第四章 二阶条件.ppt

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1、第三章第三章 二阶条件二阶条件第一节第一节 二阶条件二阶条件l二阶充分条件：二阶充分条件：l一阶导数一阶导数 等于零，得到极值线的必要等于零，得到极值线的必要条件的欧拉方程以及横截条件。条件的欧拉方程以及横截条件。l对于极大值对于极大值l对于极小值对于极小值l二阶必要条件：二阶必要条件：l对于极大值对于极大值l对于极小值对于极小值根据（根据（2.13）式）式lV的二阶导数的推导：的二阶导数的推导：此时，此时，取极大值。取极大值。因此，可以得到二阶充分条件：因此，可以得到二阶充分条件：负定是负定是 取极大值的充分条件。取极大值的充分条件。正定是正定是 取极小值的充分条件。取极小值的充分条件。类似

2、地，可以得到二阶必要条件：类似地，可以得到二阶必要条件：半负定是半负定是 取极大值的充分条件。取极大值的充分条件。半正定是半正定是 取极小值的充分条件。取极小值的充分条件。一、固定端点的充分性定理一、固定端点的充分性定理l对于固定端点问题，如果被积函数对于固定端点问题，如果被积函数 关于关于 是是凹的凹的，那么欧拉方程对于识别，那么欧拉方程对于识别 是一个是一个最大值最大值是充分的。如果是充分的。如果 关于关于 是是凸的凸的，那么欧拉方程对于识别那么欧拉方程对于识别 是一个是一个最小值最小值是充分是充分的。的。第二节第二节 凹性凹性/凸性条件凸性条件l判别多元函数的凹凸性：判别多元函数的凹凸性

3、：l将弱不等号将弱不等号 和和 变换成严格不等号变换成严格不等号 和和 ，l上述定义适用于严格凹函数和严格凸函数的定义。上述定义适用于严格凹函数和严格凸函数的定义。l对于定义域中任意给定点对于定义域中任意给定点 和和另一个点另一个点 ，当且仅当，当且仅当l时，时，为为l凹函数凹函数l凸函数凸函数l其中其中 在在 计算其值。计算其值。固定端点的充分性定理的证明固定端点的充分性定理的证明l证明：当函数证明：当函数 是凹的，当且仅当对于区是凹的，当且仅当对于区域中任意一对分离点域中任意一对分离点 和和 ，我们有：，我们有：l这里的这里的 代表最小路径，代表最小路径，代表任意路径。代表任意路径。（4.

4、4）l对（对（4.4）式两边积分，得：）式两边积分，得：（4.5)l使用使用(2.16)式式l如果函数如果函数F关于关于 是严格凹的，那么（是严格凹的，那么（4.4）和）和（4.5）中的弱不等式）中的弱不等式 变为强不等式变为强不等式 ，结果，结果 表明表明 是唯一的是唯一的V的最大值。的最大值。l同样，一个严格凸函数同样，一个严格凸函数F也将使也将使 成为唯一的成为唯一的最小值。最小值。（4.5)式式二、可变终结点的充分性定理二、可变终结点的充分性定理l在在垂直终结线垂直终结线或或截断垂直终结线截断垂直终结线问题中，如果被问题中，如果被积函数积函数F关于关于 是是凹（凸）凹（凸）的，那么，欧

5、拉方的，那么，欧拉方程加上横截条件足以确定程加上横截条件足以确定 的的最大（小）最大（小）值。值。(2.16)式式l证明：证明：l垂直终结线的横截条件：垂直终结线的横截条件：l垂直截断终结线的横截条件：垂直截断终结线的横截条件：l第一种情况（第一种情况（Z1点）：点）：l第二种情况（第二种情况（Z2和和Z3点）点）：l上页证明得到：上页证明得到：转化为固定终结点问题。三、检验凹性三、检验凹性/凸性凸性l函数函数 是是凹（凸）凹（凸）的，当且仅当二次型的，当且仅当二次型 在任何地方都是在任何地方都是负（正）半定负（正）半定的；函数的；函数 是是严格凹（凸）严格凹（凸）的，当（但不是仅当）的，当（

6、但不是仅当）在任何在任何地方都是地方都是负（正）定负（正）定的。的。l任何地方是指在任何地方是指在 的空间中的所有点和所有时的空间中的所有点和所有时刻都成立。刻都成立。l二次型符号的定性和半定性可以用行列式检验和二次型符号的定性和半定性可以用行列式检验和特征根检验来检查。特征根检验来检查。二次型符号定性的行列式检验二次型符号定性的行列式检验l二次型二次型 的行列式的行列式:lq的负定性的负定性l它的主子式：它的主子式：lq的正定性的正定性是严格凹的是严格凹的是严格凸的是严格凸的（4.7）二次型符号半定性的行列式检验二次型符号半定性的行列式检验l二次型二次型 的行列式的行列式:lq的负半定性的负

7、半定性l它们的主子式：它们的主子式：lq的正半定性的正半定性是凹的是凹的是凸的是凸的通称为通称为通称为通称为二次型符号定性的特征根检验二次型符号定性的特征根检验l二次型二次型 的特征方程的特征方程:lq的负定性的负定性lq的正定性的正定性是严格凹的是严格凹的是严格凸的是严格凸的由（由（4.7）l求解特征方程的特征根求解特征方程的特征根 和和 。lq的负半定性的负半定性lq的正半定性的正半定性是凹的是凹的是凸的是凸的l用两种方法来检验用两种方法来检验 的凹性的凹性/凸性。凸性。l例例1 如果目标泛函的被积函数是如果目标泛函的被积函数是 欧拉方程对于最大化或最小化是充分的吗？欧拉方程对于最大化或最

8、小化是充分的吗？l第一种方法：符号（半）定性的行列式检验。第一种方法：符号（半）定性的行列式检验。和和l一阶导数：一阶导数：l二阶导数：二阶导数：l符号定性检验：符号定性检验：l二次型二次型q不是正定的。不是正定的。l二次型二次型q是半正定的。是半正定的。l即即第三节第三节 勒让德必要条件勒让德必要条件l最大化最大化对于所有对于所有l最小化最小化对于所有对于所有l根据根据l勒让德必要条件勒让德必要条件证明（对于固定端点问题）：证明（对于固定端点问题）：l即使即使 保持很小的值，保持很小的值，的斜率的斜率 也可以取也可以取非常大的绝对值。非常大的绝对值。l为了得到较大的为了得到较大的 值，值，通

9、常也必须取较大通常也必须取较大的绝对值。的绝对值。l结论：结论：项倾向于占主导地位。项倾向于占主导地位。l最大化最大化l上页证明得到：上页证明得到：（4.28）第四节第四节 一阶变分和二阶变分一阶变分和二阶变分在点在点附近展成泰勒级数：附近展成泰勒级数：l因为因为l（4.30）中的第一项积分被称为一阶变分）中的第一项积分被称为一阶变分,表示为表示为l（4.30）中的第二项积分被称为二阶变分）中的第二项积分被称为二阶变分,表示为表示为欧拉方程欧拉方程二阶必要条件二阶必要条件 若函数若函数 在含在含 的某个开区间的某个开区间 内有直内有直到到 阶的导数，则当阶的导数，则当 在在 内时，函数内时，函

10、数 可可表示为表示为 的一个的一个 次多项式与一个余项之和，次多项式与一个余项之和，即：即：其中的余项其中的余项l附录：泰勒公式附录：泰勒公式l一阶条件：一阶条件：第一章至第三章小结第一章至第三章小结l在固定端点的情况下在固定端点的情况下欧拉方程欧拉方程l在可变终结点（终结状态或终结时间可变）的情况下在可变终结点（终结状态或终结时间可变）的情况下欧拉方程欧拉方程l二阶条件二阶条件(对于目标泛函对于目标泛函V)l二阶充分条件二阶充分条件l二阶必要条件（勒让德必要条件）二阶必要条件（勒让德必要条件）对于极大值对于极大值对于极大值对于极大值对于极大值对于极大值对于所有对于所有对于极大值对于极大值l检验（被积函数检验（被积函数F的）凹性的）凹性/凸性：凸性：l对于固定端点、垂直终结线和截断垂直终结线问题，对于固定端点、垂直终结线和截断垂直终结线问题，如果被积函数如果被积函数 关于关于 是凹的，那么欧拉是凹的，那么欧拉方程对于识别方程对于识别 是一个最大值是是一个最大值是充分充分的。的。l注：二阶条件的计算在注：二阶条件的计算在极值曲线上取值，极值曲线上取值，凹性凹性/凸性检验的计算在可凸性检验的计算在可行域任意点取值行域任意点取值。