语言与逻辑.ppt

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1、语言学中的逻辑Logicinlinguistics任课教师：缪霄学科意义法国数学家J.Hadamard“语言学是数学和人文科学之间的桥梁”。传统语言学规定正确的读和写的种种规则像法律。结构语言学力图找出语言中各个要素之间的结构关系似化学。历史语言学用谱系树的方法来表示不同语言之间的亲属关系如生物学。那么，语言学和数学究竟有什么关系呢？在计算机出现以前，英国数学家A.M.Turing（图灵，1912-1954）就预见到未来的计算机将会对自然语言研究提出新的问题。要“教会”计算机自动地分析和生成句子，首先就要使该问题所涉及的现象能够用数学语言来描述。形式语义学（formalsemantics），是

2、程序设计理论的组成部分，以数学为工具，利用符号和公式，精确地定义和解释计算机程序设计语言的语义，使语义形式化的学科。语言学中的逻辑是一本相关的入门读物。一、知识准备语言学中的逻辑：一种将逻辑方法应用于自然语言的语义学中的研究。涉及的基础学科：语言学、数学和哲学。推荐书目：语言学中的数学方法（BarbaraHPartee形式语义学奠基人之一）、形式语义学引论（蒋严、潘海华）、逻辑学导论（陈波）注意理解和识记本书符号的概念及规定。温习高中数学集合与简易逻辑集合中元素的三大特征：确定性、互异性、无序性。集合的三种表示方法：列举法、描述法、文氏图法。子集，真子集，空集，交集，并集逻辑连结词：或、且、非

3、充分、必要条件二、集合论1、集合和元素2、集合之间的关系3、集合的运算4、关系和函项集合的外延性原则集合是一些或一组任何种类的事物或实体。对于两个互不相同的集合来说，必须至少有一个东西，它 是其中一个集合的元素而不是另一个集合的元素。集合论中的“集合”概念具有外延性，即人们并不关心集合的元素被挑选的方法。外延个体内涵标准，方法。集合论的识记点（P3-P6）大写斜体字母A、B、C表示集合，小写斜体字母表示元素。单元集空集全集论域集合运算的识记点（P7-P10）集族，幂集交集并集差集补集随堂作业对于集合红，黄，蓝，写出它的幂集后，指出集族是哪个集合。关于集合红、黄、蓝，分别写出它们的交集和并集形式

4、。对于所有中国人(集合C)来讲，汉族(集合H)是大部分，请用补集的形式表示少数民族。已知会讲汉语的少数民族(集合A),用差集的形式表示不会讲汉语的少数民族。关系和函项（难点）函项：Function在逻辑和数学中，它是一种特殊的关系。在此关系中，给予的任何对象或诸对象（也称为函项的主目），另一对象（称为对于那个主目的函项值）将会产生。数学与逻辑相应术语对照表：数学函数值域自变量定义域语言逻辑函项值域主目域所有电动车的集合所有电动车的集合 A 和所有牌照的集合和所有牌照的集合 B。集集合合 A 中中的的每每一一个个元元素素都都有有一一个个箭箭头头指指向向集集合合 B 中中的的一一个个元元素素，即即

5、属属于于那那辆辆车车的的牌牌照照的的号号码码。由由此此我我们们得得到到有有巨巨大大数数目目的的有有序序偶偶：这这些些有有序序偶偶的的第第一一个个元元素素是是一一辆辆电电动动车车，第第二二个个元元素素是是该该车车的的牌牌照照号号。如如：（张张三三的的车车，云云P12253P12253），（李李四的车，云四的车，云P52418 P52418）这样的一个这样的一个指派指派或或对应规则对应规则，就是一个函项，就是一个函项此此外外，A的的多多个个元元素素仅仅仅仅可可以以指指派派B B的的一一个个元元素素，即只可以集中不可以分散。即只可以集中不可以分散。进进一一步步分分析析见见P103P103的的小小节节

6、“关关系系的的定定义义域域和和值值域域的结构的结构”。“映射到内”VS“映射到上”把A映射到B内（into）的函项。每个a都有相应的b将A映射到B上(onto)的函项.每个b都有相应的a一次运算函项将A映射到它自身上。补充知识全函项（completefunction）如果定义在集合A,B上的关系同时满足下面两个条件，称之为从A到B的全函项：(一)A中的每一个元素都只能对应于B中的一个元素。(二)A中所有的元素都必须对应于B中的一个元素。部分函项（partialfunction）只违反上述第二个条件的函项，即并不是域中的所有元素都有一个对应的值在值域中。特征函项集合A和B，B是A的子集，一个函项

7、对任何一个同属A和B的元素赋值为1，对不是B的 A元素赋值为0。这个函项叫做相对于A的域，集合B的特征函项。随堂作业若有集合若有集合A=a,b,c,d,B=e,f,g,h,i,判断下面的关判断下面的关系哪些是函项？是从系哪些是函项？是从A到到B的函项还是从的函项还是从B到到A的函项？的函项？若是从若是从A到到B的函项，是映射到内还是映射到上的？有没的函项，是映射到内还是映射到上的？有没有一一对应的函项，若有，是哪（几）个？有一一对应的函项，若有，是哪（几）个？C=a,f,c,i,d,h D=a,e,b,i,c,h,d,fE=a,f,e,d,c,i,d,hF=a,e,b,g,c,f,d,iG=e

8、,a,f,b,h,c,i,dH=e,b,f,c,g,d,h,a,i,cI=a,i,b,f,c,e,d,eJ=a,e,b,e,c,e,d,e三、推理和语句的逻辑分析（一）推理、逻辑和有效性（理解）逻辑形式（理解）语句和命题（理解）推理推理是从若干已知命题得出新命题的思维过程或思维形式。其中已知命题是前提，得出的新命题是结论。“我们都是瞎子。挥霍的人是瞎子，他只看见开端看不见结局；卖弄风情的女人是瞎子，她看不见脸上的皱纹；有学问的人是瞎子，他看不见自己的无知；坏蛋是瞎子，他看不见上帝；上帝也是瞎子，他在创造世界的时候没看到魔鬼也混进来了。我也是瞎子，我只知道说啊说啊，没看见你们全是聋子”逻辑什么是

9、逻辑上有效的推理？逻辑学主要研究的推理类型有哪些？这两种推理类型所对应的逻辑研究类型？演绎逻辑必然有效的推理归纳逻辑带有某种程度概率的有效推理此书中，我们把“逻辑”同义于“演绎逻辑”，因此逻辑就是研究使一个推理必然有效（逻辑的有效性）或一个句子必然真（逻辑真理）这些属性的学科。有效性；或然性精确地来讲，“有效性”对演绎逻辑才是适当的。说一个推理有效，就是说前提为真，结论为假是不可能的。即如果前提为真，结论必定为真。一个演绎逻辑不是有效的，就是无效的。归纳逻辑纵然前提是真的，它也不要求前提必然支持结论，而是前提或然性地支持结论。或然性考察：公务员考试的逻辑推理有人认为：我们应当制定全国性的政策，

10、用立法的方式规定父母每日与未成年子女共处的时间下限。这样的法律能够减少子女平日的压力。因此，这样的法律也就能够使家庭幸福。以下各项如果为真，哪项最能够加强上述的推论?A.父母有责任抚养好自已的孩子，这是社会对每一个公民的起码要求。B.大部分的孩子平常都能够与父母经常地在一起。C.这项政策的目标是降低孩子们在平日生活中的压力 D.未成年孩子较高的压力水平是成长过程以及长大后家庭幸福很大的障碍。随堂作业：判断有效性所有四条腿的生物都有翅膀。所有蜘蛛都是四条腿的。所以，所有蜘蛛都有翅膀。如果我拥有李嘉诚的财富，那么我将是富有的。我并不拥有李嘉诚的财富。所以，我不富有。逻辑有效性和逻辑真理它们1、既不

11、依赖陈述或论证事实是否有效、真实。2、也不依赖陈述或论证所涉及的论题范围的性质。3、而是依赖于一个语句或一个论证的形式，完全独立于前提和结论的事实上的真。为什么能说逻辑的有效性依赖于语句之间和语句的成分之间的某种形式关系？原因在于：语句的这些形式关系常常依赖于某些逻辑词语小品词。在P19例（1）（2）（3）（4）中，就有这类词：所有有的不只考虑这种形式是语法结构，也不对。例如：（6）理查德是一个独眼的杀手。（8）理查德是一个凶手。（7）理查德是一个假定的杀手。（8）理查德是一个凶手。（6）和（7）具有非常相似的表层结构（语法结构），但第二个推理却并非有效。逻辑形式逻辑形式不同于语法形式。逻辑形

12、式就是决定逻辑有效性和逻辑真理的形式。逻辑学的重要任务是尽可能精确清楚地描绘逻辑形式的特性。寻找一种能够反映语句的逻辑形式和存在于语句的逻辑形式之间的逻辑关系表达式或标记。语句（sentence）广义：语言学中的语句，一种语言单位，由某种语言内的语词或词组按一定的语法规则组成，包括陈述句、疑问句、祈使句、感叹句。特点是合乎语法规则，意思明确。狭义：除以上特点外，必须或肯定或否定，必须或者真或者假（即能作为真值的承担者）。包括陈述句，某些特殊的疑问句（例：难道丽江的天空不蓝吗？）、特殊的感叹句（例：钓鱼岛是中国的！）。语句和命题的区别同一个语句在不同的场合可以表达不同的命题。如P22例“他现在饿

13、了”。不同的语句可以表达同一命题。语句总是属于某种特定的语言，而命题不属于任何特定语言，一个特定的命题可以由多种语言表达。（例：分别用中、英、日语表达“我是中国人”）间接引语通常说的是个命题，直接引语则通常说的是个语句。如P22例（2）、（3）、（4）、（5）.陈述和判断陈述（statement）：作为名词，表示语句（狭义）所述说的东西，即陈述句或拟陈述句所说的思想内容。在这个意义上，陈述和命题同义。缺点是这个词有动词义，会蕴含有某人在陈述的意思。判断：被断定为或真或假的命题。注意：命题未必经过判定。如哥德巴赫猜想“每一个大偶数都可以表示为两个素数之和。”可能世界世界：日常谈话中的场合或情况。

14、可能世界：这个世界可能存在的方式。我们可以想象各种不同于实际生活的情况，如果这个世界是另外一种状况，将会发生什么。例：如果中秋国庆的长假没有八天，我可能会哪也不去，一直呆在学校。命题（proposition）一个语句在一个特定场合关于客观世界说了些什么。命题把世界分为两个范畴的原则：一些世界这个命题是真的，一些世界这个命题是假的。一个命题就相当于一个从可能世界到真值的函项。例：龙会飞。这个句子在一些可能世界（神话、小说、思维世界等等）里为真，在另一些可能世界（客观存在）为假。真值（P31）VS真值集（P24）每个陈述句都有且只有一个真值，一个真的语句具有“真”的真值，一个假的语句具有“假”的真

15、值。而真值集并非真值的集合，它的元素是一些可能世界，在这些可能世界里命题为真，就说这些可能世界的集合是这个命题的真值集。（二）分析性语句和综合性语句简单句和复合句逻辑分析的深度真还是假？（1）水既是又不是一种化学元素，这不是真的。分析性真，逻辑真。（2）所有单身汉都是未婚的。（同义）分析性真，逻辑假。（3）前提：这是玫瑰。（下义）结论：这是花。分析性有效，逻辑无效。依赖逻辑形式还是语义关系？倾向依靠逻辑形式的分析性真理：例（1）倾向依靠语义关系的分析性真理：例（2）（3）以上两者的区别是程度上而不是范畴上的，也就是逻辑真理和分析性真理之间没有确定的界限。在一个语句里，哪些是形式，哪些是意义，在

16、某种程度上讲是任意的。分析性语句&综合性语句分析性语句包括分析性真和分析性假的语句。它们的真实性不依赖于世界是什么样子。一个分析性真的语句在所有的可能世界都是真的，一个分析性假的语句在所有的可能性语句都是假的。综合性语句非分析性语句，它们的真假依赖于世界的状态。在某些世界为真，在某些世界为假。简单句简单句：只能分析为不同的词项，不能分析为其他句子。也叫原子句。例如：香山枫叶正红。诸葛亮舌战群儒。掷骰子4点朝上的概率是16。复合句复合句：包含其他句子，由联结词联结句子形成。也叫分子句。例：天正在下雨并且天是冷的。胜者或因为强，或因为指挥无误。如果一个推理前提真并且推理形式有效，则结论必真。一个语

17、句不是简单句就是复合句。命题逻辑（一）联结词逻辑联结词的意义、&、研究复合命题的逻辑性质以及相互之间的推理关系，由此得到的逻辑理论叫做“命题逻辑”，亦称“联结词的逻辑”。定义（识记点）联结词语句变项常项逻辑常项真值函项的联结词逻辑常项将语句变项连结起来可以组成复合句。真值函项的联结词由真值函项的联结词所连结的简单句的真值可以推算出由它构成的复合句的真值。并非所有联结词都是真值函项。所有命题逻辑中讨论的语句之间的形式关系都是真值函项的。舍佛竖：p|q“并非既p又q”逻辑联结词的意义学习时请注意：符号规定及意义与自然语言的转换逻辑联结词的意义只部分的包含于它们在日常语言的用法之中。否定p读作：“非

18、p”否定不是一个真正的联结词，因为它并不连结语句，而只每次作用作用于一个语句。否定在逻辑中用来构成一个复合句，它的真值与它作用于其上的简单句的真值相反。（真值表）用集合论来表示否定可以借助补集。p是p的真值集的补集。逻辑的否定VS日常语言的否定日常语言允许语句平面以下的否定，命题逻辑不可。例P34(4)日常语言允许否定句中依靠重音和语调来强调不同结构成分的可能性，命题逻辑中不可。例P35(5)(6)命题逻辑不能把握否定是加于主句还是从句。例P35（7）合取&相当于口语中的“并且（and）”p&q读作：“p合取q”其中p、q（即借以构成这个复合句的所有简单句）叫做合取肢。只有当两个合取肢都真时，

19、整个合取式才为真。（即一假都假）用集合论来表示合取可以借助交集。一个合取式的真值集等于其所有合取肢的真值集的交集。合取（&）VS“和、并且”&只能连结语句，而“和”却能连结低于语句平面的结构成分。例P37（6）（7）“并且”作为日常语言联结的短语可表示事件的序列，即具有时间性。而逻辑中，p&q永远等值于q&p，即为非时间性的。例（8）（9）日常语言中有些“并且”的用法不能用合取加以分析。例（10）（11）在命题逻辑中通常只容许两个合取肢，而日常语言没有数量限制。如要表达合取连结两个以上的语句，则写作：&（p,q,r,s,t）任何规模的合取式都可以化归为一个二元合取的链。析取相当于日常语言中的“

20、或者（or）”p q读作“p析取q”其中p、q（即借以构成这个复合句的所有简单句）叫做析取肢。只有当两个析取肢都为假时，整个析取式才为假。（即一真都真）用集合论来表示析取可以借助并集。一个析取式的真值集等于其所有析取肢的真值集的并集。不相容析取只有当一个析取肢为真，整个析取式才为真。（注意：即使当两个析取肢都为真时，整个析取式依然为假。）而前面的析取是相容的析取。相当于“要么要么”，两者只能选其一。各个析取肢互相排斥，不能同时为真，也不能同时为假。蕴涵命题逻辑中的蕴涵和其相应的日常语言“如果那么”，不像其他联结词那样联系紧密。因为“如果那么”在自然语言中具有多重含义。如P42例（1）（2）表因

21、果关系，（3）表词义关系，（4）则表示允诺。另有如下：推理关系：如果所有金子都是发光的，那么有些发光的是金子。时序关系：如果冬天来了，那么春天还会远吗？威胁：如果你们不按我的要求办，我就每天杀掉一名人质。实质蕴涵在命题逻辑中，蕴涵只是从真值函项的角度来处理。（不顾常识，纯粹地根据简单句的真值研究由此构成的复合句的真值情况）。真值函项的蕴涵通常叫作实质蕴涵。p（前件）q（后件）读作“p蕴涵q”其真值表简单规定为：只要前件假或者后件真，一个蕴涵式就是真的。（即：pq只有在p真q假的情况下才为假。）pq在真值函项上等值于pq。用集合论来表示蕴涵（实质蕴涵）同样不会像其他联结词那样直接，见P45（16

22、）图，一个蕴涵式的真值集等于前件真值集的补集与后件真值集的并集。实质蕴涵VS日常语言当p真q假，pq为假时，一个蕴涵式和“如果那么”的日常表达相对其他情况看没有差异。例P43（6）当p真q真，pq为真时，日常语言通常要求前件由某些像因果性或逻辑推断这样非真值函项 的纽带连结。例P43（7）当前件假时谈论任何有关蕴涵的真值都是毫无意义的。这种类型的例子（通常叫作反事实语句）会很荒谬。等值相当于“当且仅当（ifandonlyif）”，“恰好（exactlywhen）”等。pq读作“p等值于q”在真值函项上，等值可以分析为双重实质蕴涵。（即：前件和后件互为充要条件）一个等值式是两个蕴涵的合取。即pq

23、可以看作是（pq）&（qp）等值的真值表和集合论表达只有当它所组合的简单句具有同样的真值时，这个等值式才是真的。（和不相容析取恰好相反）用集合论来表达等值见P46图（5），阴影部分表示的是p q的真值集，在其中p和q的真值相同。命题逻辑（二）如何表示组成成分的结构（掌握括号法）命题演算的语法学和语义学（概念记忆，计算复杂表达式的真值）重言式和矛盾式真值表法（掌握判断是否为重言式的间接推理）表现语言结构的方法树形图、盒形图括号（最普通的标志法，需掌握）这些标志法最重要的是为了避免歧义。使用括号的约定：（一）如果没有括号跟在一个否定号后面，否定的辖域总是取最小可能，即它只作用于左边紧邻的最小组成部

24、分。（二）&和给定的辖域常比和要短。理解语法学、语义学的概念词汇表：逻辑中列举出的最小的简单符号。包括有（1）语句变项（2）逻辑联结词（3）括号，并且在命题逻辑的表达式中只能出现以上符号。词汇表像自然语言中的字典功能。合式公式:wff(well-formedformula)。给定一个形式文法，wff就是这个文法生成的字符串。形成规则：合式公式的组合规则，像自然语言的语法规则。词汇表和形成规则一起构成逻辑的语法。形式语言：一组与词汇表相关联的表达式，它们按照语法规则由这些词汇组成，并由语义规则加以解释。对象语言：正在研究的语言本身。（多为自然语言）元语言：用来研究对象语言的语言。（多为叙说自然语

25、言的语言）如：“非学生不准入内”对象语言“P”元语言“your”是物主代词。your对象语言，物主代词元语言语法学词汇表和形成规则一起构成逻辑的语法。词汇表已在之前讲过，那么形成规则的要求是：（1）每个语句变项是 wff（合式公式）。（2）如果和 是任意的wff，那么，（&），（），（），和（）也是wff（3）只有由这些规则形成的表达式才是wff递归规则在形成规则的第2条要求中，用的是一种元语言在讨论一种语言，于是用元变项（希腊字母表示）来代替语句变项。即，元变项是关于命题逻辑任意的wff。第2条要求告诉我们：若有p和q这两个wff构成p&q，由此基础上可以再次合取为（p&q）&p，便代表了p

26、&q和（也就是p）构成合取。这样一步步地生成复杂的表达式的规则就是递归规则。语义学语义学研究的是语法所容许的表达式是怎样和这些表达式所涉及的对象相联系的。首先要研究语句的意义，理解其的最好办法之一是想象使这个语句为真必须是个什么样的世界。真值条件使语句为真的这个世界所必须满足的条件。命题逻辑的语义学其次，运用之前所学的逻辑联接词给出的真值表知识，可以计算一个具有任意复杂性的表达式真值。（这里借助希腊字母作为任意表达式的元变项，即具有递归性）（1）是真的，当且仅当不是真的。（2）&是真的，当且仅当和都真。（3）是真的，当且仅当和中至少有一个为真。（4）是真的，当且仅当为假或者为真。（5）是真的，

27、当且仅当和具有同样的真值。如何计算复杂表达式析取Disj(disjunction)否定Neg(negation)等值Eq(equivalence)合取Conj(conjunction)蕴涵Impl(implication)在计算时通常是由内向外进行，首先是最里面的括号，即先从嵌入最深的并且形式最小的成分开始，到最大的成分结束。重言式和矛盾式重言式：有些复杂表达式不管赋予构成它的简单句以什么真值，都能得到“真”作为计算后的真值。因为重言式的真值是由这个表达式的逻辑形式决定的。例如:pp矛盾式：有些语句不管它的简单句真值如何，都能得到“假”作为计算后的真值。一个重言式的真值集是全集，一个矛盾式的真

28、值集是空集。真值表真值表法的目的是检查一个语句是一个重言式还是矛盾式，或者两者都不是。根据简单句真值的每种可能，算出由其构成的复杂表达式真值。如果是两个语句变项就有四种可能，也就是永远都有2的n次方种可能性。（n是不同语句变项的数目，2代表真值的数目）综合性语句当一个语句既不是矛盾式也不是重言式，就是综合性语句这种语句的真值依赖于这个世界是什么样子。具体的讲，这个复杂表达式的真值依赖于组成简单句的真值，而简单句真值依赖于可能世界。如：书P59例（4）矛盾式和重言式的关系：否定就得到对方。即否定重言式得到矛盾式，否定矛盾式得到重言式。真值函项在命题逻辑中，研究的语句之间只涉及它们的真值关系。一个

29、逻辑联结词的作用在于：对于真值的每种可能结合，确定其结合所导出的真值是什么。因此，联结词标志函项，这些函项把一个或几个真值映射到一个并且只有一个真值上去。这种函项便称为真值函项。间接推理（归谬法）在带有两个以上的语句变项的表达式中，将用间接推理（归谬法）。步骤：（1）先假定要探讨的表达式是假的。（2）推导这种假定能否得出矛盾。（3）如果没有推出矛盾，假定成立，这个表达式真的为假，则它不是重言式；如果推出了矛盾，即这个表达式不可能为假，它就是重言式。（现阶段只关注是否为重言式。）如果想知道是否为矛盾式，就实行相反的推理，假设这个式子为真，检验能否推出矛盾。间接推理的例子P61（6）（p q）&r

30、）p(1)假定整个式子为 f(2)想让蕴涵式为f，则前件为t后件(p)为f(3)（p q）&r为t,（p q）为t(4)p在(2)中已经为f,则q 必为t(5)无法推出矛盾，这个式子不是重言式。间接推理的例子P61（7）(p (q r)&(s r)&s)p（1）假定整个式子为 f（2）想让蕴含式为f，前件为t后件（p）为f（3）想让合取式为t，(p (q r)&(s r)为t，s为t（4）想让合取式为t，(p (q r)为t，(s r)为t（5）由于s为t，想让(s r)为t，r 只能为t。p为f，想让(p (q r)为t，(q r)为f,则q，r应同时为f，得到矛盾。是重言式。改写为蕴涵的式

31、子P62（8）由于蕴涵式为假的情况只有一种，比合取等其他的式子容易推理，所以可以运用逻辑等值式的知识将其改写为蕴涵式。P62（8）就是一些这样的等值式，适当记忆可以方便改写。（了解）书上第四章的练习题（p63至p64）类型非常重要，需掌握。谓词逻辑（一）逻辑分析的扩展量词谓词逻辑的语法学为什么出现谓词逻辑有些自然语言的推理单用命题逻辑的真值表法不能看出问题。P66例（1）：如果所有的糜都是聪明的而布鲁斯是糜，那么布鲁斯是聪明的。命题逻辑可以将其分析为（p&q）r（不是重言式），但推理却是真的。谓词逻辑使我们研究的逻辑关系从语句之间转到语句内部。识记点（掌握）谓语句：述说的关于一个个体的属性。个

32、体常项：确定的个体 a,b,c(例3中的主语)谓词常项：确定的谓词A,B,C(例3中除去主语的部分)。此时的M（b）专指“布鲁斯是糜”个体变项：任何个体x。M（x）不是命题。开语句：个体变项代替个体常项后的M（x）谓词变项：任意属性（谓词）。（x）没有具体意义。个体词项包括个体常项和个体变项；谓词词项包括谓词常项和谓词变项。n元谓词主目：在谓词逻辑中，指传统语法意义上的主语和宾语。一个谓词有几个主目，就叫作几元谓词。谓词和谓语还算一致，但一个逻辑谓词同自然语言的一个特定的词或一个特定的简单表达式相对应，并没有严格的限定。如“索尔偷铁锤”既可分析为二元谓词F（a,b），也可分析为一元谓词F（a）

33、，前者的F表示“偷”，后者的F表示“偷铁锤”。量词总述P73英语中，所有属于不定代词这一语法范畴的部分都可以看做某种量词。例如every,all,each,one,some,many,few逻辑中的量词分为全称量词和存在量词两种。全称量词“”“所有的麋都是聪明的”。C（所有的麋）为了分析这样的句子，使用新的逻辑常项：全称量词“”，读作“任意”。意思是“所有”“每一”或者“对每个人，每个东西都”“每个事物都处在流动的状态”xF（x）读作“对每一个x来说，x是在流动的”。个体变项X代表了全域中任意个体，即它的值域是全域中所有的个体和对象。而论域是我们在某一语境中谈到的每一个东西。语句函项到语句的转

34、化F（x）是一个开语句，从开语句构成语句的方法之一是赋予变项x以特定的值，如F（c），此时的真值依赖于x是什么。开语句也叫语句函项，这个函项拿不同的个体作为主目，给出的不同语句作为值。将开语句变成语句的另一方法是把一个后面跟着一个变项的量词放在开语句之前。即量化该开语句。如得到：xF（x）。若论域中有一个对象不能满足开语句F（x），那么xF（x）就是假的。空的量化注意：量化的是开语句而不是语句。虽然量化语句没有意义，但因为它可以简化语法规则，所以这样的类型在多数逻辑书中是允许的。又因为它同语句的意义没有关系，便称其为空的量化。所以xF（b）和F（b）是等值的。但从本书出发，从语言学的观点来讲，

35、我们不允许这种空的量化。约束变项VS自由变项x（M（x）C（x）对于任意x，如果x是麋，那么x是聪明的。在上面的语句中，即使x指的是任意个体，但因为M（x）和C（x）被包括在同一括号之中，所以它们的x是完全相同的个体。我们就说量词x约束着M（x）和C（x）的x。一个量词的辖域就是直接跟在量词后面的括号长度。被量词约束的变项叫作约束变项，不受约束的叫自由变项。比较P72（12）（13）判断开语句包括自由变项的逻辑公式构成的是开语句。在一个量词的辖域内，同一个变项总是代表同一个个体。仔细观看P73（14）的四个公式，判断哪些是开语句。存在量词“”存在量词“”读作“存在”，意思是“someoneso

36、mething”（“某人某事”或“有某人某事”）。用法见P74（15）存在量词表达的是在这个论域中至少有一个元素满足这个量词后面的开语句。限制的量化P75（17）每个女孩子都是漂亮的。x（G（x）P（x）（18）有的女孩子是漂亮的。x（G（x）&P（x）把上面的蕴含和合取换一下，即分别得到（19）和（20），会发现和原来相比都是不等价的。其中一个重要的原因是没有量化值域。改成P76（21）和（22）里xG就有了限制的量化。量词辖域的歧义性当开语句前面有一个以上的量词时，量词的次序不是任意的，因为次序表明它们的辖域所涉及的相互关系。比较P76（24）（25）“Everyoneadmiressomeone.”这句话由于量词的辖域不同会具有歧义。比较P77（26）（27）但在生活中，语调常常把一个潜在的歧义句变成非歧义的。谓词逻辑的语法谓词逻辑范畴表和谓词逻辑合式公式的语法规则构成谓词逻辑的语法。见P80（1）和P81（2）同时注意语句和开语句都是合式公式，什么是谓词逻辑的简单表达式和谓词逻辑的复杂表达式。由此可以看到，命题逻辑是作为一个从属部分包括在谓词逻辑之中的。