名义应力：若试件标距长度为若试件标距长度为 ，伸长为，伸长为 ，则有：，则有：12/21/2022周书敬9第三章第三章 弹性与塑性应力应变关系弹性与塑性应力应变关系名义应变：名义应变：这这里里的的 并并不不是是试试件件截截面面上上的的真真实实应应力力，这这是是因因为为在

11、在拉伸过程中，试件截面是逐渐缩小的。这种现象在应力到达拉伸过程中，试件截面是逐渐缩小的。这种现象在应力到达 b b点点之之前前，往往往往可可以以认认为为对对应应力力应应变变曲曲线线的的精精度度影影响响不不大大。但但过过了了b b点点之之后后，试试件件发发生生颈颈缩缩，截截面面面面积积的的较较大大变变化化对对于于应力的计算将有明显的影响。应力的计算将有明显的影响。若若试试件件截截面面上上的的真真实实应应力力用用 表表示示，A为为某某一一瞬瞬间间试试件件的实际截面积，则应有：的实际截面积，则应有：由于由于 ，所以有，所以有 。（32）真实应力：真实应力：12/21/2022周书敬10第三章第三章

12、弹性与塑性应力应变关系弹性与塑性应力应变关系根据体积不可压缩假设，应有：根据体积不可压缩假设，应有：（33）（34）（35）由由（3-5）式式很很容容易易由由应应力力应应变变曲曲线线得得到到真真实实应应力力应应变变曲线曲线（图（图3-4）。）。12/21/2022周书敬11第三章第三章 弹性与塑性应力应变关系弹性与塑性应力应变关系12/21/2022周书敬12第三章第三章 弹性与塑性应力应变关系弹性与塑性应力应变关系 五、压缩实验五、压缩实验 关关于于通通过过压压缩缩试试验验，获获得得塑塑性性变变形形时时的的真真实实的的应应力力应应变变曲线的过程，见书曲线的过程，见书P7780。（36）12/

13、21/2022周书敬13第三章第三章 弹性与塑性应力应变关系弹性与塑性应力应变关系第二节第二节第二节第二节 简单应力状态的本构方程简单应力状态的本构方程简单应力状态的本构方程简单应力状态的本构方程 对对于于不不同同的的材材料料，不不同同的的应应用用领领域域，其其本本构构方方程程是是完完全全不不同同的的，特特别别是是对对于于塑塑性性力力学学问问题题其其应应力力应应变变关关系系为为非非线线性性，叠叠加加原原理理不不能能应应用用，而而且且应应力力应应变变关关系系还还和和变变形形的的历史有关。历史有关。根根据据不不同同材材料料简简单单拉拉压压试试验验，提提出出以以下下几几种种不不同同的的简简化化力力学

14、学模模型型（本本构构方方程程），在在第第0章章已已给给出出过过，在在此此给给出出具具体分析。体分析。12/21/2022周书敬14第三章第三章 弹性与塑性应力应变关系弹性与塑性应力应变关系 在弹性变形阶段，把应力与应变之间看成是一种在弹性变形阶段，把应力与应变之间看成是一种线性关系线性关系。1、理理想想弹弹性性塑塑性性（材材料料）模模型型（见图（见图a）（39）当当材材料料进进入入塑塑性性状状态态后后，若若不不考考虑虑材材料料的的强强化化性性质质，则则可可得得到到理理想想弹弹塑塑性性模模型型。这这里里的的强强化化指指的的是是当当材材料料在在经经过过塑塑性性形形变变后后，于于第第二二次加载时的弹

15、性极限提高了。次加载时的弹性极限提高了。（a）理想弹塑性模型12/21/2022周书敬15第三章第三章 弹性与塑性应力应变关系弹性与塑性应力应变关系 分分析析式式（3-9），该该式式中中只只包包含含了了材材料料常常数数 和和 ，故故不不能能描描述述应应力力应应变变曲曲线线的的全全部部特特征征；又又由由于于在在 处处解解析表达式有变化，给具体计算带来一定困难。析表达式有变化，给具体计算带来一定困难。该该力力学学模模型型抓抓住住了了韧韧性性材材料料的的主主要要特特征征，因因而而与与实实际际情情况符合得较好。况符合得较好。2、(双双)线性强化弹塑性模型（图线性强化弹塑性模型（图b b）当当考虑材料强

16、化性质考虑材料强化性质时，可采用时，可采用该模型。该模型。其其解析表达式解析表达式为（为（3-10）（b）线性强化弹塑性模型（3-10）12/21/2022周书敬16第三章第三章 弹性与塑性应力应变关系弹性与塑性应力应变关系 具具有有这这种种应应力力应应变变关关系系的的材材料料，称称为为弹弹塑塑性性线线性性强强化化材材料料。这种近似的力学模型对某些材料是足够精确的。这种近似的力学模型对某些材料是足够精确的。如如果果AB的的斜斜率率足足够够小小，则则作作为为理理想想弹弹塑塑性性体体考考虑虑并并不不致致于产生很大的误差于产生很大的误差,但计算却可大为简化。但计算却可大为简化。如果如果AB的斜率大到

17、不能忽略时，的斜率大到不能忽略时，则应按式（则应按式（3-10）进行）进行计算。计算。这个模型和理想弹塑性模型虽然相差不大，但具体计算这个模型和理想弹塑性模型虽然相差不大，但具体计算却要复杂的多。却要复杂的多。为为了了避避免免解解析析式式在在 处处的的变变化化，有有时时可可采采用用幂幂强强化化力学模型力学模型。（见图。（见图c）12/21/2022周书敬17第三章第三章 弹性与塑性应力应变关系弹性与塑性应力应变关系3、幂强化（效应）力学模型、幂强化（效应）力学模型（3-11）上式所代表的曲线在上式所代表的曲线在 处与处与 轴相切，而且有：轴相切，而且有：当当 时，为理想弹性模型；时，为理想弹性

18、模型；当当 时，为理想刚塑性模型时，为理想刚塑性模型(图图c c)；当当 时，没有线弹性阶段。时，没有线弹性阶段。（c）理想刚塑性模型卸载线卸载线12/21/2022周书敬18第三章第三章 弹性与塑性应力应变关系弹性与塑性应力应变关系 在在许许多多实实际际工工程程问问题题中中，弹弹性性应应变变比比塑塑性性应应变变小小的的多多，因而可以忽略弹性应变，这时采用幂强化模型较合适。因而可以忽略弹性应变，这时采用幂强化模型较合适。对对于于“刚刚塑塑性性力力学学模模型型”，其其假假设设为为：在在应应力力达达到到屈屈服服极限之前应变为零。极限之前应变为零。具具有有线线性性强强化化性性质质的的刚刚塑塑性性力力

19、学学模模型型（见见图图d）,其其卸卸载载线也是平行于线也是平行于 轴的。轴的。（d）线性强化刚塑性模型卸载线卸载线E1为该线的斜率。为该线的斜率。12/21/2022周书敬19第三章第三章 弹性与塑性应力应变关系弹性与塑性应力应变关系4、强化后卸载，再进行反向加载的模型、强化后卸载，再进行反向加载的模型 （1）等向（各向同性）强化模型）等向（各向同性）强化模型 这这种种模模型型表表示示材材料料当当由由于于拉拉伸伸而而提提高高了了反反向向屈屈服服应应力力，且且反反向向屈屈服应力得到同样大的提高。服应力得到同样大的提高。等向（各向同性）强化模型等向（各向同性）强化模型（2）随动强化模型）随动强化模

20、型 随动强化模型随动强化模型 符符合合理理想想包包辛辛格格效效应应的的情情况况，即即若若一一个个方方向向屈屈服服极极限限提提高高的的数数值值和和反反向屈服极限降低的数值相等。向屈服极限降低的数值相等。12/21/2022周书敬20第三章第三章 弹性与塑性应力应变关系弹性与塑性应力应变关系 在在塑塑性性成成形形理理论论中中的的多多数数情情况况下下，塑塑性性应应变变一一般般都都比比弹弹性性应应变变大大得得多多，所所以以忽忽略略弹弹性性应应变变而而只只考考虑虑塑塑性性应应变变是是合合理理的的，对对总总体体的的计计算算结结果果影影响响不不大大。采采用用刚刚塑塑性性模模型型给给数数学学计计算算带带来来较

21、较大大的的简简化化，是是许许多多复复杂杂问问题题能能获获得得完完整整的的解解析析表表达达式式。应应用用比比较较广广泛泛的的力力学学模模型型是是：理理想想弹弹塑塑性性力力学学模模型型，幂幂强化力学模型强化力学模型，理想刚塑性力学模型理想刚塑性力学模型。12/21/2022周书敬21第三章第三章 弹性与塑性应力应变关系弹性与塑性应力应变关系第三节第三节 广义胡克定律广义胡克定律 这里研究的是复杂应力状态下的弹性本构方程。这里研究的是复杂应力状态下的弹性本构方程。对各向同性均匀材料，其广义胡克定律为：对各向同性均匀材料，其广义胡克定律为：（31）（书：（书：313）12/21/2022周书敬22第三

22、章第三章 弹性与塑性应力应变关系弹性与塑性应力应变关系其中，其中，E为弹性模量（为弹性模量（modulus of elasticity）为泊松比为泊松比(Poissons ratio)G为剪切弹性模量为剪切弹性模量(Shear modulus of elasticity)（32）将式将式（31）的的 前三式相加后，则有前三式相加后，则有:三三个个(工工程程弹弹性性)常常数数中中,实实际际上上独独立立的的只只有两个。有两个。12/21/2022周书敬23第三章第三章 弹性与塑性应力应变关系弹性与塑性应力应变关系而：而：则有：则有：（33）或：或：（34）（）（书：书：314）上上式式表表明明，体

23、体积积应应变变与与三三个个主主应应力力之之和和成成正正比比。引引入入上上式则广义胡克定律又可写为：式则广义胡克定律又可写为：（34）（）（书：书：314）12/21/2022周书敬24第三章第三章 弹性与塑性应力应变关系弹性与塑性应力应变关系由式（由式（34）和（）和（35）可以得出：）可以得出：即得应变偏量分量即得应变偏量分量 与应力偏量分量与应力偏量分量 的关系式的关系式 式中，式中，。同理可得：应变偏量分量同理可得：应变偏量分量 和和 ，即有（即有（36）（书：）（书：316）：）：12/21/2022周书敬25第三章第三章 弹性与塑性应力应变关系弹性与塑性应力应变关系（36）（书：（书

24、：316）由式（由式（35）和（）和（36）可知：在弹性阶段中有：）可知：在弹性阶段中有：用主应力偏量和主应变偏量表示时，则有：用主应力偏量和主应变偏量表示时，则有：12/21/2022周书敬26第三章第三章 弹性与塑性应力应变关系弹性与塑性应力应变关系由此可得：由此可得：此式可用下式表示：此式可用下式表示：（37）（书：）（书：317）（37）式式说说明明：在在弹弹性性变变形形阶阶段段，应应力力莫莫尔尔圆圆与与应应变变莫莫尔尔圆是成比例的。圆是成比例的。根据代数运算规则根据代数运算规则 由（由（37）式可得出：）式可得出：12/21/2022周书敬27第三章第三章 弹性与塑性应力应变关系弹性

25、与塑性应力应变关系或或 因此可得：因此可得：由由此此可可见见：在在弹弹性性阶阶段段由由于于应应力力莫莫尔尔圆圆与与应应变变莫莫尔尔圆圆相相似似，所以有以下结论：所以有以下结论：应力与应变洛德参数相等：应力与应变洛德参数相等：；应力与应变型式指数相等：应力与应变型式指数相等：；应力主轴与应变主轴重合；应力主轴与应变主轴重合；各应力分量与相应的应变分量的比值相同。各应力分量与相应的应变分量的比值相同。12/21/2022周书敬28第三章第三章 弹性与塑性应力应变关系弹性与塑性应力应变关系 上上面面的的广广义义胡胡克克定定律律是是用用应应力力来来表表示示应应变变的的，下下面面给给出出用用应变来表示应

26、力应变来表示应力的的的的广义胡克定律广义胡克定律：由广义胡克定律的第一式可得到：由广义胡克定律的第一式可得到：由此可得到：由此可得到：引入拉梅常数（引入拉梅常数（Lame Contants）：）：12/21/2022周书敬29第三章第三章 弹性与塑性应力应变关系弹性与塑性应力应变关系并利用并利用 可得：可得：用相同的方法可求出其它各量，即有式（用相同的方法可求出其它各量，即有式（3-8）同样若用平均应变表示平均应力时，有：式（同样若用平均应变表示平均应力时，有：式（3-9）（38）（书：（书：318）（39）（书：（书：31912/21/2022周书敬30第三章第三章 弹性与塑性应力应变关系弹

27、性与塑性应力应变关系其中其中K 称为体积弹性模量（称为体积弹性模量（bulk moculus of elasticity）（3-9）式可写为：）式可写为：该式反应了体积应变与平均应力之间的关系，称为体积应变的胡克定律。12/21/2022周书敬31第三章第三章 弹性与塑性应力应变关系弹性与塑性应力应变关系第四节第四节 特雷斯卡和米泽斯屈服条件特雷斯卡和米泽斯屈服条件(Tresca and Mises Yield criterion)塑塑性性力力学学：研研究究塑塑性性变变形形和和作作用用力力之之间间的的关关系系以以及及在在塑塑性变形后物体内部应力分布规律的学科性变形后物体内部应力分布规律的学科。

28、一、一、塑性力学问题的几个特点：塑性力学问题的几个特点：（1）应力与应变之间的关系（本构关系）是非线性的应力与应变之间的关系（本构关系）是非线性的，其非线性性质与具体材料有关；（其非线性性质与具体材料有关；（本构关系是非线性的本构关系是非线性的）（2）应力与应变之间没有一一对应关系应力与应变之间没有一一对应关系，它与加载历史，它与加载历史有关；有关；12/21/2022周书敬32第三章第三章 弹性与塑性应力应变关系弹性与塑性应力应变关系 （3）在在变变形形体体中中有有弹弹性性变变形形区区和和塑塑性性变变形形区区，而而在在求求解问题时需要找出弹性区和塑性区的分界线；解问题时需要找出弹性区和塑性区

29、的分界线；（4）在在分分析析问问题题时时，需需要要区区分分是是加加载载过过程程还还是是卸卸载载过过程程，在在塑塑性性区区，当当加加载载时时要要使使用用塑塑性性本本构构关关系系，而而卸卸载载时时，要使用广义胡克定律。要使用广义胡克定律。从从这这里里我我们们可可以以看看出出对对弹弹塑塑性性力力学学问问题题，如如何何判判断断材材料料是是处处于于弹弹性性阶阶段段还还是是处处于于塑塑性性阶阶段段是是一一个个很很重重要要的的问问题题。这这个判别准则称为个判别准则称为屈服条件屈服条件或或塑性条件塑性条件。12/21/2022周书敬33第三章第三章 弹性与塑性应力应变关系弹性与塑性应力应变关系 二、屈服条件二

30、、屈服条件（塑性条件塑性条件）1、在在简简单单应应力力状状态态下下，问问题题很很容容易易解解决决，即即当当应应力力小小于于屈屈服服极极限限时时，材材料料处处于于弹弹性性状状态态；应应力力等等于于屈屈服服极极限限时，便认为材料进入塑性状态。时，便认为材料进入塑性状态。2、在复杂应力状态下，问题就不这么简单了。在复杂应力状态下，问题就不这么简单了。因为因为我们知道一点的应力状态是由六个应力分量确定的，因而我们知道一点的应力状态是由六个应力分量确定的，因而不能选取某个应力分量的数值作为判断材料是否进入了塑不能选取某个应力分量的数值作为判断材料是否进入了塑性状态的标准性状态的标准，而是应该，而是应该考

31、虑所有这些应力分量对材料进考虑所有这些应力分量对材料进入塑性状态时的影响入塑性状态时的影响。12/21/2022周书敬34第三章第三章 弹性与塑性应力应变关系弹性与塑性应力应变关系即：受力物体内质点处于多向应力状态时，必须同时考虑所有的应力分量。在一定的变形条件（变形温度、变形速度等）下，只有当各应力分量之间符合一定关系时，质点才开始进入塑性状态，这种关系称为屈服准则，也称塑性条件。它是描述受力物体中不同应力状态下的质点进入塑性状态并使塑性变形继续进行所必须遵守的力学条件，这种力学条件一般可表示为：又称为屈服函数，式中 C 是与材料性质有关而与应力状态无关的常数，可通过试验求得。12/21/2

32、022周书敬35第三章第三章 弹性与塑性应力应变关系弹性与塑性应力应变关系 3、有关材料性质的一些基本概念（回忆）（1）理想弹性材料 物体发生弹性变形时，应力与应变完全成线性关系，并可假定它从弹性变形过渡到塑性变形是突然的。（2）理想塑性材料（又称全塑性材料）材料发生塑性变形时不产生硬化的材料，这种材料在进入塑性状态之后，应力不再增加，也即在中性载荷时即可连续产生塑性变形。（3）弹塑性材料 在研究材料塑性变形时，需要考虑塑性变形之前的弹性变形的材料这里可分两种情况：12/21/2022周书敬36第三章第三章 弹性与塑性应力应变关系弹性与塑性应力应变关系 a.理想弹塑性材料 在塑性变形时，需要考

33、虑塑性变形之前的弹性变形，而不考虑硬化的材料，也即材料进入塑性状态后，应力不再增加可连续产生塑性变形。b.弹塑性硬化材料 在塑性变形时，既要考虑塑性变形之前的弹性变形，又要考虑加工硬化的材料，这种材料在进入塑性状态后，如应力保持不变，则不能进一步变形。只有在应力不断增加，也即在加载条件下才能连续产生塑性变形。4、刚塑性材料 在研究塑性变形时不考虑塑性变形之前的弹性变形。这12/21/2022周书敬37第三章第三章 弹性与塑性应力应变关系弹性与塑性应力应变关系又可分两种情况：a.理想刚塑性材料 在研究塑性变形时，既不考虑弹性变形，又不考虑变形过程中的加工硬化的材料。b.刚塑性硬化材料 在研究塑性

34、变形时，不考虑塑性变形之前的弹性变形，但需要考虑变形过程中的加工硬化材料。下面是几种真实应力-应变曲线及其某些简化形式：12/21/2022周书敬38第三章第三章 弹性与塑性应力应变关系弹性与塑性应力应变关系真实应力-应变曲线 及其某些简化形式a）实际金属材料（-有物理屈服点-无明显物理屈服点）b）理想弹塑性 c）理想刚塑性 d）弹塑性硬化 e）刚塑性硬化 12/21/2022周书敬39第三章第三章 弹性与塑性应力应变关系弹性与塑性应力应变关系 为讨论方便，在此引入为讨论方便，在此引入应力空间应力空间的概念，的概念，所谓所谓应力空间应力空间就是以应力为坐标轴的空间就是以应力为坐标轴的空间。显然

35、。显然应力空间是一个应力空间是一个六维空间六维空间，空间中的每一个点都代表一个应力状态空间中的每一个点都代表一个应力状态，应力的变化在应力，应力的变化在应力空间中将会给出一条曲线，称为空间中将会给出一条曲线，称为应力路径应力路径，根据不同应力路，根据不同应力路径所进行的实验，可以定出径所进行的实验，可以定出从弹性阶段进入塑性阶段的各个从弹性阶段进入塑性阶段的各个界限界限，即，即屈服点屈服点。把这些点连接起来就形成了一个曲面（超。把这些点连接起来就形成了一个曲面（超曲面）称为曲面）称为屈服面屈服面，而，而描述这个描述这个屈服面屈服面的数学表达式的数学表达式称为称为屈屈服函数服函数或或屈服条件屈服

36、条件。记为：。记为：（310）12/21/2022周书敬40第三章第三章 弹性与塑性应力应变关系弹性与塑性应力应变关系 通通常常认认为为应应力力分分量量依依赖赖于于坐坐标标轴轴，而而依依据据各各向向同同性性材材料料假假设设，屈屈服服条条件件应应与与坐坐标标轴轴无无关关。对对于于各各向向同同性性材材料料，屈屈服服条条件件不不应应与与坐坐标标轴轴的的选选取取有有关关，因因此此屈屈服服条条件件可可以以在在主主应应力力空间空间中表示为：中表示为：（311）当当 时，弹性阶段；时，弹性阶段；当当 时，屈服，开始产生塑性变形；时，屈服，开始产生塑性变形；不存在。不存在。在在应应力力（应应变变）分分析析中中

37、，我我们们知知道道主主应应力力或或应应力力张张量量与与坐坐标标轴轴无无关关，因因此此可可用用主主应应力力或或应应力力张张量量不不变变量量为为屈屈服服函函数数的参变量。即有：的参变量。即有：12/21/2022周书敬41第三章第三章 弹性与塑性应力应变关系弹性与塑性应力应变关系又又由由于于静静水水压压力力 只只引引起起弹弹性性体体体体积积的的变变化化，而而不不影影响响材材料料的塑性变形的假设，可知屈服条件只是应力偏量的函数，即：的塑性变形的假设，可知屈服条件只是应力偏量的函数，即：（312）在应力空间中，过原点在应力空间中，过原点O作等倾面作等倾面 ，称为称为 平面，过原点平面，过原点O作作 平

38、面的法线，称为等倾线平面的法线，称为等倾线，则有，则有如下结论：如下结论：在在主主应应力力空空间间中中，屈屈服服面面是是以以等等倾倾线线为为轴轴线线，以以 平平面面上上的屈服曲线为截面形状的一个与坐标轴等倾斜的柱体的表面的屈服曲线为截面形状的一个与坐标轴等倾斜的柱体的表面。12/21/2022周书敬42第三章第三章 弹性与塑性应力应变关系弹性与塑性应力应变关系下面给出两种下面给出两种重要的屈服条件重要的屈服条件：特雷斯卡（H.Tresca）屈服条件和米泽斯（Von.Mises）屈服条件。解释解释：屈服面屈服面：屈服条件的几何表示就是屈服面。：屈服条件的几何表示就是屈服面。平平面面：在在主主应应

39、力力空空间间中中，与与三三个个坐坐标标轴轴成成相相等等倾倾角角的的直直线线称称为为 线线，线线上上各各点点与与静静水水应应力力相相等等，方方向向余余弦弦 ，经经过过坐坐标标原原点点且且与与 线线正正交交的的平平面称为面称为 平面平面。其方程为：。其方程为：。平面平面上的各点代表应力球形张量的偏斜应力状态。上的各点代表应力球形张量的偏斜应力状态。12/21/2022周书敬43第三章第三章 弹性与塑性应力应变关系弹性与塑性应力应变关系 三、特雷斯卡三、特雷斯卡（H.Tresca）屈服条件屈服条件)(1864)特雷斯卡从观察金属挤压实验的结果提出以下假设：当最大剪应力达到某一极限值时，材料便进入塑性

40、状态。即：当受力物体（质点）中的最大剪应力达到某一定值时，该物体就发生屈服。或者说，材料处于塑性状态时，其最大剪应力是一不变的定值（正值），该定值只取决于材料在变形条件下的性质，而与应力状态无关。所以又称最大剪应力不变条件。特雷斯卡屈服条件的数学表达式为：（313）k材料屈服时的最大剪应力值，也称剪切屈服强度。12/21/2022周书敬44第三章第三章 弹性与塑性应力应变关系弹性与塑性应力应变关系 若已知主应力次序若已知主应力次序 ，则屈服条件可写为，则屈服条件可写为:（314）（书：）（书：320）为为了了确确定定材材料料常常数数 ，一一般般可可以以通通过过单单向向拉拉伸伸试试验验确确定定，

41、设材料的屈服应力为设材料的屈服应力为 ，则有：，则有：代入（代入（314）式得：）式得：或或（315）纯剪切条件下的屈服条件是：纯剪切条件下的屈服条件是：12/21/2022周书敬45第三章第三章 弹性与塑性应力应变关系弹性与塑性应力应变关系 一般情况下，一般情况下，若主应力次序未知若主应力次序未知，则屈服条件可表示为：，则屈服条件可表示为：（316）（书：）（书：321）【或或者者说说（316）式式中中，至至少少有有一一个个等等式式成成立立时时，材材料料才才开开始始进进入入塑塑性性变变形形，否否则则仍仍处处于于弹弹性性阶阶段段。因因为为 ，当当然然三三个式子不能同时取等号个式子不能同时取等号

42、】左边为主应力之差，故又称主应力差不变条件。式中三个式子只要满足一个，该点即进入塑性状态。这个条件说明这个条件说明中间主应力和平均应力不影响材料的屈服中间主应力和平均应力不影响材料的屈服。12/21/2022周书敬46第三章第三章 弹性与塑性应力应变关系弹性与塑性应力应变关系 显然，在主应力已知的情况下，用特雷斯卡屈服条件是比较方便的，其特点是：不受中间应力 的影响，且屈服函数是线性的，但当主应力次序未知时，则使用起来将有一定的困难。若将若将 三三个坐标轴投影到该坐标系个坐标轴投影到该坐标系的等倾面上，（的等倾面上，（316）式的几何表示是一个正六式的几何表示是一个正六边图形（图边图形（图31

43、2a）。）。当当 时，（时，（316）式成为（）式成为（317）（书：）（书：322）即：）即：12/21/2022周书敬47第三章第三章 弹性与塑性应力应变关系弹性与塑性应力应变关系（317）（书：（书：322）式（式（317）的）的几何表示几何表示如图（如图（312b）。）。四、四、米泽斯米泽斯 屈服条件屈服条件（近似的）（近似的）与与Tresca屈服条件的区别见图屈服条件的区别见图312。提出了下述统一函数表达式的屈服条件：提出了下述统一函数表达式的屈服条件：（318）（书：（书：323）这时：平面应力这时：平面应力状态为一个椭圆状态为一个椭圆12/21/2022周书敬48第三章第三章

44、弹性与塑性应力应变关系弹性与塑性应力应变关系或写成：或写成：（319）其中，常数其中，常数R可以用单向拉伸试验确定为：可以用单向拉伸试验确定为：说说明明：Mises屈屈服服条条件件在在 应应力力空空间间上上是是一一个个垂垂直直于于 平平面面的的圆圆柱柱面面，在在 平平面面上上的的截截迹迹是是一一个个圆圆，圆圆连连接接实验点比直线连接更为合理。实验点比直线连接更为合理。屈服条件的两种解释屈服条件的两种解释：（1）亨奇亨奇 解释解释(1924年年)弹弹性性形形变变比比能能（歪歪形形能能）达达到到一一定定值值时时，材材料料进进入入塑塑性性状态状态。12/21/2022周书敬49第三章第三章 弹性与塑

45、性应力应变关系弹性与塑性应力应变关系其中，其中，为：为：单位体积的应变能单位体积的应变能，或称为，或称为弹性应变比能弹性应变比能。弹弹性性应应变变能能（弹弹性性总总比比能能）：外外力力对对弹弹性性体体作作的的功功，将将转化为弹性应变能转化为弹性应变能。亨奇认为亨奇认为Mises屈服条件相当于：屈服条件相当于：弹性变形比能弹性变形比能=总应变能总应变能-体积变化比能体积变化比能 12/21/2022周书敬50第三章第三章 弹性与塑性应力应变关系弹性与塑性应力应变关系 书中用主应力和主应变表示有：书中用主应力和主应变表示有：按前述：物体的变形可以分解为两部分：按前述：物体的变形可以分解为两部分：体

46、积变化和形体积变化和形状变化状变化。因而应变能也可以分解为相应的两部分：。因而应变能也可以分解为相应的两部分：其中，体积变化比能为：其中，体积变化比能为：【，】12/21/2022周书敬51第三章第三章 弹性与塑性应力应变关系弹性与塑性应力应变关系弹性形变比能为：弹性形变比能为：【】（歪形能歪形能）由于形状变化所储存在单位体积内应变能由于形状变化所储存在单位体积内应变能（弹性形变能弹性形变能）。）。看第二种解释：看第二种解释：纳戴解释纳戴解释12/21/2022周书敬52第三章第三章 弹性与塑性应力应变关系弹性与塑性应力应变关系（2）纳戴纳戴 解释解释 “纳纳戴戴”（A.L.NadaiA.L.

47、Nadai）认认为为：当当正正八八面面体体等等倾倾面面上上的的剪剪应力应力 达到一定值时材料进入塑性状态。即达到一定值时材料进入塑性状态。即 等等倾倾面面上上的的剪剪应应力力达达到到某某一一定定值值时时，材材料料便便进进入入塑塑性性状状态。态。值得注意的是值得注意的是：亨奇亨奇和和纳戴纳戴都没有指出都没有指出这一定值是多大这一定值是多大。后来苏联力学家后来苏联力学家伊柳辛伊柳辛 提出了提出了应力强度应力强度 的的概念，概念，认为当应力强度认为当应力强度 等于材料单向拉伸的屈服极限等于材料单向拉伸的屈服极限 时，时，材料便进入塑性状态材料便进入塑性状态。给出屈服条件为：。给出屈服条件为：12/2

48、1/2022周书敬53第三章第三章 弹性与塑性应力应变关系弹性与塑性应力应变关系使使用用比比较较方方便便，将将复复杂杂应应力力状状态态下下的的 与简单拉伸屈服极限与简单拉伸屈服极限 相联系相联系（320）（书：）（书：324）若用若用应力偏量表示应力强度应力偏量表示应力强度，则有：，则有：（321）（书：）（书：324）利利用用屈屈服服条条件件和和平平衡衡方方程程联联立立求求解解，经经常常可可以以获获得得某某些些简单问题的解。简单问题的解。最最 大大 偏偏 应应 力力 屈屈 服服 条条 件件：此此 概概 念念 最最 早早 是是 由由R.Schmidt 1932年年提提出出的的，我我国国学学者者

49、俞俞茂茂宏宏用用双剪应力的概念对上述屈服条件作了解释说明。双剪应力的概念对上述屈服条件作了解释说明。12/21/2022周书敬54第三章第三章 弹性与塑性应力应变关系弹性与塑性应力应变关系五、屈服准则的几何描述 1、空间主应力中的屈服平面 屈服表面 以应力主轴为坐标轴可以构成一个主应力空间，屈服准则的数学表达式在主应力空间中的几何图形是一个封闭的空间曲面。在主应力空间中，任一应力点P(1,2,3)可用矢量OP来表示。过坐标原点O引等倾线ON，其方向余弦12/21/2022周书敬55第三章第三章 弹性与塑性应力应变关系弹性与塑性应力应变关系2、米泽斯屈服表面：因矢量 OP=OM+MP，所以矢量的

50、模：其中：线上任一点的三个坐标分量均相等，即1=2=3，表示球应力状态。由P点引一直线PMON，则矢量OP可分解为OM和MP，这时，OM表示应力球张量部分，MP表示应力偏张量部分。而OM就是1、2、3在 ON 线上的投影之和，即12/21/2022周书敬56第三章第三章 弹性与塑性应力应变关系弹性与塑性应力应变关系由此可得：根据米塞斯屈服准则，当 时材料就屈服，故P点屈服时有：12/21/2022周书敬57第三章第三章 弹性与塑性应力应变关系弹性与塑性应力应变关系因此，若以 M 为圆心，为半径，在垂直于 ON 线的平面上作圆，则该面上各点的应力偏张量均相等，即均为 ，所以圆上各点都进入塑性状态