第四章课件 根轨迹.ppt

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1、4-1 4-1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念4-2 4-2 根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制的基本法则 4-3 4-3 广义根轨迹广义根轨迹 4-4 4-4 系统性能的分析系统性能的分析第四章第四章 线性系统的根轨迹法线性系统的根轨迹法本章主要内容：本章主要内容：本章阐述了控制系统的根轨迹分析方法。本章阐述了控制系统的根轨迹分析方法。包括根轨迹的基本概念、绘制系统根轨迹的基包括根轨迹的基本概念、绘制系统根轨迹的基本条件和基本规则，参数根轨迹和零度根轨迹本条件和基本规则，参数根轨迹和零度根轨迹的概念和绘制方法，以及利用根轨迹如何分析的概念和绘制方法，以及利用根轨迹如何分析控制系统的性能等内

2、容。控制系统的性能等内容。本章重点：本章重点：掌握控制系统根轨迹所揭示出的系统极、掌握控制系统根轨迹所揭示出的系统极、零点对系统性能的影响，熟练掌握系统根轨迹零点对系统性能的影响，熟练掌握系统根轨迹图的作图步骤，会根据系统的根轨迹分析系统图的作图步骤，会根据系统的根轨迹分析系统的性能。的性能。4-1 4-1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念 根根轨轨迹迹法法是是分分析析、设设计计线线性性定定常常控控制制系系统统的的图图解解方法，方法，也是经典控制理论中的基本方法之一。也是经典控制理论中的基本方法之一。1948年年，伊伊凡凡思思(W.R.Evans)根根据据闭闭环环系系统统中中开开环环传传递

3、递函函数数和和闭闭环环传传递递函函数数之之间间的的内内在在联联系系，提提出出了了求求解解闭闭环环特特征征方方程程根根的的比比较较简简便便的的图图解解方方法法，这这种种方方法法称称为为根根轨轨迹迹法法。因因为为根根轨轨迹迹法法直直观观形形象象，所所以以在在控控制制工程中获得了广泛应用。工程中获得了广泛应用。一、根轨迹概念一、根轨迹概念根轨迹：根轨迹：根轨迹是开环系统某一参数（如根轨迹增益）根轨迹是开环系统某一参数（如根轨迹增益）从零变化到无穷时，闭环系统特征方程式的根在从零变化到无穷时，闭环系统特征方程式的根在s平面平面上变化的轨迹。上变化的轨迹。设系统如图示设系统如图示 二、根轨迹与系统性能二

4、、根轨迹与系统性能1稳定性稳定性 稳定性主要是考察根轨迹稳定性主要是考察根轨迹 是否进入右半平面。是否进入右半平面。2稳态性能稳态性能 系统属于系统属于型系统，根轨型系统，根轨 迹上的迹上的K值就是静态速度误差系数。值就是静态速度误差系数。3动态性能动态性能 三、闭环零、极点与开环零、极点之间的关系三、闭环零、极点与开环零、极点之间的关系 前向通路的传递函数为：前向通路的传递函数为：反馈通路的传递函数为：反馈通路的传递函数为：系统的开环传递函数为：系统的开环传递函数为：式中：式中：系统闭环传递函数为：系统闭环传递函数为：由开环传递函数和闭环传递函数的表达式比较，由开环传递函数和闭环传递函数的表

5、达式比较，可以得出以下结论：可以得出以下结论：1 1闭环系统的根轨迹增益等于开环前向通路根轨迹闭环系统的根轨迹增益等于开环前向通路根轨迹增益。增益。2 2闭环零点由开环前向通路传递函数的零点和反馈闭环零点由开环前向通路传递函数的零点和反馈通路传递函数的极点组成。通路传递函数的极点组成。3 3闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益均有关。均有关。根轨迹法的基本思路是：根轨迹法的基本思路是：(1)(1)在已知系统开环零、极点分布的情况下，在已知系统开环零、极点分布的情况下，通过图解法绘制出系统的根轨迹；通过图解法绘制出系统的根轨迹；(2)(2)分析系统

6、性能随参数的变化趋势；分析系统性能随参数的变化趋势；(3)(3)在根轨迹上确定出满足系统要求的闭环极在根轨迹上确定出满足系统要求的闭环极点位置，补充闭环零点；点位置，补充闭环零点；(4)(4)再利用闭环主导极点的概念，对系统控制再利用闭环主导极点的概念，对系统控制性能进行定性分析和定量估算。性能进行定性分析和定量估算。四、根轨迹方程四、根轨迹方程系统的闭环传递函数为：系统的闭环传递函数为：系统的闭环特征方程为：系统的闭环特征方程为：或写作：或写作：将开环传递函数代入可得：将开环传递函数代入可得：根轨迹方程可以用以下两个方程描述：根轨迹方程可以用以下两个方程描述：相角条件相角条件模值条件模值条件

7、 例例1 设开环传递函数为设开环传递函数为其零、极点分布如图所示。判断其零、极点分布如图所示。判断s平面上某点是否平面上某点是否是根轨迹上的点。是根轨迹上的点。4-2 4-2 根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制的基本法则一、绘制根轨迹的基本法则一、绘制根轨迹的基本法则法则法则1 1 根轨迹的起点和终点：根轨迹的起点和终点：根轨迹起于开环极点，终于开环零点。根轨迹起于开环极点，终于开环零点。证明：证明：系统的闭环特征方程为系统的闭环特征方程为根轨迹的起点：当根轨迹的起点：当 根轨迹的终点：当根轨迹的终点：当例例2 2 系统开环传递函数为系统开环传递函数为 法则法则2 2 根轨迹的分支数，对称性和连续

8、性：根轨迹的分支数，对称性和连续性：根轨迹的分支数等于系统特征方程的阶数，根根轨迹的分支数等于系统特征方程的阶数，根轨迹连续并且对称于实轴。轨迹连续并且对称于实轴。证明：根轨迹是开环系统某一参数从零变化到无穷证明：根轨迹是开环系统某一参数从零变化到无穷时，闭环特征方程式的根在时，闭环特征方程式的根在s平面上变化的轨迹，因平面上变化的轨迹，因此，根轨迹的分支数必与闭环特征方程根的数目一此，根轨迹的分支数必与闭环特征方程根的数目一致，即根轨迹分支数等于系统的阶数。实际系统都致，即根轨迹分支数等于系统的阶数。实际系统都存在惯性，反映在传递函数上必有存在惯性，反映在传递函数上必有nm。所以一般讲，。所

9、以一般讲，根轨迹分支数就等于开环极点数。根轨迹分支数就等于开环极点数。实际系统的特征方程都是实系数方程，依代数定实际系统的特征方程都是实系数方程，依代数定理特征根必为实根或共轭复根，实根位于复平面的理特征根必为实根或共轭复根，实根位于复平面的实轴上，共轭复根对称于实轴，因此根轨迹必然对实轴上，共轭复根对称于实轴，因此根轨迹必然对称于实轴。称于实轴。特征方程中的某些系数是根轨迹增益的函数，特征方程中的某些系数是根轨迹增益的函数，根轨迹增益从零连续变化到无穷时，特征方程的系根轨迹增益从零连续变化到无穷时，特征方程的系数是连续变化的，因而特征根的变化也必然是连续数是连续变化的，因而特征根的变化也必然

10、是连续的，故根轨迹具有连续性。的，故根轨迹具有连续性。法则法则3 3 根轨迹的渐近线：根轨迹的渐近线：当系统开环极点个数当系统开环极点个数n大于开环零点个数大于开环零点个数m时，时，有有n-m条根轨迹分支沿着与实轴交角为条根轨迹分支沿着与实轴交角为 、交点为、交点为 的一组渐近线趋向于无穷远处，且有的一组渐近线趋向于无穷远处，且有 证明：根轨迹方程式可写成如下形式：证明：根轨迹方程式可写成如下形式：式中式中左端用二项式定理展开，并取线性项近似有：左端用二项式定理展开，并取线性项近似有：将将 代入，利用棣美弗定理可写成：代入，利用棣美弗定理可写成：令实部和虚部分别相等，有：令实部和虚部分别相等，

11、有：从两个方程中解出从两个方程中解出：也可以写为：也可以写为：这就是渐近线方程，这就是渐近线方程，为渐近线斜率，为渐近线斜率，为渐近为渐近线与实轴的交点。线与实轴的交点。证毕证毕例例3 3 系统开环传递函数为：系统开环传递函数为：试根据已知的基本法则，确定绘制根轨迹的有关数据。试根据已知的基本法则，确定绘制根轨迹的有关数据。解：解：（1）（2）有）有4条根轨迹的分支，且对称于实轴条根轨迹的分支，且对称于实轴 （3）有）有n-m=3条根轨迹渐近线趋于无穷远处条根轨迹渐近线趋于无穷远处 其渐近线与实轴的交点及交角为：其渐近线与实轴的交点及交角为：法则法则4 4 实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：实轴

12、上的某一区域，若其右边开环实数零、极实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。证明：证明：设设s0为实轴上的某一测试点为实轴上的某一测试点；j是各个开环零点到是各个开环零点到s0点向量的相角点向量的相角；i是各个开环极点到是各个开环极点到s0点向量的相角。点向量的相角。由图可见由图可见,s s0 0点右边开点右边开环实数零极点到环实数零极点到s s0 0点的向量点的向量相角均为相角均为。s0 2 2 3 3 1 1 1 1 4 4 2 2 3 3 因为复数共轭零、极点到实轴上的任一因为复数共轭零、极点到实轴上的任一点的向

13、量相角之和为点的向量相角之和为2 2 ，因此在确定实轴，因此在确定实轴上的根轨迹时，可以不考虑它们的影响。上的根轨迹时，可以不考虑它们的影响。j0s s0 0点左边开环实数零极点点左边开环实数零极点到到s s0 0点的向量相角为点的向量相角为0 0。s s0 0位于根轨迹上的充要条件位于根轨迹上的充要条件是下列相角条件成立是下列相角条件成立:式中式中式中式中(2(2k k+1)+1)为奇数为奇数为奇数为奇数，本法得证，本法得证，本法得证，本法得证。因为这些相角中每一个相角都等于因为这些相角中每一个相角都等于,而而 与与-代表相同角度代表相同角度,于是上式条件可写成于是上式条件可写成:j：s s

14、0 0点之右所有开环实数零点到点之右所有开环实数零点到s s0 0点的向量相角和点的向量相角和 i：s s0 0点之右所有开环实数极点点之右所有开环实数极点到到s s0 0点的向量相角和点的向量相角和z1z2z3p4p3p2 j0法则法则5 5 根轨迹的分离点：根轨迹的分离点：两条或两条以上根轨迹分支在两条或两条以上根轨迹分支在s平面上相遇又立平面上相遇又立即分开的点，称为根轨迹的分离点，分离点的坐标即分开的点，称为根轨迹的分离点，分离点的坐标d是下列方程的解：是下列方程的解：分离点的分离角为：分离点的分离角为：(1)(1)根轨迹出现分离点说明闭环特征方程有重根出根轨迹出现分离点说明闭环特征方

15、程有重根出现。现。(2)(2)因为根轨迹对称于实轴，故根轨迹的分离点或因为根轨迹对称于实轴，故根轨迹的分离点或位于实轴上，或以共轭复数形式成对出现在复平面位于实轴上，或以共轭复数形式成对出现在复平面中，常见的根轨迹分离点是位于实轴上。中，常见的根轨迹分离点是位于实轴上。(3)(3)若根轨迹位于实轴上两个相邻的开环极点之间若根轨迹位于实轴上两个相邻的开环极点之间(其中一个可以是无限极点其中一个可以是无限极点)，则在这两个极点之间，则在这两个极点之间至少存在一个分离点；若根轨迹位于实轴上两个相至少存在一个分离点；若根轨迹位于实轴上两个相邻的开环零点之间邻的开环零点之间(其中一个可以是无限零点其中一

16、个可以是无限零点)，则，则在这两个零点之间也至少有一个分离点。在这两个零点之间也至少有一个分离点。另一种解法：由代数定理可知，如果特征方程有重另一种解法：由代数定理可知，如果特征方程有重根出现应满足：根出现应满足：设系统的开环传递函数为：设系统的开环传递函数为：系统的特征方程式为：系统的特征方程式为：对上式求导，得到：对上式求导，得到：由以上两式消去由以上两式消去 得到得到解方程即得分离点解方程即得分离点 例例4 4 控制系统开环传递函数为控制系统开环传递函数为试概略绘制系统根轨迹。试概略绘制系统根轨迹。解：解：将系统开环零、极点标于将系统开环零、极点标于s平面，如图所示。平面，如图所示。系统

17、有系统有3条根轨迹分支，且有条根轨迹分支，且有n-m=2条根轨迹趋于条根轨迹趋于无穷远处。无穷远处。(1)(1)实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：(2)(2)确定渐近线确定渐近线：有有n-m=2条渐近线条渐近线 -4-2-1(3)(3)确定分离点：确定分离点：方法一方法一经整理得：经整理得：用试探法求得：用试探法求得：方法二方法二 经整理得：经整理得：法则法则6 6 根轨迹的起始角和终止角：根轨迹的起始角和终止角：根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴的夹根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴的夹角，称为起始角，以角，称为起始角，以 表示；表示；根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴的夹根轨迹进

18、入开环复数零点处的切线与正实轴的夹角，称为终止角，以角，称为终止角，以 表示。表示。起始角、终止角可根据下式求出：起始角、终止角可根据下式求出：法则法则7 7 根轨迹与虚轴的交点：根轨迹与虚轴的交点：若根轨迹与虚轴相交，意味着闭环特征方程出若根轨迹与虚轴相交，意味着闭环特征方程出现纯虚根，系统处于临界稳定状态，因此根轨迹现纯虚根，系统处于临界稳定状态，因此根轨迹与虚轴的交点位置很重要。与虚轴的交点位置很重要。(1)(1)应用劳斯稳定判据确定交点。应用劳斯稳定判据确定交点。令劳斯表中第一列中包含令劳斯表中第一列中包含 的项为零，可以确的项为零，可以确定出交点上的定出交点上的 值，再利用劳斯表中值

19、，再利用劳斯表中 行的系数行的系数构成辅助方程，可解出纯虚根数值，即交点处的构成辅助方程，可解出纯虚根数值，即交点处的 值。值。(2)(2)在闭环特征方程中令在闭环特征方程中令 ，然后分别令方程的，然后分别令方程的实部和虚部为实部和虚部为0，从中求得交点的坐标值及其相，从中求得交点的坐标值及其相应的应的 值（临界根轨迹增益）。值（临界根轨迹增益）。例例5 5 控制系统开环传递函数为控制系统开环传递函数为(1)(1)应用劳斯稳定判据确定交点。应用劳斯稳定判据确定交点。(2)(2)法则法则8 8 根之和与根轨迹分支的走向：根之和与根轨迹分支的走向：当系统开环传递函数当系统开环传递函数 的分子、分母

20、阶次的分子、分母阶次差差(n-m)大于等于大于等于2时，系统闭环极点之和等于系统时，系统闭环极点之和等于系统开环极点之和。开环极点之和。证明：系统的开环传递函数为证明：系统的开环传递函数为其中其中系统的闭环特征方程为：系统的闭环特征方程为：由上式可知：由上式可知：由于闭环极点之和等于开环极点之和为一常数，由于闭环极点之和等于开环极点之和为一常数，因此当因此当 增大时，某些根轨迹分支（闭环极点）向增大时，某些根轨迹分支（闭环极点）向左移动，而另一些根轨迹分支（闭环极点）必须向右左移动，而另一些根轨迹分支（闭环极点）必须向右移动，才能维持闭环极点之和为常数（用以判断根轨移动，才能维持闭环极点之和为

21、常数（用以判断根轨迹在迹在s平面上的走向）。平面上的走向）。根据以上绘制根轨迹的八个法则，根据以上绘制根轨迹的八个法则，不难绘制出系统的根轨迹。具体绘制不难绘制出系统的根轨迹。具体绘制某一系统根轨迹时，这八条法则并不某一系统根轨迹时，这八条法则并不一定全部用到，要根据具体情况确定一定全部用到，要根据具体情况确定应选用的法则。应选用的法则。二、自动控制系统的根轨迹二、自动控制系统的根轨迹1.二阶系统：二阶系统：例例6 设一单位反馈二阶系统的开环传递函数为：设一单位反馈二阶系统的开环传递函数为：根轨迹绘制如下：根轨迹绘制如下：(1)(1)开环极点开环极点(起点起点)：(2)(2)实轴上的根轨迹：实

22、轴上的根轨迹：(3)(3)渐近线：渐近线：(4)(4)分离点：分离点：系统根轨迹如图示。系统根轨迹如图示。若希望系统的阻尼比若希望系统的阻尼比 ，试确定闭环传递函，试确定闭环传递函数。数。做一条做一条 射线交于根轨迹的射线交于根轨迹的R点。点。R点对应的点对应的此时系统的开环传递函数为：此时系统的开环传递函数为：闭环传递函数为：闭环传递函数为：2.2.开环具有零点的二阶系统开环具有零点的二阶系统 一般情况下，在原开环传递函数零极一般情况下，在原开环传递函数零极点的左边增加零点会使原根轨迹向左半部点的左边增加零点会使原根轨迹向左半部移动，举例说明如下。移动，举例说明如下。例例7 7 设系统的开环

23、传递函数为：设系统的开环传递函数为：根轨迹绘制如下：根轨迹绘制如下：(1)(1)开环零极点开环零极点:(2)(2)实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹:(3)(3)分离点分离点:整理后整理后根轨迹如图所示。根轨迹如图所示。与无零点根轨迹与无零点根轨迹 比较可见根轨迹比较可见根轨迹 向左半平面弯曲向左半平面弯曲 和移动，可以证和移动，可以证 明该根轨迹在复明该根轨迹在复 平面内是圆。平面内是圆。3三阶系统三阶系统 一般情况下，在原开环传递函数零极点的左边一般情况下，在原开环传递函数零极点的左边增加极点会使原根轨迹向右半部移动，举例说明如增加极点会使原根轨迹向右半部移动，举例说明如下。下。例例8 8 系统

24、的开环传递函数为系统的开环传递函数为 根轨迹绘制如下：根轨迹绘制如下：(1)(1)开环极点开环极点:(2)(2)实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹:(3)(3)渐近线渐近线:(4)(4)分离点分离点:整理后整理后(5)(5)根轨迹根轨迹与虚轴的交点与虚轴的交点:根轨迹如图所示。增加极点后会使原根轨迹向根轨迹如图所示。增加极点后会使原根轨迹向右半平面移动。右半平面移动。根轨迹示例根轨迹示例1j0j0j0j0j0j00j0j0jj00j根轨迹示例根轨迹示例2j0j0j00jj0j0j0j00jj00jj0三、闭环极点的确定三、闭环极点的确定例例9 9 某单位反馈系统开环传递函数为：某单位反馈系统开环传递

25、函数为：(1)(1)试概略绘制系统根轨迹；试概略绘制系统根轨迹；(2)(2)求临界根轨迹增益及该增益对应的三个闭环求临界根轨迹增益及该增益对应的三个闭环极点；极点；(3)(3)用根轨迹法确定系统在稳定欠阻尼状态下的用根轨迹法确定系统在稳定欠阻尼状态下的开环根轨迹增益开环根轨迹增益 的范围；的范围；(4)(4)计算阻尼比计算阻尼比 的的 值以及相应的闭环极值以及相应的闭环极点。点。解解 系统开环传递函数系统开环传递函数(1)(1)概略绘制系统根轨迹概略绘制系统根轨迹开环极点开环极点(起点起点):):实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹:渐近线渐近线:分离点分离点:根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点:令

26、实部虚部分别为令实部虚部分别为0，有，有 系统根轨迹如图所示系统根轨迹如图所示(2)(2)求临界根轨迹增益及该增益对应的三个闭求临界根轨迹增益及该增益对应的三个闭环极点环极点 由于根轨迹与虚轴的交点为由于根轨迹与虚轴的交点为 ，对，对应的根轨迹增益为应的根轨迹增益为 ，因此当因此当 时时系统稳定。系统稳定。为系统临界根轨迹增益为系统临界根轨迹增益。根轨迹与虚轴的交点为对应的两个闭环极根轨迹与虚轴的交点为对应的两个闭环极点，第三个闭环极点可由点，第三个闭环极点可由根之和法则根之和法则求得：求得：(3)(3)用根轨迹法确定系统在稳定欠阻尼状态下的用根轨迹法确定系统在稳定欠阻尼状态下的开环开环根轨迹

27、根轨迹增益增益 的范围的范围 从根轨迹图上可以看出，分离点为从根轨迹图上可以看出，分离点为 对应的对应的 值可以由值可以由模值条件模值条件求出求出 稳定欠阻尼状态的根轨迹增益的范围为稳定欠阻尼状态的根轨迹增益的范围为 (4)(4)计算阻尼比计算阻尼比 的的 值以及相应的值以及相应的闭环极点。闭环极点。为了确定满足阻尼比条件时系统的为了确定满足阻尼比条件时系统的3 3个闭环个闭环极点，首先做出的极点，首先做出的等阻尼线等阻尼线OAOA，它与负实轴夹，它与负实轴夹角为角为 等阻尼线等阻尼线OA与根轨迹的交点即为相应的与根轨迹的交点即为相应的闭环极点，可设相应两个复数闭环极点分别为闭环极点，可设相应

28、两个复数闭环极点分别为 闭环特征方程式为：闭环特征方程式为：4-3 4-3 广义根轨迹广义根轨迹 一、参数根轨迹一、参数根轨迹 除开环根轨迹增益除开环根轨迹增益 以外的其它参量从零以外的其它参量从零变化到无穷大时绘制的根轨迹称为参数根轨迹。变化到无穷大时绘制的根轨迹称为参数根轨迹。绘制参数根轨迹的法则与绘制常规根轨迹绘制参数根轨迹的法则与绘制常规根轨迹的法则完全相同。只需要在绘制参数根轨迹之的法则完全相同。只需要在绘制参数根轨迹之前，引入前，引入“等效开环传递函数等效开环传递函数”，将绘制参数，将绘制参数根轨迹的问题化为绘制常规根轨迹的形式来处根轨迹的问题化为绘制常规根轨迹的形式来处理。理。绘

29、制常规根轨迹时，系统的特征方程为：绘制常规根轨迹时，系统的特征方程为：式中式中 为系统的开环传递函数。为系统的开环传递函数。如果选择其它参量为可变参数时，引入等如果选择其它参量为可变参数时，引入等效开环传递函数的概念，将系统的特征方程也效开环传递函数的概念，将系统的特征方程也化为上式的形式。化为上式的形式。对对 进行等效变换，将其写成如下进行等效变换，将其写成如下形式：形式：A是除是除 以外系统的其它可变参数，而以外系统的其它可变参数，而 和和 为两个与为两个与A无关的多项式。无关的多项式。因此得到等效开环传递函数为：因此得到等效开环传递函数为：利用上式绘制的根轨迹，就是参数变化时利用上式绘制

30、的根轨迹，就是参数变化时的参数根轨迹。的参数根轨迹。例例10 10 单位反馈系统开环传递函数为：单位反馈系统开环传递函数为：单位反馈系统开环传递函数为：单位反馈系统开环传递函数为：试绘制试绘制试绘制试绘制 时的根轨迹。时的根轨迹。解：解：系统的闭环特征方程为系统的闭环特征方程为 构造等效开环传递函数构造等效开环传递函数 以以 作为可变参数作为可变参数等效开环传递函数有等效开环传递函数有3个开环极点个开环极点:实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹:渐近线渐近线:分离点分离点:由模值条件得分离点处的由模值条件得分离点处的a值值:与虚轴的交点：将与虚轴的交点：将 带入闭环特征方带入闭环特征方程式程式系统根轨

31、迹如图所示。系统根轨迹如图所示。从根轨迹图中可以看出参数从根轨迹图中可以看出参数a变化对系变化对系统性能的影响。统性能的影响。当当 时，闭环极点落在实轴上，时，闭环极点落在实轴上，系统阶跃响应为单调过程。系统阶跃响应为单调过程。当当 时，离虚轴近的一对复数闭时，离虚轴近的一对复数闭环极点逐渐向虚轴靠近，系统阶跃响应为振荡环极点逐渐向虚轴靠近，系统阶跃响应为振荡收敛过程。收敛过程。当当 时，有闭环极点落在右半时，有闭环极点落在右半s平面，系平面，系统不稳定，阶跃响应振荡发散。统不稳定，阶跃响应振荡发散。二、零度根轨迹二、零度根轨迹 在负反馈条件下根轨迹方程为在负反馈条件下根轨迹方程为 ，相角条件

32、为：相角条件为：称相应的常规根轨迹为称相应的常规根轨迹为 根轨迹。根轨迹。在正反馈条件下，系统特征方程为：在正反馈条件下，系统特征方程为：此时根轨迹方程为此时根轨迹方程为 相角条件为相角条件为相应绘制的根轨迹称为相应绘制的根轨迹称为 根轨迹。根轨迹。需要绘制需要绘制 根轨迹的来源有二根轨迹的来源有二:一是系统中一是系统中具有正反馈内回路，二是非最小相角系统中包具有正反馈内回路，二是非最小相角系统中包含含s最高次幂的系数为负值的因子。最高次幂的系数为负值的因子。以正反馈内回路为例：以正反馈内回路为例：系统的根轨迹方程系统的根轨迹方程 相角条件：相角条件：模值条件：模值条件：与常规根轨迹的相角条件

33、和模值条件相比，模值与常规根轨迹的相角条件和模值条件相比，模值条件没有变化，因此零度根轨迹的绘制的法则只要条件没有变化，因此零度根轨迹的绘制的法则只要考虑相角条件所引起的某些法则的修改。需要修改考虑相角条件所引起的某些法则的修改。需要修改的根轨迹绘制法则有：法则的根轨迹绘制法则有：法则3、法则、法则4、法则、法则6。4-4 4-4 系统性能的分析系统性能的分析 本节讨论如何利用根轨迹分析、估算系统性能，本节讨论如何利用根轨迹分析、估算系统性能，同时分析附加开环零、极点对根轨迹及系统性能的影同时分析附加开环零、极点对根轨迹及系统性能的影响。响。一、条件稳定系统的分析一、条件稳定系统的分析 参数在

34、一定的范围内取值才能稳定的系统称为条参数在一定的范围内取值才能稳定的系统称为条件稳定系统。条件稳定系统可以通过根轨迹图来确定件稳定系统。条件稳定系统可以通过根轨迹图来确定系统稳定时参数的取值范围。现举例说明。系统稳定时参数的取值范围。现举例说明。例例1212 设开环系统传递函数为：设开环系统传递函数为：试利用根轨迹图讨论使闭环系统稳定时试利用根轨迹图讨论使闭环系统稳定时 的取的取值范围。值范围。由图可以看出：由图可以看出：系统是稳定的系统是稳定的系统是不稳定的系统是不稳定的这种情况称为条件稳这种情况称为条件稳定系统，通过根轨迹定系统，通过根轨迹 图的分析可以确定要求系统稳定的参数范围。图的分析

35、可以确定要求系统稳定的参数范围。二、利用闭环主导极点估算系统的性能指标二、利用闭环主导极点估算系统的性能指标例例1313 在例在例9中，在计算阻尼比中，在计算阻尼比 的的 值以及值以及相应的闭环极点的情况下，估算此时系统的动态性相应的闭环极点的情况下，估算此时系统的动态性能指标。能指标。解解 根轨迹根轨迹如图如图 所示。所示。等阻尼线等阻尼线OA与与 根根轨迹的交点轨迹的交点 即即为相应的闭为相应的闭 环环极点，在例极点，在例9 中中已计算出已计算出 值以及相应的闭值以及相应的闭 环极点。环极点。在所求得的在所求得的3 3个闭环极点中个闭环极点中，至虚轴的距离与至虚轴的距离与 (或或 )至虚轴

36、的距离之比为：至虚轴的距离之比为：是系统的主导闭环极点。于是，该系统可由主是系统的主导闭环极点。于是，该系统可由主导闭环极点所构成的二阶系统来估算原三阶系统的动导闭环极点所构成的二阶系统来估算原三阶系统的动态性能指标。原系统闭环根轨迹增益为态性能指标。原系统闭环根轨迹增益为1，因此相应，因此相应的二阶系统闭环传递函数为：的二阶系统闭环传递函数为：原系统为原系统为型系统，系统的静态速度误差型系统，系统的静态速度误差系数计算如下：系数计算如下：系统在单位斜坡信号作用下的稳态误差为：系统在单位斜坡信号作用下的稳态误差为：三、开环零、极点分布对系统性能的影响三、开环零、极点分布对系统性能的影响 开环零

37、、极点的分布决定着系统根轨开环零、极点的分布决定着系统根轨迹的形状。如果系统的性能不尽人意，可迹的形状。如果系统的性能不尽人意，可以通过调整控制器的结构和参数，改变相以通过调整控制器的结构和参数，改变相应系统的开环零、极点的分布，调整根轨应系统的开环零、极点的分布，调整根轨迹的形状，改善系统的性能。迹的形状，改善系统的性能。1.1.增加开环零点对根轨迹的影响增加开环零点对根轨迹的影响例例1414 三个单位反馈系统的开环传递函数分别为三个单位反馈系统的开环传递函数分别为试分别绘制三个系统的根轨迹。试分别绘制三个系统的根轨迹。解解 三个系统的零、极点分布及根轨迹分别如下图三个系统的零、极点分布及根

38、轨迹分别如下图所示。所示。从图中可以看出，增加一个开环零点从图中可以看出，增加一个开环零点使系统的根轨迹向左偏移。提高了系统使系统的根轨迹向左偏移。提高了系统的稳定度，有利于改善系统的动态性能，的稳定度，有利于改善系统的动态性能，而且，开环负实零点离虚轴越近，这种而且，开环负实零点离虚轴越近，这种作用越显著；若增加的开环零点和某个作用越显著；若增加的开环零点和某个极点重合或距离很近时，构成偶极子，极点重合或距离很近时，构成偶极子，则二者作用相互抵消。因此，可以通过则二者作用相互抵消。因此，可以通过加入开环零点的方法，抵消有损于系统加入开环零点的方法，抵消有损于系统性能的极点。性能的极点。2.2

39、.增加开环极点对根轨迹的影响增加开环极点对根轨迹的影响例例1515 三个单位反馈系统的开环传递函数分别为三个单位反馈系统的开环传递函数分别为试分别绘制三个系统的根轨迹。试分别绘制三个系统的根轨迹。解解 三个系统的零、极点分布及根轨迹分别如下图所三个系统的零、极点分布及根轨迹分别如下图所示。示。从图中可以看出，增加一个开环极点从图中可以看出，增加一个开环极点使系统的根轨迹向右偏移。降低了系统的使系统的根轨迹向右偏移。降低了系统的稳定度，不利于改善系统的动态性能，而稳定度，不利于改善系统的动态性能，而且，开环负实极点离虚轴越近，这种作用且，开环负实极点离虚轴越近，这种作用越显著。越显著。第四章小结

40、第四章小结 本章详细介绍了根轨迹的基本概念、根轨迹的绘本章详细介绍了根轨迹的基本概念、根轨迹的绘制方法以及根轨迹法在控制系统性能分析中的应用。制方法以及根轨迹法在控制系统性能分析中的应用。根轨迹法是一种图解方法，可以避免繁重的计算工根轨迹法是一种图解方法，可以避免繁重的计算工作，工程上使用比较方便。根轨迹法特别适用于分作，工程上使用比较方便。根轨迹法特别适用于分析当某一个参数变化时，系统性能的变化趋势。析当某一个参数变化时，系统性能的变化趋势。根轨迹是系统某个参量从根轨迹是系统某个参量从0变化时闭环特征变化时闭环特征根相应在根相应在s平面上移动描绘出的轨迹。平面上移动描绘出的轨迹。根轨迹法的基

41、本思路是：在已知系统开环零、极根轨迹法的基本思路是：在已知系统开环零、极点分布的情况下，依据绘制根轨迹的基本法则绘出点分布的情况下，依据绘制根轨迹的基本法则绘出系统的根轨迹；分析系统性能随参数的变化趋势；系统的根轨迹；分析系统性能随参数的变化趋势；在根轨迹上确定出满足系统要求的闭环极点位置，在根轨迹上确定出满足系统要求的闭环极点位置，补充闭环零点；再利用闭环主导极点的概念，对系补充闭环零点；再利用闭环主导极点的概念，对系统控制性能进行定性分析和定量估算。统控制性能进行定性分析和定量估算。绘制根轨迹是用根轨迹法分析系统的基绘制根轨迹是用根轨迹法分析系统的基础。牢固掌握并熟练应用绘制根轨迹的基本础。牢固掌握并熟练应用绘制根轨迹的基本法则，就可以快速绘出根轨迹的大致形状。法则，就可以快速绘出根轨迹的大致形状。在控制系统中适当增加一些开环零、极在控制系统中适当增加一些开环零、极点，可以改变根轨迹的形状，从而达到改善点，可以改变根轨迹的形状，从而达到改善系统性能的目的。一般情况下，增加开环零系统性能的目的。一般情况下，增加开环零点可使根轨迹左移，有利于改善系统的相对点可使根轨迹左移，有利于改善系统的相对稳定性和动态性能；相反地，单纯加入开环稳定性和动态性能；相反地，单纯加入开环极点，则根轨迹右移，不利于系统的相对稳极点，则根轨迹右移，不利于系统的相对稳定性及动态性能。定性及动态性能。